高考数学高难度压轴填空题：三角函数（含答案）.pdf

1、1. 已知函数 3 21 ,( ,1 12 ( ) 111 ,0, 362 x x x f x xx ，函数 x sinaxg 6 22 a(a0)，若存在 12 0,1xx 、，使得 12 ()()f xg x成立，则实数a的取值范围是_ 1 4 , 2 3 解析：即两函数在上值域有公共部分，先求值域， 1 , 0)(xf 1 , 0 6 1 , 0 1 , 6 1 ，故 2 3 2 , 22)(aaxg 0 2 3 2 122 a a 2. 若是锐角三角形的最小内角，则函数的值域为_AAAysin2cos ) 1 , 2 31 解析：设,，但锐角三角形无法体 0 90CBA 00 6018

2、03ACBAA 现，因为就可以，故， 0A 00 600 A 8 9 ) 4 1 (sin2 2 Ay) 2 3 , 0(sinA 3. 已知是锐角的外接圆的圆心，且，若OABCA ，则（用表示） AOmAC B C AB C B 2 sin cos sin cos _msin 解析：，两边同除以 A BC O AOmAC B C AB C B 2 sin cos sin cos R2 R AO m b AC C c AB Bcoscos 321 coscosemeCeB （其中都为单位向量） ，而，故有 )3 , 2 , 1( iei 0 90CB ，两边同乘以得， 321 sinsinem

3、ee 3 emcossincossin 4. 设,为常数，若 ) 2 , 4 (), 4 , 0( (sinsin)sin()sin( 对一切恒成立，则2 )cos(coscos)sinR,_ ) 4 (sin )cos(tantan 2 解析：法一：令 2 cos2sin20 2 2 ) 2 2cos(1 2sin1 ) 4 (sin ) 2 2cos(1 2 法二：按合并，有 ,0)cos)(sincos(cos)sin)(cossin(sin cossin sincos 5. 已知函数；，其中xxfln3)( x exf cos 3)( x exf3)(xxfcos3)( 对于定义域内的

4、任意一个自变量都存在唯一个自变量，使成)(xf 1 x 2 x3)()( 21 xfxf 立的函数的序号是_ 解析：不成立；周期性不唯一 1x 6. 在中，已知且，则 ABC, 3, 4ACBC 18 17 )cos( BA_cosC 6 1 解析：画图在上取点，使，在 A B C D x xx4 3 BCDxBDAD 中应用余弦定理： ADC)cos(cosBACAD 7. 已知函数的图象的一条对称轴是，若 ( )sincosf xxax 5 3 x ( )sincosg xaxx 表示一个简谐运动，则其初相是 sin()(0,0,0)AxA 3 2 解析：，故的对称轴为，即 ) 3 5 2

5、 () 6 7 () 2 ()( fgxfxg)(xg 6 7 x ，又，故 3 5 26 7 kk0 3 2 8. 如果满足ABC=60，的ABC 只有两个，那么的取值范围是  8AB ACkk )8 , 34( 解析：画图和 184（即本类 31 题）,186（即本类 32 题）属于一 B A CC 类题 9. 已知函数，则 f(x)的最小值为_ ) 4 5 4 1 ( 2)cos()sin( )( x x xx xf 5 54 解析：（2007 全国联赛），设) 4 5 4 1 ( 2) 4 sin(2 )( x x x xf ，则 g(x)0，g(x)在上是增函数，在上是)

6、4 5 4 1 )( 4 sin(2)(x xxg 4 3 , 4 1 4 5 , 4 3 减函数，且 y=g(x)的图像关于直线对称，则对任意，存在， 4 3 x 4 3 , 4 1 1 x 4 5 , 4 3 2 x 使 g(x2)=g(x1)。于是 ，而 f(x)在上是减函数，所以)( 2)(2)(2)( )( 2 2 2 1 2 1 1 1 xf x xg x xg x xg xf 4 5 , 4 3 ，即 f(x)在上的最小值是 5 54 ) 4 5 ()( fxf 4 5 , 4 1 5 54 10. 满足条件的三角形的面积的最大值    BCACAB2, 2A

