福建省福清市2020届高三下学期3月“线上教学”质量检测数学（理） Word版含答案.doc

1、 - 1 - 绝密启用前 福清市福清市 2020 届高三年届高三年“线上教学线上教学”质量检测质量检测 数 学 （ 理 科 ） 试数 学 （ 理 科 ） 试 卷卷 （完卷时间 120 分钟；满分 150 分） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页满分 150 分. 第第 卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1.已知集合5Ux x， 327 x Ax，则A U A 3x x B 5x x

2、 C 35xx D 035x xx或 2.已知复数z满足0zz，且 9z z，则z A3 B3i C3 D3i 3.已知两个力 1 4,2F ， 2 2,3 F 作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保 持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力 3 F，则 3 F A 2, 5 B2,5 C5, 2 D5,2 4.已知等比数列 n a的前n项和为 n S，若 2413 2aaaa，且 1 3 5 512a a a ，则 10 S A.1022 B.2046 C. 2048 D. 4094 5.如图 1 为某省 2019 年 14 月快递业务量统计图， 图 2 是该省 2019 年 14

3、 月快递业务收入统 计图，下列对统计图理解错误的是 A2019 年 14 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件 B2019 年 14 月的业务量同比增长率超过 50%，在 3 月最高 C从两图来看 2019 年 14 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D从 14 月来看，该省在 2019 年快递业务收入同比增长率逐月增长 6.已知 2 22f xx xf ，则曲线 yf x在点 1f1，处的切线方程为 A4 90xy B610xy C10 10xy D610xy - 2 - 7.若 4 12(1)xax展开式中 2 x的系数为78，则整数a的值为

4、A3 B2 C2 D3 8.已知函数( )ee xx f x ，若 0.5 0.6a ， 0.5 log0.6b ， 0.6 log5c ，则 A ( )( )( )f af bf c B( )( )( )f cf bf a C ( )( )( )f bf af c D( )( )( )f cf af b 9.如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的 三视图，则该几何体的体积为 A. 4 B. 16 3 C. 32 3 D. 16 10.将曲线 1 2sin1 24 yx 向左平移 4 个单位长度， 得到曲线的 对称中心为 A. 2,0 ,kkZ B. 2,0 , 4 kk

5、 Z C. 2,1 , 4 kk Z D. 2,1 , 4 kk Z 11.已知双曲线 22 22 :10,0 xy Eab ab 的右焦点F的坐标为,0c，过F作与E的两条渐近 线平行的直线 12 ,l l， 若 12 ,l l与E的渐近线分别交于,A B两点， 且四边形OAFB（O为坐标原点） 的面积为bc，则E的离心率为 A3 B2 C 3 D2 12.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边 形为面的多面体，体现了数学的对称美如图，将正方体沿交于一顶 点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥， 得到 一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等， 其中八

6、个为正三 角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若棱长 为2的二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上， 则该球的表面积 为 A16 B 32 3 C8 D4 第第卷卷 注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共，共 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 13.已知3sin tan80, 2 ，则tan_. 14.某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为 5 4 2 , 6 5 5 ，只有通过前一关才能进 - 3 - 入下一关，且通过

7、每关相互独立某选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为 _. 15.已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S，且 13 10aa， 9 72S .数列 n b的首项为 3，且 1 3 n n b b ，则 210020 a b_. 16.过点 1,0M 的直线l与抛物线C： 2 4yx交于,A B两点（A在,M B之间） ，F是C的焦 点，点N满足6NFAF，则ABF与AMN的面积之和的最小值是_. 三、 解答题： 本大题共三、 解答题： 本大题共 6 小题， 共小题， 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 17 2

8、1 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17.（本小题满分 12 分） 已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 设7c o sc o saB bAa c， 且s i n2s i nAA. （1）求 A 及 a； （2）若2bc，求BC边上的高. 18. (本小题满分 12 分) 如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD 平面CDEF， 90BADCDA ， 1 2 2 ABADDECD，M是AE

9、的中点. （1）证明：AC平面MDF； （2）求平面DMF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值. 19. (本小题满分 12 分) 2019 年 9 月 24 日国家统计局在庆祝中 华人民共和国成立 70 周年活动新闻中 心举办新闻发布会指出， 1952 年2018 年， 我国GDP 查679.1亿元跃升至90.03 万亿元，实际增长 174 倍；人均 GDP 从 119 元提高到 6.46 万元， 实际增长 70 倍.全国各族人民， 砥砺奋进， 顽强拼搏， 实现了经济社会的跨越式发展.如图是 全国 2010 年至 2018 年 GDP 总量y（万 亿元）的折线图. 注：年份代码 19 分别对应

