2020届高考·数学（理）3月新题精选：立体几何、平面解析几何、概率与统计.docx

1、2020 届高考数学（理） 【最新省市名校好题】精选（3 月版） 考点考点 07 立体几何立体几何 P1 考点考点 08 平面解析几何平面解析几何 P10 考点考点 09 概率与统计概率与统计 P18 考点考点 07 立体几何立体几何 1.【浙江省 2020 届高三高考模拟试题数学试卷】已知 ， 是两个相交平面，其中 l，则（ ） A 内一定能找到与 l 平行的直线 B 内一定能找到与 l 垂直的直线 C若 内有一条直线与 l 平行，则该直线与 平行 D若 内有无数条直线与 l 垂直，则 与 垂直 【答案】B 【解析】由 ， 是两个相交平面，其中 l，知： 在 A 中，当 l 与 ， 的交线相

2、交时， 内不能找到与 l 平行的直线，故 A 错误； 在 B 中，由直线与平面的位置关系知 内一定能找到与 l 垂直的直线，故 B 正确； 在 C 中， 内有一条直线与 l 平行，则该直线与 平行或该直线在 内，故 C 错误； 在 D 中， 内有无数条直线与 l 垂直，则 与 不一定垂直，故 D 错误故选 B 2.【山东省淄博市 2020 届高三下学期 3 月部分学校教学质量检测数学试题】已知三棱锥PABC的四个顶 点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，,E F分别,PA AB的中点， 90CEF，则球O的体积为 A6 6 B4 6 C2 6 D6 【答案】D. 【解析】

3、由PAPBPC及ABC是边长为 2 的正三角形可知， 取AC中点G，则ACBG，ACPG，可得ACPBG，则ACPB,因为,E F分别是,PA AB的 中点，所以BC AD 又因为 0 90CEF，即EFCE，所以PBCE，得PBPAC . 所以,PBPA PBPC，因为PABPACPBC，所以PAPC,即正三棱锥PABC的三条侧 棱两两互相垂直把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为正方体的体对 角线的长度，即 222 6dPAPBPC , 半径为 6 2 ，则球 O 的体积为 3 46 6 32 3. 【山东省淄博市 2020 届高三下学期 3 月部分学校教学质量检

4、测数学试题】 如图， 正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 1，线段 11 B D上有两个动点 E、F，且 1 2 EF ，则下列结论中错误的是 AACBE B/EFABCD平面 CAEF BEF的面积与的面积相等 D三棱锥ABEF的体积为定值 【答案】C 【解析】可证 11 ACDDBBACBE平面，从而，故 A 正确；由平面 ABCD，可知 / /EFABCD平面， B也正确； 连结BD交AC于O， 则AO为三棱锥ABEF的高， 三棱锥ABEF的体积为为定值，D 正确；C 错误。 4.【浙江省 2020 届高三高考模拟试题数学试卷】已知三棱锥 PABC 的所有棱长为 1M 是底面

5、ABC 内 部一个动点（包括边界） ，且 M 到三个侧面 PAB，PBC，PAC 的距离 h1，h2，h3成单调递增的等差数列， 记 PM 与 AB，BC，AC 所成的角分别为 ，则下列正确的是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】依题意知正四面体 PABC 的顶点 P 在底面 ABC 的射影是正三角形 ABC 的中心 O， 由余弦定理可知，coscosPMOcosMO，AB，其中MO，AB表示直线 MO 与 AB 的夹角， 同理可以将 ， 转化， coscosPMOcosMO，BC，其中MO，BC表示直线 MO 与 BC 的夹角， coscosPMOcosMO，AC，其中MO，AC表示

6、直线 MO 与 AC 的夹角， 由于PMO 是公共的，因此题意即比较 OM 与 AB，BC，AC 夹角的大小， 设 M 到 AB， BC， AC 的距离为 d1， d2， d3 则 d1sin1 ， 其中 是正四面体相邻两个面所成角， sin= 22 3 ， 所以 d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在ABC 中解决问题 由于 d1d2d3，可知 M 在如图阴影区域（不包括边界） 从图中可以看出，OM 与 BC 所成角小于 OM 与 AC 所成角，所以 ， 故选：D 5.【2020 届河南省南阳市第一中学高三下学期第一次月考数学（理）试题】某简单几何体的三视图（俯视 图为等边三角形）如图

