2.2 基本不等式ppt课件 (2)-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.pptx

1、 如图是在北京召开的第如图是在北京召开的第2424届国际届国际数学家大会的会标，会标是根据中国数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的；古代数学家赵爽的弦图设计的；比较比较4 4个直角三角形的面积和与个直角三角形的面积和与大正方形的面积大正方形的面积,有什么结论？有什么结论？在正方形在正方形ABCDABCD中有中有4 4个全等的直角三角形个全等的直角三角形.（1 1）如图，设直角三角形直角边的长为）如图，设直角三角形直角边的长为a,ba,b（abab）那么正方形的边长为）那么正方形的边长为22ba 正方形正方形ABCDABCD的面积为的面积为a a2 2+b+b2 2,4 4

2、个直角三角形的面积和为个直角三角形的面积和为2ab 2ab 此时，正方形此时，正方形ABCDABCD的面积大于的面积大于4 4个直角三角形的面积和。个直角三角形的面积和。即即 a a2 2+b+b2 22ab2ab（2 2）当直角三角形变为等腰直角三角形，）当直角三角形变为等腰直角三角形，即即a=ba=b时，小正方形缩为一个点时，有时，小正方形缩为一个点时，有 a a2 2+b+b2 2=2ab=2ab 对对于于任任意意实实数数a a，b b，都都有有 a ab ba ab b222 （当且仅当（当且仅当 a=b a=b 时等号成立）时等号成立）证明：证明：a ab ba ab b222 即即

3、 a ab ba ab b2220 对对于于任任意意实实数数a a，b b，都都有有 a ab ba ab b222 （当且仅当（当且仅当 a=b a=b 时，等号成立）时，等号成立）a ab ba ab b（a a，b bR R）222 一、重要不等式一、重要不等式:a ab b2()0（当且仅当（当且仅当 a=b a=b 时，等号成立）时，等号成立）（当且仅当（当且仅当 a=b a=b 时，等号成立）时，等号成立）2222（）（）abababab2(a a 0 0，b b 0 0)（当且仅当（当且仅当a=ba=b时，等号成立）时，等号成立）abab即即 ab(a0,b0)ab(a0,b0)

4、2 ,如如果果a0a0，b0b0，我我们们用用 abab分分别别替替换换a a和和b b，得得对对于于任任意意实实数数a a，b b，都都有有 a ab ba ab b222 （当且仅当（当且仅当 a=b a=b 时，等号成立）时，等号成立）一、重要不等式：一、重要不等式：即即 abab abab2(a a 0 0，b b 0 0)只要证只要证 a+b a+b （2 2）要证（要证（2 2），），只要证只要证 a+ba+b 0 0（3 3）要证（要证（3 3），），只要证只要证 （）20 0（4 4）显然，（显然，（4 4）是成立的）是成立的。当且仅当。当且仅当 a=b a=b 时，时，（4

5、4）中的等号成立。）中的等号成立。用分析法证明：用分析法证明：要证要证 2abab（1 1）ababa0,b0)2 （2ab2 ababa ab b2 a ab b注注：如果把：如果把看作是正数看作是正数a a、b b的算术平均数，的算术平均数，看作是正数看作是正数a a、b b的几何平均数，那么的几何平均数，那么可以叙述为：可以叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.二、基本不等式：二、基本不等式：abab即即 ab(a0,b0)ab(a0,b0)2 abababab2(a a 0 0，b b 0 0)（当且仅当（当且仅当a=ba=b时，

6、等号成立）时，等号成立）,110.已已 知知 x x求求 x x例例的的 最最 小小 值值x x：2,12;()1.422 已已 知知 x x y y 都都 是是 正正 数数，求求 证证：（）如如 果果 积积 x x y y 等等 于于 定定 值值 P P，那那 么么当当 x xy y 时时，和和 x xy y 有有 最最 小小 值值P P如如 果果 和和 x x+y y 等等 于于 定定 值值 S S，那那 么么当当 x xy y 时时，积积 x x y y 有有 最最 大大 值值S S例例：（当且仅当（当且仅当a=ba=b时，等号成立）时，等号成立）二、基本不等式：二、基本不等式：2 a