7、BC2 2 解析：2008 江苏高考题，本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想设 BC ，则 AC ，根据面积公式得=，根据余弦x2x ABC S 2 1 sin1 cos 2 ABBCBxB 定理得 ，代入上式得 22222 42 cos 24 ABBCACxx B ABBCx 2 4 4 x x = ABC S 2 2 2 12812 4 1 416 x x x x 由三角形三边关系有解得， 22 22 xx xx 2 222 22x 故当时取得最大值 2 2x ABC S2 2 11. 已知定义域为 D 的函数 f(x),如果对任意 xD,存在正数 K, 都有f(x)Kx成 立，

8、那么称函数 f(x)是 D 上的“倍约束函数” ，已知下列函数：f(x)=2x( )f x= 2sin() 4 x ；( )f x=1x；( )f x= 2 1 x xx ，其中是“倍约束函数的序号是     解析：；数形结合不可能存在使恒成立；xx22k| ) 4 sin(2|xkx 成立； ) 1( 1 1 2 2 x x x kxkx 1 1 1 22 xx kxk xx x 12. 若0, 4 4 ，R，且 3 cos20 2 ， 3 4sincos0，则cos 2 的值为=       2 2 解析：令，则 xxxfsin)( 3 c

9、os) 2 () 2 sin() 2 () 2 ( 33 f ，故 22)cossin4(22sin8)2( 33 f02 2 13. 已知，设函数的最大值为，最小值为0a 1 20092007 ( )sin (, ) 20091 x x f xx xa a M ，那么   N NM4016 解析：，注意到和都为奇函数，故对函xxf x x sin 12009 12009 2008)( 12009 12009 x x xsin 数考虑构造新函数为奇函数，而，在)(xfxxg x x sin 12009 12009 )( )(2008)(xgxf 区间上由奇函数的对称性知，故 ,aa0

10、)()(xgxg401622008 NM 14. 函数图象的一条对称轴方程是，则直线的xbxaxfcossin)( 4 x0cbyax 倾斜角为  _ 4 3 解析：即 22 ) 4 (baf 0)( 2 2 22 bababa 15. 若对任意实数t，都有 ( )sin()1 (0,|)f xAx 33 f tft 记，则   1 ( )cos()1g xAx ( ) 3 g 解析：知一条对称轴是， 33 f tft )(xf 3 x1) 3 sin( 0) 3 cos( 16. 设 ，则函数最小值是_ ) 2 , 0( x) cos 1 )(cos sin 1 (sin

11、 2 2 2 2 x x x x 4 25 解析：令，则，原式 xbxa 22 cos,sin 4 1 , 1abba b a a b ab ab 1 4 25 24 4 1 17. 若对于，不等式恒成立，则正实 数的取值范围为) 2 , 0( x9 cossin 1 22 x p x p _ 4，+ 解析： 9) 1( cos sin sin cos ) 1() cossin 1 )(cos(sin 2 2 2 2 2 22 22 p x xp x x p x p x xx 18. 设函数，若，则函数的各极大值之和 )cos(sin)(xxexf x 20110 x)(xf 为  

12、         2 2012 1 )1 ( e ee 解析：，但要使取极大值，则2011, 0,0sin2)( 'xkxxexf x )(xf ，故各极大值和为 2011,.,5 , 3 , 1k 2 2012 20113 1 )1 ( . e ee eee 19. 在斜三角形中，角所对的边分别为，若，则ABCCBA,cba,1 tan tan tan tan B C A C _  3 2 22 c ba 解析： 1 2 cossinsin sin cos sin ) sin cos sin cos ( cos sin 222 22

