1、数学思想方法构建(二)思想方法1分类讨论思想在函数与导数中的应用函数与导数是历年命题的重点，利用导数研究函数的性质，不能以统一的方法或形式处理多种可能情形的对象此时可选择一个标准，依此分成几个能用不同形式去解决的小问题，从而获得问题解决，体现化整为零、各个击破、积零为整的思想分类讨论【典例1】已知函数f(x)x3x2ax(aR)(1)当a0时，求与直线xy100平行，且与曲线yf(x)相切的直线方程；思路点拨 本题第(1)问根据导数的几何意义即可求解；第(2)问根据函数g(x)的导函数求解函数g(x)的单调区间，需对参数a分类讨论，从而通过g(x)0求g(x)的单增区间反思与回顾1.本题并不是
2、盲目由g(x)0去解不等式2x2xa0.而是充分利用二次函数的性质，求出(x)的下界值，从而找到分类标准，突破解题瓶颈，优化了解题过程2利用分类讨论策略解题的关键是分类标准的确定，分类讨论时要注意根据具体的问题情境确立分类的标准，做到不重不漏，分类解决问题后要根据问题的要求进行合理的整合思想方法2函数、方程与不等式之间的转化与化归思想函数、方程、不等式就像“同胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题离不开函数这个灵魂核心；解决函数问题也离不开方程(不等式)这个工具因此借助函数、方程(不等式)进行转化与化归，达到化难为易，化繁为简的目的，开辟数学解题的新途径【典例2】(2012湖南高考)已知函数f(x
3、)exax，其中a0.(1)若对一切xR，f(x)1恒成立，求a的取值集合；(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)(x1x2)，记直线AB的斜率为k.证明：存在x0(x1，x2)，使f(x0)k成立思路点拨(1)对xR，f(x)1恒成立，转化为求f(x)min，使f(x)min1，构建关于“a”的不等式aaln a1，进一步构造函数，利用函数方程思想获解(2)利用零点存在定理，转化为判定函数(x)f(x)k在区间(x1，x2)端点函数值的符号反思与回顾1.本题求解的关键在于恰当构造函数，(1)xR，恒有f(x)1，转化为求函数f(x)min1.(2)对于aaln a1，构造函数，求aaln a的最大值为1，从而把不等式转化为方程(3)在第(2)问中为判定(x1)，(x2)符号，构建函数F(t)ett1，利用单调性加以确定抓住函数这一灵魂，找到解题的利器2题目综合考查导数、斜率公式、函数的零点、不等式等基础知识，灵活利用函数方程思想，有效实施了方程、不等式、函数之间的相互转化.