7、所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：cm3）为 A. 18 B. 6 3 C. 3 3 D. 2 3 【答案】C 【解析】由题意可知几何体是底面为正三角形的三棱柱，底面边长为 2，高为 3， 所以几何体的体积为 2 3 233 3 4 ，故选 C 6.【浙江省 2020 届高三高考模拟试题数学试卷】一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图 如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是 ，剩余部分表面积是 【答案】 5 9 6 【解析】根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 该几何体为长方体切去一个角故：V= 2 1 1 1 3 1 2 2 1 1 = 5 3 所以 1

8、 = 5 3 2 = 5 6S2（1 2+1 2+1 1） 1 2(1 2 + 1 2 + 1 1) + 1 2 2 3 2 =9 7.【2020 届河南省南阳市第一中学高三下学期第一次月考数学（理）试题】平行四边形ABCD中，ABD 是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD， 现将ABD沿BD折起， 使二面角A BD C大小为 2 3 ， 若, ,A B C D四点在同一球面上，则该球的表面积为_. 【答案】20 【解析】由题意，取 AD,BC的中点分别为 12 ,O O, 过 1 O作面 ABD 的垂线与过 2 O作面 BCD的垂线，两垂线交点O即为所求外接球的球心， 取 BD中点 E，连结

9、 12 ,O E O E, 则 12 OEO即为二面角A BD C的平面角， 又由 12 1O EO E，连接OE，在 Rt 1 OOE中，则 1 3OO， 在 Rt 1 OOA中， 1 2O A，得5OA， 即球半径为5ROA，所以球面积为 2 4SR 20. 8.【2020 届河南省南阳市第一中学高三下学期第一次月考数学（理）试题】如图,四棱锥PABCD中， /ABDC， 2 ADC ， 1 2 2 ABADCD， 6PDPB，PDBC （1）求证：平面PBD 平面PBC； （2） 在线段PC上是否存在点M， 使得平面ABM与平面PBD所成锐二面角为 3 ？若存在， 求 CM CP 值；

10、若不存在，说明理由 【答案】 （1）见证明； （2）见解析 【解析】 （1）证明：因为四边形ABCD为直角梯形， 且/ABDC, 2ABAD, 2 ADC , 所以 2 2BD ， 又因为4, 4 CDBDC 根据余弦定理得2 2,BC 所以 222 CDBDBC，故BCBD . 又因为BCPD, PDBDD,且BD,PD 平面PBD，所以BC平面PBD， 又因为BC 平面 PBC，所以PBCPBD平面平面 （2）由（1）得平面ABCD平面PBD, 设E为BD的中点，连结PE ，因为6PBPD, 所以PEBD,2PE ,又平面ABCD平面PBD， 平面ABCD平面PBDBD， PE 平面ABC

11、D. 如图，以A为原点分别以AD，AB和垂直平面ABCD的方向为 , ,x y z轴正方向，建立空间直角坐标系 Axyz ， 则 (0,0,0)A ， (0,2,0)B ， (2,4,0)C ，(2,0,0)D，(1,1,2)P， 假设存在( , , )M a b c满足要求，设(01) CM CP ，即CM CP ， 所以 (2- ,4-3 ,2 )M, 易得平面PBD的一个法向量为(2,2,0)BC . 设( , , )nx y z为平面ABM的一个法向量，(0,2,0)AB ， = (2- ,4-3 ,2 )AM 由 0 0 n AB n AM 得 20 (2)(43 )20 y xyz

12、 ，不妨取(2 ,0,2)n. 因为平面PBD与平面ABM所成的锐二面角为 3 ，所以 22 41 2 2 2 4(2) ， 解得 2 ,2 3 ， （不合题意舍去）. 故存在M点满足条件，且 2 3 CM CP . 9. 【山东省淄博市 2020 届高三下学期 3 月部分学校教学质量检测数学试题】 如图， 边长为 2 的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直，M是上异于C，D的点 (1)证明：平面AMD平面BMC； (2)当三棱锥MABC体积最大时， 求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值 【解析】(1)由题设知，平面CMD平面ABCD面CMD面=ABCD CD 因为BCCD，BC

