2020年高考数学（文）金榜冲刺卷（五）（解析版）.docx

1、 2020 年高考金榜冲刺卷（五） 数学（文） （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 4测试范围：高中全部内容 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1若集合|0Bx x，且A BA，则集合A可能是（ ） A1,2 B|

2、 1x x C1,0,1 DR 【答案】A 【解析】ABA,AB,集合 |0Bx x ,选项 A 满足要求,故选 A. 2在等差数列 n a中，已知 510 12aa，则 79 3aa（ ） A12 B18 C24 D30 【答案】C 【解析】因24)132(22643 ,12132 11971105 dadaaadaaa,故应选 C. 3设复数zabi ( ,)a bR，定义z bai.若 12 zi ii ，则z （ ） A 13 55 i B 13 55 i C 31 55 i D 31 55 i 【答案】B 【解析】解：因为 12 zi ii ，所以 (1) 2(1)( 1)(2)31

3、 222555 iiiiiii zi iii ， 则 13 55 zi.故选：B. 4 已知抛物线的顶点在原点， 焦点在 y轴上， 抛物线上的点(2)P m ，到焦点的距离为 4， 则m的值为 （ ） A4 B2 C4 或4 D12 或2 【答案】C 【解析】抛物线上的点(2)P m ，到焦点的距离与到抛物线的准线 2 p y 的距离相等，所以24 2 p ，解得 4p ，所以抛物线方程为 2 8xy ，将 (2)P m ， 代入方程 2 8xy 得4m. 5设x，y满足约束条件 20 0 3 xy xy x ，则 22 (1)zxy的最大值为（ ） A5 B41 C25 D1 【答案】B 【

4、解析】 由题得不等式组对应的可行域如图所示， 2 2 1zxy表示区域内的动点(x,y)到点 P(-1,0)的最大距离的平方， 联立 3 20 x xy 得点 A(3,5),所以 z 的最大值为 22 3+1 +5 =41（） .故选：B. 6 为了计算一组数据的方差， 设计了如图所示的程序框图， 其中输入 1 15,x 234 16,18,20xxx， 567 22,24,25,xxx则图中空白框应填入（ ） A6 7 S iS, B6, 7 S iS C67iSS, D6,7iSS 【答案】A 【解析】由题可知，该组数据共有七项，为使数据全部可以输入流程图中，则6i ，排除 B、D 选项；

5、由 方差公式可知，所有项之和要乘以项数的倒数，即 7 S S ，排除 C,故选：A. 7我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺， 无深，袤七尺问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的 三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为 1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（ ） A40 B43 C46 D47 【答案】C 【解析】 由三视图可知，该几何体的直现图如图五面体，其中平面ABCD平面ABEF， 2,6,4CDABEF ，底面梯形是等腰梯形，高为 3 ,梯形ABCD的高为 4 ,等腰梯形FEDC的高

6、为 9 165 ，三个梯形的面积之和为 264624 43546 222 ,故选 C. 8函数 ln x y x 的图象大致是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】函数 ln x y x 的定义域为 | 0x x ， lnlnxx fxf x xxx （）（ ） ， 排除 B， 当0x时， 2 lnln1-ln , xxx yy xxx 函数在 0,e上单调递增， 在, e 上单调递减， 故排除 A,C，故选 D 9某校早上 6：30 开始跑操，假设该校学生小张与小王在早上 6：006：30 之间到校，且每人在该时间段 的任何时刻到校是等可能的，则小张与小王至少相差 5 分钟到校的概率为

7、（ ） A 25 36 B 11 36 C 25 30 D 5 30 【答案】A 【解析】 设小张与小王的到校时间分别为 6：00 后第x分钟，第y分钟，, x y可以看成平面中的点试验的全部结果 所构成的区域为,030,030x yxy 是一个正方形区域， 对应的面积30 30900S ， 则小张与小王至少相差 5分钟到校事件,5Ax yxy(如阴影部分) 则符合题意的区域25 25625 A S ，由几何概型可知小张与小王至少相差 5 分钟到校的概率为 62525 90036 P .故选：A. 10中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且 有一条

