1、3.2.1单调性与最大（小）值第三章 函数的概念与性质1.会用函数增减性的概念判断函数在某一区间上的增减性.2.会求给定函数的单调性.3.会求函数在某一区间上的最大（小）值.4.会运用函数图象理解和研究函数的单调性.先研究二次函数 的单调性.画出它的函数图象，可以看到：图象在y轴左侧部分从左到右是下降，也就是说，当x0时，y随x的增大而增大.用符号语言描述，就是任意取 ，得到 ，那么当 时，有 .这是我们就说函数 在区间 上单调递增的.12,0,)x x 221122(),()f xxf xx12xx12()()f xf x2()f xx0,)的图象如图(1)，图象在在y轴左侧从左到右是下降的
2、，也就是说，当x0时，y随x的增大而减小，用符号语言描述就是任意取 ，则 ，当 时，有 ，所以 在区间 上单调递减.()f xx()f xx12,(,0 x x 1122(),()f xxf xx12xx12()()f xf x()f xx(,0类似地，在区间 是单调递增的.()f xx0,)的图象如图(2)，图象在在y轴左侧从左到右是上升的，也就是说，当x0时，.于是 ，即 .这时，是增函数.120f xf x120k xx12()()f xf x()f xkxb当k0，于是 即 所以，根据函数单调性的定义，函数 是减函数.也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.21,(0,)V V21VV
3、11212212.VVkkpkVVVpV12,(0,)V V 120VV 12VV210VV210,pp21.pp(0,)kpVV例3 根据定义证明函数 在区间 上单调递增.证明：，且 ，有1yxx(1,)12,(1,)x x12xx12121212121111yyxxxxxxxx2112121212121.xxxxxxx xx xx x由 ，得所以又由 ，得于是 即 .所以，函数 在区间 上单调递增.12,(1,)x x 121,1.xx12121,10.x xx x 12xx120.xx12121210,xxx xx x12yy1yxx(1,)定义法判断函数单调性的一般步骤：取值：在指定区
4、间内任取 ，且作差变形：作差 ，利用因式分解、配方等方法进行变形判号：判断 的符号定论：确定函数的单调性12,x x12xx21()()ff xx21()()ff xx定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)，都有 ；(2)，使得 .那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.xI()f xM0 xI0()f xM定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)，都有 ；(2)，使得 .那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值.xI()f xM0 xI0()f xM例4“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如
5、果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位:s）之间的关系为 ，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？解：画出函数的图象，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.2()4.914.718h ttt 由二次函数的知识，对于函数 ，我们有：当 时，函数有最大值于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.2()4.914.718h ttt 14.71.52(4.9)t 24(4.9)1814.729.4(4.9)h 例5 已知函数 ，求函数的最大值和最小值.分析
6、：由函数 的图象可知，函数在区间 上单调递减.所以，函数 在区间 的两个端点上分别取得最大值和最小值.2()(2,6)1f xxx2()(2,6)1f xxx2,62()1f xx2,6解：，且 ，则由 ，得 ，于是 ，即 .所以，函数 在区间 上单调递减.因此，函数 在区间 的两个端点上分别取得最大值与最小值.在x=2时取得最大值，最大值是2；在x=6时取得最小值，最小值是0.4.12,2,6x x12xx12122211f xf xxx2112211=11xxxx21122=.11xxxx1226xx21120,110 xxxx 120f xf x12f xf x2()1f xx2,62(
7、)1f xx2,61.已知函数 .(1)证明：函数f(x)在区间 上是增函数；解:(1)证明：；设 ，则：；21()1xf xx(0,)213211xf xxx120 xx 121221123331111xxf xf xxxxx ；，；f(x)在区间 上是增函数；120 xx 120 xx-11 0 x 21 0 x 12123011xxxx12f xf x（）（）0 ，（）1.已知函数 .(2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.解:(2)f(x)在 上是增函数；f(x)在区间 上的最小值为 ,最大值为 .21()1xf xx1,170 ，（）117，11=2f（）11176f1.本节课我们主要学习了哪些内容？2.单调性的定义；3.单调性的应用；4.函数最值.
