1、基本不等式2abab礼泉二中礼泉二中 袁格丽袁格丽教学目标教学目标1.能利用完全平方公式得出的重要不等式进一步得到基本不等式2.从几何和代数两角度论证基本不等式，培养学生数形结合的思想、直观想象的学科素养.3.能初步利用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，从中领会不等式成立时的三个限制条件（一正、二定、三相等）在求解最值问题中的作用.等式等式的基本性质相等关系自身的特性等式在运算中的不变性不等关系不等式不等式的基本性质不等关系自身的特性不等式在运算中的不变性两个实数大小关系的基本事实上节回溯上节回溯 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地，对于任意实数a，b，我们有：22
2、2abab当且仅当a=b时，等号成立.如如果果0 0,0 0,我我们们用用,分分别别代代替替,可可得得到到什什么么结结论论？ababab22()()2abab2abab即：)0,0(ba2abab 即：一、基本不等式一、基本不等式 一般地，对于任意正实数a，b，我们有：当且仅当a=b时，等号成立.2a+bab 我们把 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；2a+bab 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2a+bab要要证证当且仅当a=b时，上式中的等号成立。2a+bab只只需需证证20a+b-ab只只需需证证2()0a-b只只需需证证()20a-b而
3、而显显然然成成立立.上面通过考察上面通过考察 a a2 2+b b2 222ab ab 的特殊情况得到了这个的特殊情况得到了这个结论，能不能直接利用不等式的性质推导出这个结结论，能不能直接利用不等式的性质推导出这个结论呢？论呢？用不等式表示为易证ACDDCB2a+bab二.的几何解释：显然，上述不等式当且仅当点C 与圆心重合，即当a=b时，等号成立.2a+bab过C 作弦DE AB 连接AD，BD，设AB 为圆的直径，点C 是AB上一点，由于CD小于或等于圆的半径，abCD 从而CDb=aCD三.例题讲解解所所：因因为为0 0，以以x=11+22.xxxx=211，当当且且仅仅当当即即0 0，1 1时时，等等号号成成立立.xxxx2因因此此所所求求的的最最小小值值为为.0,解解：xx.1 0=+，变变式式：若若求求的的最最大大值值xyxx1=-+(-)yxx1-+(-)2-2 xyx1-=-1=-=2，当当且且仅仅当当即即时时maxxxyx3、用均值不等式，应具备三个条件：四、归纳小结：1、重要的不等式一般地，对于任意实数a，b，我们有：222abab当且仅当a=b时，等号成立.2、基本不等式一般地，对于任意正实数a，b，我们有：当且仅当a=b时，等号成立.2abab一正二定三相等。