8、侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐如图为一个 阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA 平面ABCE，四边形ABCD为正方形，2AD ，1ED ，若鳖牖 PADE的体积为 l，则阳马PABCD的外接球的表面积等于（ ） A20 B19 C18 D17 【答案】D 【解析】由题意，因为PA 平面ABCE，四边形ABCD为正方形，2AD ，1ED ， 又由鳖牖PADE的体积为1，所以 111 2 11 332 p AEDAED VPA SPA ， 解得3PA，而阳马PABCD的外接球的直径是以,AD AB AP为宽，长，高的长方体的体对角线，所 以 2222 244

9、917RADABAP（），即 2 417R ，球的表面积为 2 417R故选 D 11已知单调函数 ( )f x的定义域为(0,)，对于定义域内任意x， 2 ( )log3ff xx，则函数 ( )( )7g xf xx的零点所在的区间为（ ） A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5) 【答案】C 【解析】根据题意，对任意的(0,)x，都有 2 ( )log3ff xx，又由 f x是定义在0 +，上的单 调函数，则 2 ( )logf xx为定值，设 2 ( )logtf xx，则 2 logf xxt，又由 3f t ， 2 log3f ttt ，所以2t ，所以 2 log

10、2f xx，所以 2 log5g xxx ，因为 1020304050ggggg，所以零点所在的区间为（3，4）. 12已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为 2， 1 F， 2 F分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)Ma， (0, )Nb， 点P为线段MN上的动点， 当 12 PF PF取得最小值和最大值时， 12 PFF的面积分别为 1 S， 2 S， 则 2 1 S S （ ） A4 B8 C2 3 D4 3 【答案】A 【解析】由2 c e a ，得2 ,3ca ba，故线段MN所在直线的方程为3()yxa，又点P在线段 MN上，可设( , 33 )P mm

11、a，其中 ma ，0，由于 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c，即 1( 2 ,0) Fa ， 2(2 ,0) Fa ， 得 12 ( 2,33 ),(2,33 )PFamma PFamma ， 所以 2222 12 313 464() 44 PF PFmmaamaa由于ma ，0， 可知当 3 4 ma 时， 12 PF PF取得最小值，此时 3 4 P ya， 当0m时， 12 PF PF取得最大值，此时3 P ya，则 2 1 3 4 3 4 Sa S a ，故选 A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知函数2sin 2 22 yx 的图象关于直线

12、6 x 对称，则的值为 . 【答案】 6 【解析】2 2 xkkZ 422 k xkZ ,2sin 2yx的对称轴为： 422 k xkZ ,又 6 x 为对称轴, 2122 k kZ ，即 6 kkZ , 又 22 , 0k ，即 6 .故答案为 6 . 14圆 C： 22 66100xyxy上的点到直线 0xy 的最短距离为_. 【答案】 2 【解析】由题意可得圆 C 的标准方程为 22 338xy， 圆心为 C（3，3） ，半径 r2 2，圆心 C 到直线 0xy 的距离为 d 22 33 3 2 11 因此， 圆 22 338xy上的点到直线 x+y0 的最短距离为 d 3 22 22

13、 故答案为 2 15在ABC中，D为BC上一点，E是AD的中点，若BDDC ， 1 3 CEABAC，则 . 【答案】 1 3 【解析】 11111 33333 CECBCAACCBCACDCA ，因为E是AD的 中点， 所以 11 32 ， 11 32 ，解得 15 , 26 ， 1 3 .故答案为 1 3 . 16在数列 n a中， 1 1a ，0 n a ，曲线 3 yx在点 3 , nn a a处的切线经过点 1,0n a ，下列四个结论： 2 2 3 a ； 3 1 3 a ； 4 1 65 27 i i a ；数列 n a是等比数列；其中所有正确结论的编号是 . 【答案】 【解析】

14、 2 3yx，曲线 3 yx在点 3 , nn a a处的切线方程为 32 3 nnn yaaxa， 则 32 1 3 nnnn aaaa .0 n a ， 1 2 3 nn aa ， 则 n a是首项为 1， 公比为 2 3 的等比数列， 从而 2 2 3 a ， 3 4 9 a ， 4 4 1 2 1 653 2 27 1 3 i i a .故所有正确结论的编号是. 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（12 分） 如图， 在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，ADAB，/ABDC，2ADDCAP， 1AB ，点E为棱PC的中点 （1