13、平面ABCD，所以BC平面CMD， 故BCDM 因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM 又BCCM=C，BC面BCM，CM面BCM，所以DM平面BMC 而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC (2)以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz 当三棱锥MABC体积最大时， M为CD的中点 由题设得(0,0,0)D，(2,0,0)A， (2,2,0)B，(0,2,0)C，(0,1,1)M， ( 2,1,1)AM ，(0,2,0)AB ，(2,0,0)DA， 设( , , )x y zn是平面MAB的法向量，则即可取(1,0,2)n DA是平面M

14、CD的法向量，所以， 所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是 2 5 5 10.【浙江省 2020 届高三高考模拟试题数学试卷】如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC90 ，AB ACAA1 （1）求证：AB1平面 A1BC1； （2）若 D 在 B1C1上，满足 B1D2DC1，求 AD 与平面 A1BC1所成的角的正弦值 M D C B A 0, 0. AM AB n n 20, 20. xyz y 5 cos, 5| DA DA DA n n n 2 5 sin, 5 DA n z y x A B C D M 【解析】 （1）在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC90 ，A

15、BACAA1， 根据已知条件易得 AB1A1B，由 A1C1面 ABB1A1，得 AB1A1C1， A1BA1C1A1，以 AB1平面 A1BC1； （2）以 A1B1，A1C1，A1A 为 x，y，z 轴建立直角坐标系，设 ABa， 则 A（0，0，a） ，B（a，0，a） ，1(0，0)，( 3 ， 2 3 ，0)， 所以 = ( 3 ， 2 3 ， )， 设平面 A1BC1的法向量为 ，则 = (1，0， 1)， 可计算得到 ， = 27 7 ， 所以 AD 与平面 A1BC1所成的角的正弦值为27 7 11.【江苏省启东市 2020 届高三下学期期初考试数学试题】如图，在直四棱柱 AB

16、CDA1B1C1D1中，AD 平面 BCC1B1，ADDB求证： （1）BC平面 ADD1A1； （2）平面 BCC1B1平面 BDD1B1 【解析】证明： （1）AD平面 BCC1B1，AD 在平面 ABCD 内，平面 BCC1B1平面 ABCDBC， ADBC，又BC 不在平面平面 ADD1A1内，AD 在平面 ADD1A1内，BC平面 ADD1A1； （2）由（1）知，ADBC，因为 ADDB，所以 BCDB， 在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，DD1平面 ABCD，BC 在平面 ABCD 内，DD1BC， 又DD1在平面 BDD1B1内，DB 在平面 BDD1B1内，DD1DBD

17、， BC平面 BDD1B1，又 BC 在平面 BCC1B1内，平面 BCC1B1平面 BDD1B1 12.【江苏省启东市 2020 届高三下学期期初考试数学试题】如图 1，已知正方形铁片 ABCD边长为 2a 米， 四边中点分别为 E，F，G，H，沿着虚线剪去大正方形的四个角，剩余为四个全等的等腰三角形和一个 正方形 ABCD（两个正方形中心重合且四边相互平行） ，沿正方形 ABCD 的四边折起，使 E，F，G，H 四点重合，记为 P 点，如图 2，恰好能做成一个正四棱锥（粘贴损耗不计） ，PO底面 ABCD，O 为正四 棱锥底面中心，设正方形 ABCD 的边长为 2x 米 （1）若正四棱锥的

18、棱长都相等，求所围成的正四棱锥的全面积 S； （2）请写出正四棱锥的体积 V 关于 x 的函数，并求 V 的最大值 【解析】 （1）若正四棱锥的棱长都相等，则 2x+23x2a，解得 x= 1:3 = 3;1 2 所围成的正四棱锥的全面积 S4 3 4 （2x）2+（2x）24（3 +1）x2 4（3 +1） (3;1 2 )2=（23 2）a2 （2）2PE+2x2a，解得 PEax （0xa） OP= ( )2 2= 2 2 （0x 2） 正四棱锥的体积 V 关于 x 的函数为：V= 1 3 (2)22 2 V2= 16 9 ax4（a2x） ， 令 f（x）x4（a2x） ，令 f（x）

