1、第5章 三角函数5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1)人教A版2019高中数学必修第一册(1)理解正、余弦函数的周期性、理解正、余弦函数的周期性、奇偶性的意义奇偶性的意义;(2)求简单函数的周期性、奇偶性求简单函数的周期性、奇偶性.22311yxO2作出作出 y=sinx，y=cosx,x0，2 的图象的图象223yxO2-11复习：复习：y=sinx、y=cosx的图象的图象sin,yx xRcos,yx xR复习：复习：余弦曲线余弦曲线正弦曲线正弦曲线sin,yx xRcos,yx xR下面我们研究正弦函数、余弦函数的主要性质下面我们研究正弦函数、余弦函数的主要性质 x6yo-1234
2、5-2-3-41y=sinx,x 0,2 y=sinx,x R结论：结论：象这样一种函数叫做象这样一种函数叫做周期函数周期函数.正弦函数、余弦函数的性质【定义】一般地，设函数 的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一 个 都有 ，且 .那么函数 就叫做 周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.周期函数的周期不止一个.例如2，4，6以及-2，-4，-6等.都是正弦函数的周期.如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期.根据上述定义，有如下结论：【1】正弦函数是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的的周期，最小正周期是2【2】余弦函数是周期函数，2k
3、(kZ且k0)都是它的的周期，最小正周期是2正弦函数、余弦函数的性质【周期函数的理解】对周期函数与周期定义中的“当 取定义域内的每一个值时”，要特别注意其中“每一个”的要求.如果只是对某些 有 ，那么T就不是 的周期.自变量 本身加的常数才是最小正周期.如 中T不是最小正周 期，因为 ，所以 才是最小正周期.周期函数的周期不唯一.若T是函数 的最小正周期，则 也是 函数 的周期.并不是所有的周期函数都有最小正周期.例如，对于函数 所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小 正周期.在周期函数在周期函数y=f(x)中中,T是周期是周期,若若x是定义域内的一个值是定义
4、域内的一个值,则则x+kT(kZ且且k0)也也一定属于定义域一定属于定义域,因此因此周期函数的定义域一定是无限集周期函数的定义域一定是无限集,而且定义域无上界或者无而且定义域无上界或者无下界下界.例例1:求下列函数的周期：求下列函数的周期：Rxxy,cos31 21T T2 43T Rxxy,2sin2 Rxxy,621sin23探究与发现 探究与发现 2|T sin()yAx的周期：的周期：cos()yAx的周期：的周期：2|T 练习练习:求下列函数的周期求下列函数的周期：45T 22T T4)431sin(1xy 61Txy4cos2 xysin4 241cos5xy).52sin(3)3
5、(xy 43Tsin(-x)=-sinx (x R)y=sinx(x R)x6yo-12345-2-3-41奇函数奇函数x6o-12345-2-3-41ycos(-x)=cosx (x R)y=cosx(x R)偶函数偶函数定义域关于定义域关于原点原点对称对称2、正、余弦函数的奇偶性、正、余弦函数的奇偶性:【注意】判断函数的奇偶性时，一定要先判断函数的定义域是否关于原点对称，只要定义域不关于原点对称，那么这个函数肯定不具备奇偶性.由奇偶性我们知道正弦曲线关于原点(0,0)对称，余弦曲线关于y轴(x=0)对称.正弦曲线和余弦曲线即是中心对称图形，又是轴对称图形.练习练习:判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性：Rxxy，3sin1奇函数奇函数偶函数偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数 Rxxxy，cossin2 Rxxy，sin13【当堂当堂小结小结】1.正、余弦函数的周期性正、余弦函数的周期性:Rxxy,sinRxxy,cos2T2T2.正、余弦函数的奇偶性正、余弦函数的奇偶性:奇函数奇函数偶函数偶函数Rxxy,sinRxxy,cos