7、ab b即即 a ab b(a a 0 0，b b 0 0)abababab2(a a 0 0，b b 0 0)a a与与b b均为正数均为正数一正一正积定积定和和最最小小和定和定积积最最大大二定二定若等号成立，若等号成立，a a与与b b必须能够相等必须能够相等三相等三相等注：（注：（1 1）应用基本不等式时应满足三个条件：应用基本不等式时应满足三个条件：“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”。2 2 2abababab（）(a0(a0，b0)b0)x xy yx xy y2 2x x（）xyxyy y_2 则则由由 xyxyxyxy2_ （1 1）若）若x xy=sy=s，则由，则由 可

8、知，可知，当且仅当当且仅当 _ _时，时，xyxy有最大值是有最大值是_ _ (简称：简称：和定积最大和定积最大)注：（注：（2 2）利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值已知已知x0 x0，y0y0，则：，则：（2 2）若）若xy=pxy=p，可知，可知，当且仅当当且仅当 _ _时，时，x xy y有最小值是有最小值是 .(简称：简称：积定和最小积定和最小)1.1.若若a a，b b为正实数，且为正实数，且a ab b2 2，则，则abab的最大值为（的最大值为（）学以致用：学以致用：A.3 B.1 C.2 3 D.2B下面解法正确吗？为什么下面解法正确吗？为什么?222221,1;2:1

9、21,11122.2,1 1.已已知知x x时时 求求x x的的最最小小值值解解 x xx x当当且且仅仅当当x x即即x x时时 x x有有最最小小值值 x xx x12,.1122,2.1,.:1 2 2.已已知知x x求求f f(x x)=x x的的最最小小值值x xx xx x原原式式有有最最小小值值x xx x当当且且仅仅当当x x即即解解时时x x等等号号成成立立x x思考题：思考题：练习：练习：已知已知x x、y y都是正数，求证：都是正数，求证：22；x xy yy yx x 解：解：x x，y y都是正数，都是正数，0，0 xyyxx xy yx xy yy yx xy yx

10、 x2 =2=2x xy y即即y yx x2 （当且仅当（当且仅当x=yx=y时，等号成立）时，等号成立）x xy yy yx x2 x xy yx x与与 y y同同 号号y yx x2()（当且仅当（当且仅当 x=y x=y 时，等号成立）时，等号成立）abababab（abab1.0,0)2 三、基本不等式的变形三、基本不等式的变形2 2a abbbb（aaaab b（）20,0)（当且仅当（当且仅当x=1x=1时，等号成立）时，等号成立）x x（x xx x12.20)x x（x xx x120)（当且仅当（当且仅当x=x=1 1时，等号成立）时，等号成立）（当且仅当（当且仅当a=b

11、a=b时，等号成立）时，等号成立）（当且仅当（当且仅当x=yx=y时，等号成立）时，等号成立）xyxy（x x与与y y同同号号yxyx3.2)请看课本请看课本P46P46：练习：练习3 3，4 4，5 5例例3 3：（1 1）用篱笆围成一个面积为）用篱笆围成一个面积为100m100m2 2的矩形的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？短？最短篱笆的长度是多少？（2 2）用一段长为）用一段长为36 m36 m的篱笆围成一个矩形菜园，的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大当这个矩形的边长为多少时

12、，菜园的面积最大?最大面积是多少最大面积是多少?请看课本请看课本P48P48练习：第练习：第2 2题题2.2.用一段长为用一段长为30 m30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长形菜园，墙长18 m.18 m.当这个矩形的边长为多少时，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大菜园的面积最大?最大面积是多少最大面积是多少?例例4 4：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为为4800m4800m3 3，深为，深为3m3m，如果池底每，如果池底每1m1m2 2的造价为的造价为150150元，元，池壁每池壁每1m1m2 2的造

13、价为的造价为120120元，问怎样设计水池能使总造元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？价最低，最低总造价是多少元？解：解：设底面的长为设底面的长为x x m m,宽为宽为y m,y m,水池总造价为水池总造价为z z元元,则则=240000+720(x+y)=240000+720(x+y)3232(12034800150yxz 由容积为由容积为4800m4800m3 3,可得可得3xy=4800,3xy=4800,因此因此xy=1600,xy=1600,240000+720(240000+720(x+yx+y)240000+720)240000+7202 2x xy y 即即 z240000+720z240000+7202 21600=297600 =297600 当且仅当当且仅当x=y=40 x=y=40时，等号成立时，等号成立所以，将水池的底面设计成边长为所以，将水池的底面设计成边长为40 m40 m的正方形时总造价的正方形时总造价最低，最低总造价为最低，最低总造价为297600297600元。元。请看课本请看课本P48P48：第：第3 3题题