19、4x3（a2x）2x40，解得 x= 2 5 可得 x= 2 5 时函数 f（x）取得最大值即可得 V 取得最大值= 4 3( 2 5 )22 2 2 5 = 1653 375 考点考点 08 平面解析几何平面解析几何 1. 【浙江省 2020 届高三高考模拟试题数学试卷】 若双曲线 2 2= 1的焦距为 4， 则其渐近线方程为 （ ） A = 3 3 B = 3 C = 5 5 D = 5 【答案】A 【解析】双曲线 2 2= 1的焦距为 4，可得 m+14， 所以 m3，所以双曲线的渐近线方程为： y= 3 3 x 故选：A 2. 【山东省淄博市 2020 届高三下学期 3 月部分学校教学

20、质量检测数学试题】 直线20xy分别与x轴， y轴交于,A B两点，点P在圆 22 (2)2xy上，则ABP面积的取值范围是 A2,6 B4,8 C 2,3 2 D2 2,3 2 【答案】A. 【解析】圆心(2,0)到直线的距离 |202| 2 2 2 d ， 所以点P到直线的距离 1 2,3 2d 根据直线的方程可知,A B两点的坐标分别为( 2,0)A ，(0, 2)B， 所以| 2 2AB ，所以ABP的面积 11 1 |2 2 SAB dd 因为 1 2,3 2d ，所以2,6S，即ABP面积的取值范围是2,6 3.【山东省淄博市 2020 届高三下学期 3 月部分学校教学质量检测数学

21、试题】已知椭圆 22 1 43 xy 的左、右 焦点分别为FE、，直线xm）（11m与椭圆相交于点A、B，则 A 当0m时，FAB的面积为 1 B 不存在m使FAB为直角三角形 C 存在m使四边形FBEA面积最大 D 存在m，使FAB的周长最大 【答案】C. 【解析】如图： 对于 A 选项，经计算显然错误。 对于 B 选项, 0m 时，可以得出 3 AFE ，当 1m 时， 4 AFE ，根据对称性，存在m使 FAB 为 直角三角形。故 B 错误。 对于 C 选项，根据椭圆对称性可知，当0m时，四边形FBEA面积最大。故 C 正确。 对于 D 选项， 由椭圆的定义得：FAB的周长=(2)(2)

22、4ABAFBFABaAEaBEaABAEBE； AEBE AB；0ABAEBE，当AB过点E时取等号； 44ABAFBFaABAEBEa； 即直线x m 过椭圆的右焦点E时FAB的周长最大； 此时直线 1xmc ；但11m ，所以不存在m，使FAB的周长最大。故 D 错误. 4. 【2020 届河南省南阳市第一中学高三下学期第一次月考数学 （理） 试题】 已知正方形ABCD的边长为2， 以B为圆心的圆与直线AC相切.若点P是圆B上的动点，则DB AP 的最大值是（ ） A. 2 2 B. 4 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】如图，建立平面直角坐标系，则0,0B，A 0,2，D 2,

23、2， 圆B的方程为： 22 2xy,22Pcossin， 22DB ，222APcossin， 2 22 2444 4 DB APcossinsin 1 4 sin 时，DB AP 的最大值是 8，故选：D 5. 【2020 届河南省南阳市第一中学高三下学期第一次月考数学 （理） 试题】 已知椭圆 22 22 1 xy ab 0ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点P为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，I为 12 PFF的内心，且 1221 IPFIF FIPF SSS ，若椭圆的离心率为e，则（ ） A. 1 e B. 2 e C. e D. 2e 【答案】A 【解析】设 12 PF

24、F内切圆的半径为r 则 1 1 1 2 IPF Sr PF ， 2 2 1 2 IPF Sr PF ， 1 2 12 1 2 IF F Sr FF 1221 IPFIF FIPF SSS ， 1122 11 222 r PFr FFr PF 整理得 1212 FFPFPF.P为椭圆上的点，22ca，解得 1 e ，故选A。 6.【2020 届河南省南阳市第一中学高三下学期第一次月考数学（理）试题】已知椭圆 22 1 43 xy 的右焦点 F是抛物线 2 2(0)ypx p的焦点， 则过F作倾斜角为60的直线分别交抛物线于 ,A B（A在x轴上方） 两点，则 | | AF BF 的值为（ ） A