15、）证明:/BE平面PAD； （2）平面BDE将四棱锥PABCD分成多面体PEABD和多面体EBCD两部分，求上述两个多面 体的体积比: PE ABDE BCD VV 【解析】 （1）取PD中点F，连接EF、AF，依题意 1 / / / 2 EFCDAB， 四边形ABEF是平行四边形，所以BEAF.又AF 面PAD，BE面PAD， BE面PAD. （2）因为 111 223 E BCDP BCDBCD VVPA S 1112 22 2 2323 , 111 2(12) 22 332 P ABCDABCD VPA S ,所以 4 3 PEABD V , 4 3 :2:1 2 3 PE ABDE B

16、CD VV . 18（12 分） 如图， 在ABC 中， 0 1203ABBCABCAB，ABC的角平分线与AC交于点D， 1BD . （1）求sin A； （2）求BCD的面积 【解析】 （1）在ABD中，由余弦定理得 222 1 2cos9 1 2 3 17 2 ADABBDABBDABD ， 所以 7AD ，由正弦定理得 sinsin BDAD AABD ，所以 sin321 sin 142 7 BDABD A AD . （2）由（1）可知 2 5 cos1 sin 2 7 AA. 在ABC中， 0 sinsin 120CA 351321 2272 72 7 . 在BCD中，由正弦定理得

17、 sinsin ABBC CA ，所以 sin3 sin2 ABA BC C . 所以BCD的面积 11333 3 sin1 22228 SBDBCCBD . 19 （12 分）某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销 售量y（单位： 千万件） 的影响， 统计了近10年投入的年研发费用 i x与年销售量1,2,10 i y i 的数据， 得到散点图如图所示： （1）利用散点图判断，yabx和 d yc x （其中c，d为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费 用x和年销售量y的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由） ； （2）对数据作出如下处理

18、：令ln i ux，ln i y，得到相关统计量的值如下表： 根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程； （3）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为 27 zyx e （其中2.71828e） ，根据（2） 的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据 1122 , nn uuu，其回归直线 u的斜率和截距的最小二乘估计分别为 11 2 2 2 11 nn iiii ii nn ii ii uuunu uuunu ， u. 【解析】 （1）由散点图知，选择回归类型 d yc x 更适合 （2）对 d yc x 两边取对数，得l

19、n lnlnycdx ，即lnvcdu, 由表中数据得：1.5uv， 11 2 2 22 11 30.5 10 1.5 1.51 46.5 10 1.53 nn iii i ii nn ii ii uuvvuvnuv d uuunu ， 1 ln1.51.51, 3 cvduce ，年研发费用x与年销售量y的回归方程为 1 3 y e x . （3）由（2）知， 1 3 ( )27z xxx ， 2 3 ( )91z xx ，令 2 3 ( )910z xx ，得27x， 且当(0,27)x时，( )0z x ,( )z x单调递增；当(27,)x时，( )0z x ,( )z x单调递减 所

20、以当27x千万元时，年利润z取得最大值，且最大值为(27)54z千万元. 答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入 27 千万元. 20 （12 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为 2(1,0) F，点在椭圆上 （1）求椭圆的方程； （2）点M在圆 222 xyb上，且M在第一象限，过M作圆 222 xyb的切线交椭圆于,两点，求 证：的周长是定值 【解析】 （1）由已知得，椭圆的左右焦点分别是 12 ( 1,0),(1,0),1FFc, (3,0)H 在椭圆上， 12 2426aHFHF, 3,2 2ab,椭圆的方程是 22 1 98 xy +=； （2）方法

21、1：设 1122 , (,)P x yQ x y，则 22 11 1 98 xy ， 2 22 22 11 2111 118(1)(3) 93 xx PFxyx ， 1 03x， 1 2 3 3 x PF ，在圆中，M是切点， 2 22222 1 1111 1 |88(1)8 93 x PMOPOMxyxx ， 211 11 33 33 PFPMxx，同理 2 3QFQM， 22 3 36F PFQPQ ，因此 2 PF Q的周长是定值6 方法 2：设PQ的方程为(0,0),ykxm km 1122 ( ,),(,),P x yQ xy 由 22 , 1 98 ykxm xy 得 222 (8

22、9)189720kxkmxm,则 2 1212 22 18972 , 8989 kmm xxx x kk , 222 12121 2 11()4PQkxxkxxx x 2 22 22 18972 1()4 8989 kmm k kk 22 2 2 2 4 9 8 (98) 1 (89) km k k , PQ 与圆 22 8xy相切, 2 2 2, 1 m k 即 2 2 2 1,mk 2 6 89 km PQ k , 2 22 22 11 2111 118(1)(3) 93 xx PFxyx ， 1 03x， 1 2 3 3 x PF ， 同理 2 22 1 (9)3 33 x QFx， 1