10、年份 20102018. （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与年份代码t的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y关于t的回归方程（系数精确到 0.01） ，并预测 2021 年全国 GDP 的总量. 附注： - 4 - 参考数据： 99 22 1111 99 582.01,64.668,3254.80,345.900 ii ii iii ii ttyyyyty . 参考公式：相关系数 1 22 11 n ii i nn ii ii ttyy r ttyy ； 回归方程y abt $ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 1 2 1 n ii i n i i ttyy b tt $

11、 ， aybt $ . 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 过点2,1P，且离心率为 3 2 . （1）求C的方程； （2）已知直线l不经过点P，且斜率为 1 2 ，若l与C交于两个不同点,A B，且直线,PA PB的 倾斜角分别为 , ，试判断 是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 ln2sinf xxxx ，证明： （1） f x在区间 0,存在唯一极大值点； （2） f x有且仅有 2 个零点. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题

12、作答如果多做，则按所做第两题中任选一题作答如果多做，则按所做第 一个题目计分，作答时请用一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22.（本小题满分 10 分）选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 3 2 2 1 2 xt yt (t为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为4cos6sin. （1）求C的直角坐标方程； （2）设C与l交于点MN，点A的坐标为3,1，求AMAN. 23.（本小题满分 10 分）选修45：不等式选讲 - 5 - 已知函数 211,

13、f xxax （1）当2a 时，求不等式 1f x 的解集； （2）当 1,2x 时，不等式 1f xx 成立，求实数a的取值范围. 福清市福清市 2020 届高三年届高三年“线上教学线上教学”质量检测质量检测 理科数学参考答案及评分细则理科数学参考答案及评分细则 评分说明： 1本解答给出了解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应给分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再

14、给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分分，满分 60 分分 1. C 2. C 3. A 4. B 5. D 6.D 7.A 8. A 9. B 10.C 11.B 12.A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 2 2 14. 4 15 15.13 16. 8 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分 17.【

15、命题意图】本题主要考查解三角形、正弦定理和余弦定理等基础知识，意在考查逻辑推 理、数学运算、直观想象的数学核心素养满分 12 分 【解析】 （1）因为7coscosaBbAac，根据正弦定理得， 7 sincossincossin, 7 ABBAaC 2 分 7 sinsin, 7 CaC又因为sin0,C ， 7.a 3 分 sin2sin ,2sincossin ,AAAAA 4 分 - 6 - 因为sin0,A所以 1 cos 2 A ， 5 分 (0, ),. 3 AA 6 分 （2）由（1）知，7,. 3 aA 由余弦定理得 222 2cos ,abcbcA 222 7,7(),bc

16、bcbcbc 8 分 因为2bc，所以74,bc所以3.bc 9 分 设 BC 边上的高为h. 1133 3 sin3. 2224 ABC SbcA 10 分 113 3 7, 224 ABC Sahh ， 3 21. 14 h 即 BC 边上的高为 3 21 14 . 12 分 18.【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，二面角等基础知识，意 在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养满分 12 分 【解析】【解析】 （1）连结CE，交DF于N，连结MN，如图所示， 因为四边形CDEF是矩形，所以N是CE的中点， 1 分 由于M是AE的中点， 所以/MN AC， 2

17、 分 由于MN 平面MDF，AC 平面MDF， 所以/AC平面MDF. 4 分 （2）因为平面ABCD 平面CDEF， 平面ABCD平面CDEFCD，DECD， 所以DE 平面ABCD， 可知,AD CD DE两两垂直， 5 分 以点D为原点，分别以,DA DC DE uuu r uuu r uuu r 的方向为x轴、y轴、z轴 的正方向，建立空间直角坐标系O xyz. 因为2AB ，则 (1,0,1)M ， (0,4,2)F ，(1,0,1)DM ， (0,4,2)DF ，设平面MDF的法向量为 1 ( , , )nx y z， 则 1 1 0, 0, nDM nDF 所以 0, 420,

18、xz yz 7 分 取 1y ，则 1 (2,1, 2)n ， 8 分 依题意，得平面ABCD的一个法向量为 2 (0,0,1)n ， 9 分 12 12 12 22 cos, 34141 nn n n n n ， 11 分 故平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为 2 3 . 12 分 19.【命题意图】本题主要考查线性回归、相关系数等基础知识，意在考查数学建模、数学抽 - 7 - 象、数学运算、数据分析的数学核心素养满分 12 分 【解析】 （1）由折线图中的数据和附注中参考数据得 123456789 5 9 t ， 1 分 9 2 1 60 i i tt ， 2 分 999 11