25、. 3 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】由椭圆 22 1 43 xy ，可得右焦点为(1,0)，所以1 2 p ，解得2p ， 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy， 由抛物线的定义可得 12 2 2816 sin 6033 pp ABxxp， 所以 12 10 3 xx， 又由 2 12 1 4 p x x ，可得 12 1 3, 3 xx，所以 1 2 |3 1 2 3 1 | 1 23 p x AF p BF x .故选 C 7.【2020 届河南省南阳市第一中学高三下学期第一次月考数学（理）试题】函数( )lnf xxxa的图象 在1x 处的切线被圆 2

26、2 :2440C xyxy截得弦长为 2，则实数 a 的值为_. 【答案】6或 2 【解析】因为( )lnf xxxa所以 11 ln 2 fxx xx 代入切点横坐标1x ，可知切线的斜率(1)1k f .又(1)fa，所以切点坐标为(1, )a， 所以函数( )lnf xxxa的图象在1x 处的切线方程为1yxa. 又因为圆 22 :2440C xyxy，圆心坐标为(1, 2) ，半径为3， 所以圆心到切线的距离 |2| 2 a d .因为切线被圆 22 :2440C xyxy截得弦长为 2， 则 2 22 |2| 13 2 a ，解得实数a的值是6或2. 8.【江苏省启东市 2020 届

27、高三下学期期初考试数学试题】已知抛物线 y28x 的焦点恰好是双曲线 2 2 2 = 1(0)的右焦点，则该双曲线的离心率为 【答案】2 【解析】抛物线 y28x 的焦点恰好是双曲线 2 2 2 = 1(0)的右焦点， 可得 c2，则 2= + 2，解得 a2，所以该双曲线的离心率为：e= 2 2 = 2，故答案为2 9.【江苏省启东市 2020 届高三下学期期初考试数学试题】在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B 两点在圆 x2+y21 上，若直线 + 6 = 0上存在点 C，使ABC 是边长为 1 的等边三角形，则点 C 的横坐标 是 【答案】 6 2 【解析】圆 x2+y21 的圆心

28、为（0，0） ，半径为 1， ABC 是边长为 1 的等边三角形，可得四边形 OACB 为菱形， 即有|OC|= 3，由点 C 在直线 + 6 = 0上，可设 C（m，6 m） ， 可得2+ (6 )2= 3，解得 m= 6 2 ，故答案为 6 2 10.【浙江省 2020 届高三高考模拟试题数学试卷】如图，过椭圆： 2 2 + 2 2 = 1的左、右焦点 F1，F2分别 作斜率为22的直线交椭圆 C 上半部分于 A，B 两点，记AOF1，BOF2的面积分别为 S1，S2，若 S1：S2 7：5，则椭圆 C 离心率为 【答案】 1 2 【解析】作点 B 关于原点的对称点 B1，可得 S 2=

29、1，则有 1 2 = | |1| = 7 5， 所以= 7 51 将直线 AB1方程 = 2 4 ，代入椭圆方程后， = 2 4 2 2 + 2 2 = 1 ， 整理可得： （b2+8a2）y242b2cy+8b40， 由韦达定理解得+ 1= 422 2:82，1 = ;84 2:82， 三式联立，可解得离心率 = = 1 2 故答案为：1 2 11. 【 山 东 省 淄 博 市 2020 届 高 三 下 学 期 3 月 部 分 学 校 教 学 质 量 检 测 数 学 试 题 】 已 知 椭 圆 22 22 1(0) xy Mab ab ：，双曲线 22 22 1 xy N mn ：若双曲线N

30、的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭 圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则双曲线N的离心率为_；椭圆M的离心率为 _ 【答案】31 ， 2 【解析】设椭圆的右焦点为( ,0)F c，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，由题意可知 3 ( ,) 22 cc A，双曲线的渐近线过点 3 ( ,) 22 cc A，渐近线方程为3yx，故双曲线的离心率 22 2 2 mn e m 双 由点A在椭圆M上得， 22 22 3 1 44 cc ab ， 222222 34b ca ca b， 222 bac， 22222222 ()34()ac ca ca ac， 4224 480aa cc，