23、2 22 222 666 666 3898989 xxkmkmkm F PF QPQ kkk ， 因此 2 PF Q的周长是定值6 21 （12 分）已知函数 2 lnf xxxaxaR在定义域内有两个不同的极值点. （1）求实数a的取值范围； （2）记两个极值点为 12 ,x x，且 12 xx ，求证： 12 1x x. 【解析】 （1）由题意，方程 ( ) 0fx 在0,有两个不同根,即方程1 ln20xax有两个不同根； 解法 1：转化为函数( )lng xx与函数21yax的图象在0,上有两个不同交点， 令 00 0 11 ()2 2 g xax xa , 故 ( )g x在 11

24、(,ln() 22aa 处的切线方程为： 111 ln()() 222 yx aaa , 代入点0, 1有： 11111 1 ln()(0)ln()0121 22222 a aaaaa , 可得： 1 20,10, 2 aa ; 解法 2：转化为函数 1ln ( ) x g x x 与函数2ya的图象在0,上有两个不同交点 2 ln ( )(0) x g xx x ，故0,1x时， ( ) 0;g x 1,x时， ( ) 0;g x 故( )g x在0,1上单增，在( ) 1+，上单减， max ( )(1)1g xg, 又 1 ( )0g e ，故 1 (0, )x e 时，( )0;g x

25、 1 ( ,)x e 时，( )0;g x 可得： 1 20,10, 2 aa ; 解法 3： 1 2 (0)fxa x x ,20a时， 0fx ， 故 f x在0 +，上单增， 故 =fx0在0 +，最多只有一个实根，不合题意； 20a时，令 1 00; 2 fxx a ， 令 1 0,; 2 fxx a 故 fx在 1 0 2a ，上单增，在 1 , 2a 上单减； 故 max 1 1 ln(2 ) 1ln(2 )020,1 2 fxfaaa a , 当20,1a时， 11 20, lim x fafx ee ， 故 fx在0 +，上有两个不相等的实根，故 1 0, 2 a ; （2）由

26、（1）知： 12 ,x x是1 ln 20xax的两个根， 故 12 1122 12 lnln 1 ln201 ln202 = xx xaxxaxa xx ， , 要证： 12 1x x ，只需证： 12 lnln0xx，即证： 12 2-1 + 2-10axax 即证： 12 22a xx，即证： 12 1212 lnln2xx xxxx , 又 12 0,xx 故上式为： 1 122 1 1 212 2 21 2 ln( ) 1 x xxxx x xxx x , 令 2 1 22 2 21114 0,1 , ( )ln,( )0 1 11 ttx th tth t xtt tt t , 故

27、 h t在0,1上单增，故( )(1)0,h th 故( )式成立，即证. (二)、选考题：共 10 分请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分 22 【极坐标与参数方程】 （10 分） 在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在数学 中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点O为 极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为1 sin （1 sin ,0p ） ，M为该曲线上的任意一点. （1）当 3 2 OM 时，求M点的极坐标

28、； （2）将射线OM绕原点O逆时针旋转 2 与该曲线相交于点N，求MN的最大值. 【解析】 （1）设点M在极坐标系中的坐标 3 , 2 ，由1 sin ，得 3 1 sin 2 ， 1 sin 2 ， 02， 7 6 或 11 6 ，所以点M的极坐标为 3 7 , 26 或 3 11 , 26 . （2）由题意可设 1, M ， 2, 2 N .由 1 sin ，得 1 1 sin ， 2 1 sin1 cos 2 . 22 12 MN 22 1 sin1 cos 3 2 sincos32 2sin 4 ,故 5 4 时，MN的最大值为 21 . 23 【选修 4-5：不等式选讲】 （10 分） 已知( ) |2|4|f xxx. （1）关于x的不等式 2 ( )3f xaa恒成立，求实数a的取值范围； （2）若( )( )4f mf n，且m n ，求mn的取值范围. 【解析】 （1） 2424 2426(24) 2422 xxx f xxxxx xxx ，所以 min 2fx ， 2 3f xaa恒成立，则 2 min 32aafx，解得12a. （2）由（1）知 max 2fx ， 2,2f mf n， 则 4f mf n，又 4f mf n，所以 2f mf n，于是4nm， 故8mn.