13、cba c Cab c BA C C C B B A A C C 20. 设均为大于 1 的自然数，函数，若存在实数ba,xbxgxbaxfcos)(),sin()( ，使得，则的值为_4 m)()(mgmfba 解析： 1)sin(1) 1(0cossin)()( 22 axaabxbxaabxgxf 因均为大于 1 的自然数，故 ba, 的最大值 5，故)2( , 2 1 2 1 12 2 1 21 1 ) 1( 1 22 2 2 2 2 a a a aa a aa a a a b ，此时 2b2a 21. 直线 与函数图象相切于点，且，为原点，为图象l), 0(sinxxyAOPl /O

14、P 的极值点， 与轴交点为，过切点作轴，垂足为，则lxBAxAC C_BCBA 4 4 2 解析：如图，设，切线方程为 O P A B )sin,( 00 xxA ，令，)(cossin 000 xxxxy0y 00 tan xxxB 2 0 2 )(tan xBCBCBA 而 2 cos 0 OP kx 4 4 ) 2 ( ) 2 (1 cos sin )(tan 2 2 2 0 2 0 2 2 0 x x x 22. 设ABC的BC边上的高ADBC，a，b，c分别表示角A，B，C对应的三边，则 b c c b 的取值范围是     5, 2 解析：因为BC边上的高ADB

15、Ca， 所以，所以又 ABC S 2 1 2 a 1 sin 2 bcAsin A 2 a bc 因为，所以，同时cos A 222 2 bca bc 2 1 2 bca cbbc b c c b 2cos Asin A5 b c 2，所以2， c b b c c b 5 23. 已知点O为的外心，且,则   6 ABC2, 4ABAC BCAO 解析： 6 1 2 2 4cos2cos4)( R R R RBAORCAORABACAOBCAO 24. 在中， ，且的面积，则的ABC 22 3 coscos 222 CA acbABCsinSaCac 值是_4 解析：得， sinSa

16、C2b 22 3 coscos 222 CA acb bAcCab A c C a3)cos1 ()cos1 ( 2 3 2 cos1 2 cos1 4233)coscos(bcabbcabAcCaca 25. 设是边延长线上一点，记 ，若关于的方程 DABCBCACABAD)1 (x 在上恰有两解，则实数的取值范围是_ 01sin) 1(sin2 2 xx)2 , 0 或 4122 解析：令则在上恰有一解，数形结合知xtsin01) 1(2 2 tt) 1 , 1( 或，或者 0) 1 () 1(ff421220 又 ACABAD)1 (CBCD0 所以或 4122 26. 已知函数f(x)

17、=，x，则满足f(x0)f()的x0的取值范围为_   2 cosxx 2 2 ， 3 ,) 23 (, 3 2 解析：注意到的奇偶性和单调性即可 )(xf 27. 平面四边形ABCD中，AB，ADDCCB1，ABD和BCD的面积分别为S，T，3 则S2T2的最大值是   8 7 解析：如图，设,由余弦定理知： AB C D S T CA, 1cos3coscos2cos2 22222 BCCDBCCDBDABADABAD ，又 3 32 cos0) 1 , 1( ，当时，最大值为 8 7 ) 6 3 (cos 2 3 sin 4 1 sin 4 3 22222 TS 6

18、3 cos 8 7 28. 设点是函数与（）图象的一个交点，则 ),( 00 yxPxytanxy 0x _2 ) 12)(cos1( 0 2 0 xx 解析：，法一：消，法二：消 )0(tan 000 xxx 0 x2cos2) 1(tan 0 2 0 2 xx ，用万能公式.  0 tan x 说明：若无，则可以用特殊值求解 0 0 x0 0 x 29. 不等式对一切非零实数均成立，则实数的范围为_ ya x xsin2 1 yx, a 3 , 1 解析：的最小值=1 y x xasin 1 2 30. 设 G 是的重心，且，ABC0)sin35()sin40()sin56(GC