31、 42 8+40ee 椭椭 ， 2 42 3e 椭 ， 31e 椭 （舍去）或3 1e 椭 ，椭圆M的离心率31 。 12.【江苏省启东市 2020 届高三下学期期初考试数学试题】已知椭圆1： 2 9 + 2 3 = 1，椭圆2： 2 2 + 2 2 = 1(0)经过椭圆 C1的左焦点 F 和上下顶点 A，B设斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C2相切，且与椭圆 C1交 于 P，Q 两点 （1）求椭圆 C2的方程； （2）若 = 4，求 k 的值；求 PQ 弦长最大时 k 的值 【解析】 （1）题意可知 C2经过（0，3） ， （6，0） ， 所以椭圆 C2的方程 2 6 + 2 3 = 1；

32、（2）当斜率不存在时，直线 PQ 方程为 = 6，或 = 6， 当 = 6，则(6，1)，(6， 1)，则 =5，显然不成立，同理当 = 6，不成立， 当直线 PQ 的斜率存在，且不为 0， 设直线 PQ 的方程 ykx+m，P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 联立方程组 = + 2 6 + 2 3 = 1 ，整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m260，116k2m24（1+2k2） （2m26）0， 即 m23（2k2+1） ， 13.【2020 届河南省南阳市第一中学高三下学期第一次月考数学（理）试题】已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 12

33、FF、， 过 2 F的一条直线交椭圆于PQ、两点， 若 12 PFF 的周长为4 4 2 ，且长轴长与短轴长之比为 2:1. (1)求椭圆C的方程； (2)若 12 FPF QPQ，求直线PQ的方程. 【解析】 (1)由条件可知：2 244 2ac ， :2:1a b ， 222 abc，解得：2 2,2,2abc，所以椭圆C的方程为 22 1 84 xy (2)设直线 2 PF的方程为： 1122 2,xtyP x yQ x y； 因为 1212 FPFQFOOPFOOQOPOQ， 所以OPOQPQ，所以OPOQ，所以 1212 0x xy y， 22 22 1 2440 84 2 xy t

34、yty xty ， 1212 22 44 , 22 t yyy y tt 24 12121212 121xxy yty yty y，解得： 2 12 , 22 tt 所以直线PQ的方程为22 20xy. 14.【山东省淄博市 2020 届高三下学期 3 月部分学校教学质量检测数学试题】如图，已知抛物线 2 xy点 1 1 (,) 2 4 A ， 3 9 ( , ) 2 4 B，抛物线上的点 ( , )P x y 13 () 22 x，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q （1）求直线AP斜率的取值范围； （2）求| |PAPQ的最大值 【解析】 （1）设直线 AP 的斜率为k， 2 1 1 4 1

35、 2 2 x kx x ， 因为 13 22 x，所以直线 AP 斜率的取值范围是( 1,1) （2）联立直线 AP 与 BQ 的方程 11 0, 24 93 0, 42 kxyk xkyk 解得点 Q 的横坐标为 2 2 43 2(1) Q kk x k , 联立直线 AP 与抛物线方程，由韦达定理得点P横坐标为 1 2 P xk， 故|PA= 2 1 1() 2 P kx= 2 1(1)kk，|PQ= 2 1() QP kxx= 2 2 (1)(1) 1 kk k ， 所以|PA PQ= 3 (1)(1)kk，令( )f k 3 (1)(1)kk，因为 2 ( )(42)(1)f kkk

36、， 所以( )f k在区间 1 ( 1, ) 2 上单调递增， 1 (,1) 2 上单调递减， 因此当 1 2 k 时，|PA PQ取得最大值 27 16 15.【浙江省 2020 届高三高考模拟试题数学试卷】已知抛物线： = 1 2 2与直线 l：ykx1 无交点，设点 P 为直线 l 上的动点，过 P 作抛物线 C 的两条切线，A，B 为切点 y x Q A B P O （1）证明：直线 AB 恒过定点 Q； （2）试求PAB 面积的最小值 【解析】 （1）由 = 1 2 2求导得 yx，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，其中1 = 1 21 2，2 = 1 22 2 则 kPA

37、x1，PA：yy1x1（xx1） ， 设 P（x0，kx01） ，代入 PA 直线方程得 kx01+y1x1x0， PB 直线方程同理，代入可得 kx01+y2x2x0， 所以直线 AB：kx01+yxx0，即 x0（kx）1+y0，所以过定点（k，1） ； （2）直线 l 方程与抛物线方程联立，得到 x22kx+20，由于无交点解可得 k22 将 AB：yxx0kx0+1 代入 = 1 2 2，得1 2 2 0+ 0 1 = 0， 所以= 02 20+ 20，| = 21 + 02， 设点 P 到直线 AB 的距离是 d，则 = |02;20:2| 1:02 ， 所以= 1 2| = (0