19、1 iiiii iii ttyyt yty 3254.805 582.01344.75 ， 4 分 所以 344.75 0.997 345.90 r ， 5 分 因为y与t的相关系数近似为 0.997，说明y与t的线性相关程度相当高， 从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系. 6 分 （2）由已知及（1）得 9 1 9 2 1 ii i i i ttyy b tt 344.75 5.746 60 ， 8 分 64.6685.74 6 535.94aybt， 9 分 所以y关于t的回归方程为35.945.75yt. 10 分 将 2021 年对应的年份代码12t 代入回归方程， 得35.945.

20、75 12104.94y ， 所以预测 2021 年全国 GDP 总量约为 104.94 万亿元. 12 分 20.【命题意图】本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查的数 学核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算满分 12 分. 【解析】(1)由题意得 22 2 2 41 1 3 1 2 ab cb e aa ， 2 分 解得 22 8,2ab， 3 分 所以C的方程为 22 1 82 xy . 4 分 (2)设直线 1 :0 2 l yxm m， 1122 ,A x yB x y， 由 22 1 2 1 82 yxm xy ，得 22 2240xmxm， 由 22 4

21、8160 0 mm m ，解得20m 或02m， 5 分 则 2 121 2 2 ,24xxm x xm， 6 分 依题意，易知PA与PB的斜率存在，所以, 22 ， 设直线PA与PB的斜率分别为 12 ,k k，则 1 tank， 2 tank， 7 分 - 8 - 欲证 ，只需证tantantan ，即证 12 0kk. 8 分 12 12 12 11 , 22 yy kk xx 故 1221 12 1 12 212 121211 2222 yxyxyy xxxx kk . 9 分 又 11 1 , 2 yxm 22 1 2 yxm， 所以 1221 1212yxyx 1221 11 12

22、12 22 xmxxmx 10 分 121212 241xxmxxmxx 2 242241mmmm 0, 11 分 12 0,kk所以 . 12 分 21.【命题意图】本题主要考查函数和导数及其应用、三角函数等基础知识，意在考查直观想 象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养满分 12 分. 【解析】(1)设 1 12cosg xfxx x ， 1 分 当0,x时， 2 1 2sin0gxx x ， 所以 g x在 0,上单调递减， 2 分 又因为 33 1 10 3 g ， 2 10 2 g ， 3 分 所以 g x在 , 3 2 上有唯一的零点， 即函数 fx 在 0,上存在唯一零点 4 分

23、当 0,x 时， 0fx ， f x在 0,上单调递增; 当 ,x时， 0fx ， f x在 ,上单调递减; 所以 f x在 0,上存在唯一的极大值点. 32 5 分 (2)由(1)知： f x在 0,上存在唯一的极大值点. 32 所以 ln220 2222 ff ， 又因为 2222 1111 22sin220 eeee f ， 所以 f x在 0,上恰有一个零点 6 分 又因为 ln20f ， 所以 f x在 ,上也恰有一个零点 7 分 当 ,2x 时，sin0x， lnf xxx ， - 9 - 设 lnh xxx ， 1 10h x x ， 所以 h x在 ,2上单调递减，所以 0h

24、xh ， 8 分 所以当 ,2x 时， 0f xh xh 恒成立， 所以 f x在 ,2上没有零点 9 分 当2 ,x 时， ln2f xxx， 设 ln2xxx， 1 10x x ， 所以 x 在 2 , 上单调递减， 所以 2ln222222420x 10 分 所以当 2 ,x 时， 20f xx 恒成立 所以 f x在 2 , 上没有零点 11 分 综上， f x有且仅有两个零点 12 分 22.【命题意图】本题主要考查直线的参数方程和参数的几何意义，直角坐标方程和极坐标方 程的互化，直线和圆的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数 学核心素养满分 10 分. 【解析】(1)曲线C的方程4cos6sin， 2 4 cos6 sin， 2 分 22 46xyxy， 4 分 即C的直角坐标方程为 22 2313xy. 5 分 (2)设点MN，对应的参数分别为 12 tt，. 把直线 2 3 2 2 1 2 xt yt (t为参数)代入C得， 22 22 1213 22 tt ， 整理得， 2 3 280tt