19、CGBBGAA 则角 B 的大小为_60 解析：由重心性质知，下面用余弦定 cbaCBA354056sin35sin40sin56 理即可求解 31. 在中，已知，如果三角形有解，则的取值范围是 ABC2,22abA 4 , 0 解析：数形结合，先画，再以为圆心，为半径画圆，如图22 bACC2a 即可解得. A C B 2 22 法二：正弦定理 b B b A a sinsin 32. 如图，动点 M 在圆上，为一定点， 22 8xy(2,0)A 则的最大值为     OMA 4 解析：本题等同于 31 题。除了 31 两种方法外，也可以用余弦定理求解。 ，其中 2 2

20、) 4 ( 8 2 24 48 cos 2 x x x x MAMx 33. 已知为锐角，且，那么的取值范围是      , 6 sinsin) 2 3 , 0( 解析：， 26 4 3 ) 6 2cos( 2 1 ) 6 sin(sinsinsin 34. 实数, x y满足tan,tanxxyy，且xy，则 sin()sin()xyxy xyxy 0   解析： yx yx yx yx yx y y x x yx coscos )sin( , coscos )sin( cos sin cos sin 35. 在ABC 中，AB8，BC7，AC=3，以

21、 A 为圆心，r=2 为半径作一个圆，设 PQ 为圆 A 的任意一条直径，记 T,则 T 的最大值为     22 CQBP 解析：设的夹角为， A B C P Q AQBA, CQBP)(AQCAAPBA)sin(148) 3 2 cos(6cos168 36. 设点 O 是ABC 的外心，AB，AC，则的取值 cb11 2 2 cb BC AO 范围     2 , 4 1 - 解析： A B C O 11 2 2 cb 22 2bbc200b )( 2 1 22 coscos)( 22 cb R c cR R b bRcRbRAOABACAOBC

22、4 1 ) 2 1 ( 22 bbb 2 , 4 1 - 37. 在中，若，则  3:1:2    ABC23AB BCBC CACA AB tan A:tan B:tanC 解析： a A c C b B AbcCabBac cos3cos2cos cos3cos2cos ，两式相除，得 c C b B a Asinsinsin 2 tan 1 tan 3 tanCBA 38. 满足条件2,2ABACBC的三角形ABC的面积的最大值是_ 22 解析：法一：即，由余弦定理， abc2, 2 a a bc acb A 24 4 2 cos 2222 ，所以 2 2

23、) 24 4 (1sin a a A 128)12( 4 1 1624 4 1 ) 24 4 (12sin 2 1 22242 2 aaa a a aAbcS ABC 22128 4 1 法二：因为 AB=2（定长） ，可以以 AB 所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标 系，则( 1,0),(1,0)AB，设( , )C x y，由2ACBC可得 2222 (1)2 (1)xyxy，化简得 22 (3)8xy，即 C 在以（3，0）为圆 心，2 2为半径的圆上运动。又 1 2 2 2 ABCcc SAB yy 。 39. 已知ABC中，60B，O为ABC的外心，若点P在ABC所在的平面

24、上， OPOAOBOC ，且8BP BC ，则边AC上的高h的最大值为   32 解析： OPOAOBOC ,由 A O BC D H ODOCOABP 60B易得 且，故点在上，且所以由ROD ACOD PBHRODBP 8BP BC 得 8)(BHBPHCBHBP388 sin2 8bh B bh Rh ， 16 2 3 sin2 acacBacS ABC 416 222 bacaccab 故，实际上本题可以猜测是正三角形从而很简单得到结论. 32 38 b h 40. 在ABC 中，若 a2，bc1，ABC 的面积为 ，则 _  3 AB AC 13 4 解析：， bc AAbcS 32 sin3sin 2 1 bc bcacb bc acb A 2 2)( 2 cos 22222 ，由得，则 bc bc 2 32 1cossin 22 AA 4 19 1) 2 32 () 32 ( 22 bc bc bc bc ，故 19 13 cosA AB AC 4 13 cosAbc