38、2 20+ 2) 3 2= (0 )2+ 2 2 3 2， 所以面积最小值为(2 2) 3 2 考点考点 09 概率与统计概率与统计 1.【山东省淄博市 2020 届高三下学期 3 月部分学校教学质量检测数学试题】某城市为了解游客人数的变化 规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2017年 1月至 2019 年 12月期间月接待游客量（单位：万人）的 数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是 A年接待游客量逐年增加 B各年的月接待游客量高峰期大致在 8月 C2017 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数为 30 D各年 1月至 6 月的月接待游客量相对于 7月至 12月，波

39、动性更小，变化比较平稳 【答案】C 【解析】由 2017 年 1 月至 2019 年 12 月期间月接待游客量的折线图得： 在A中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A正确； 在B中，各年的月接待游客量高峰期都在 8 月，故B正确； 在C中，2017 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数小于 30，故C错误； 在D中，各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确 2【四川省内江市高中 2020 届高三 3 月网络自测数学理科试题】新高考方案规定，普通高中学业水平考 试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）其中“选择

40、考”，成绩将计入高考总成绩，即“选 择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为 A、B、C、D、E 五个等级，某 试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍， 为了更好地分析该校学生“选 择考”的水平情况，统计了该校 2016 年和 2018 年“选择考”成绩等级结果，得到：如图表 针对该校“选择考”情况，2018 年与 2016 年比较，下列说法正确的是（ ） A获得 A 等级的人数减少了 B获得 B 等级的人数增加了 1.5 倍 C获得 D 等级的人数减少了一半 D获得 E 等级的人数相同 【分析】根据频率分布直方图扇形图，利用频率与

41、样本容量的关系即可解答 解：由题可知：设 2016 年参加选择考的总人数为：a 人；则：2018 年参加选择考的总人数为：2a 人； 2016 年评定为 A、B、C、D、E 五个等级的人数为： A：0.28a、B：0.32a、C：0.30a、D：0.08a、E：0.02a； 2018 年评定为 A、B、C、D、E 五个等级的人数为：A：0.48a、B：0.80a、C：0.56a、D：0.12a、E：0.04a； 对各个选项进行比较可得 B 正确 故选：B 3.【江苏省启东市 2020 届高三下学期期初考试数学试题】某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分 别为 1100 人、1000 人、9

42、00 人，为了解不同年级学生的视力情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为 30 的样本，则高三年级应抽取的学生人数为 【答案】9 【解析】按照等比例抽取的原则，得到高三年级应抽取的学生人数为：30 900 1100:1000:900 =9 故答案为 9 4 【四川省内江市高中 2020 届高三 3 月网络自测数学理科试题】若施化肥量 x 与小麦产量 y 之间的回归方 程为 250+4x（单位：kg），当施化肥量为 50kg 时，预计小麦产量为 kg 【分析】将 x50 代入回归方程，计算即可得到结论 解：根据回归方程为 250+4x，当施化肥量为 50kg，即 x50kg 时， 250+4x25

43、0+200450kg 故答案为：450 5.【江苏省启东市 2020 届高三下学期期初考试数学试题】劳动最光荣某班在一次劳动教育实践活动中， 准备从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名学生去擦教室玻璃，则恰好选中 2 名男生的概率为 【答案】 3 10 【解析】某班在一次劳动教育实践活动中，准备从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名学生去擦教室玻璃， 基本事件总数 n= 5 2 =10，恰好选中 2 名男生包含的基本事件个数 m= 3 2 =3， 恰好选中 2 名男生的概率 p= = 3 10，故答案为 3 10 6.【2020 届河南省南阳市第一中学高三下学期第一次月考数学（理）试题】近来天气变化无常，陡然升温、 降温幅度大于10 C的天气现象出现增多.陡然降温幅度大于10 C容易引起幼儿伤风感冒疾病.为了解伤风 感冒疾病是否与性别有关，在某妇幼保健院随机对人院的100名幼儿进行调查,得到了如下的列联表,若在全 部100名幼儿中随机抽取1人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为 2 5 , (1)请将下