1、3.2.2奇偶性探究一：观察下图，思考并讨论以下问题：探究一：观察下图，思考并讨论以下问题：(1)这两个函数图象图象有什么共同特征吗？(2)如何用符号语言符号语言描述这一特征？图象关于图象关于y轴对称轴对称函数值函数值是如何体现这一特征的？可以发现：当x取一对相反数时，相应的两个函数值相等f(-3)=9=f(3)f(-2)=4=f(2)f(-1)=1=f(1)对于对于R内任意的一个内任意的一个x,都有都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)这就是用符号语言描述图象关于y轴对称Oxy 结论：结论：当自变量当自变量x x在在定定义域义域内内任取任取一一对相反数时，相对相反数时，相应的两个函数值应
2、的两个函数值相同；相同；即：即：f(-x)=f(x)xP(x,f(x)P/(-x,f(x)-xP/(-x,f(-x)f(-x)=f(x)1偶函数偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果任意xI，都有-xI，且f(x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数偶函数 例如，函数 都是偶函数，112)(,1)(22xxfxxf它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.！注意：注意：1.偶函数指的是函数的整体性质，是在整个定偶函数指的是函数的整体性质，是在整个定义域内来说的义域内来说的.2.偶函数的前提条件是定义域关于原点对称偶函数的前提条件是定义域关于原点对称.要注意关于原点对称的含义要注意关
3、于原点对称的含义.3.在前提条件下，在前提条件下，偶函数偶函数 f(x)=f(-x)f(x)-f(-x)=0 图象关于图象关于y轴对称轴对称.探究二：观察下图，思考并讨论以下问题：探究二：观察下图，思考并讨论以下问题：(1)这两个函数图象图象有什么共同特征吗？图象关于原点对称(2)如何用符号语言符号语言描述这一特征？当x取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)实际上，对于实际上，对于R内任意的一个内任意的一个x,都有都有f(-x)=-x=-(x)=-f(x)2奇函数奇函数 注意：注意：1 1、函数的奇偶性
4、是函数的、函数的奇偶性是函数的整体性质整体性质（单调性是局部性质）（单调性是局部性质）2 2、由函数的奇偶性定义可知，、由函数的奇偶性定义可知，任意任意xIxI，都有，都有-xI-xI（即（即定义域关于原点对称定义域关于原点对称）一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果任意xI，都有-xI，且f(x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数奇函数 3 3、若、若f(x)为奇函数，奇函数，0 0II，一定有，一定有f(0)=f(0)=0 0 对于一个函数来说，它的奇偶性对于一个函数来说，它的奇偶性 有有以下以下可能：可能：奇函数奇函数 偶函数偶函数 既是奇函数又是偶函数；既是奇函数又是偶函数；
5、既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数.3分类 规律方法判断函数奇偶性的两种方法：(1)定义法：(2)图象法：1 1、函数奇偶性的判断解(1)函数的定义域为R，关于原点对称.又f(x)(x)4x4f(x)，f(x)是偶函数(2)f(x)的定义域是x|x0 ，关于原点对称.又 f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)f(x)是奇函数例例1.4(1)()1(2)()1,0(3)()0,01,0f xxf xxxxxf xxxx(3)显然函数f(x)的定义域关于原点对称当x0，f(x)x+1(x-1)f(x)，当x0时，x0，f(x)x1(x+1)f(x)，当x=0时，f(0)0f(x)
6、f(x)，函数f(x)为奇函数2 2.奇偶函数图象的应用奇偶函数图象的应用奇函数奇函数 图象关于原点对称图象关于原点对称.偶函数偶函数 图象关于图象关于y轴对称轴对称.应用应用：奇偶函数图象的性质可用于：奇偶函数图象的性质可用于：a、已知奇偶性，简化函数图象的画法、已知奇偶性，简化函数图象的画法.b、已知函数图像，判断奇偶性、已知函数图像，判断奇偶性【例2】已知奇函数f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图象如图所示(1)画出f(x)在区间5,0上的图象；(2)写出使f(x)0的x的取值集合解（1）因为函数f(x)是奇函数，它在5,0上的图象，如图所示(2)使函数值f(x)0的x的取值集
7、合为(2,0)(2,5)观看下列两个偶函数的图像，思考：y轴两侧的图像有何不同？可得出什么结论？Ox2)(xxfOxy|1)(xxf结论：偶函数在结论：偶函数在y轴两侧的图像的升降方向轴两侧的图像的升降方向是相反的；是相反的；即偶函数在关于原点对称的区间上的单调即偶函数在关于原点对称的区间上的单调性性相反相反思考：奇函数是否具有相同的性质？思考：奇函数是否具有相同的性质？观看下列两个奇函数的图像，思考：y轴两侧的图像有何特点？可得出什么结论？Oxyxxxf1)(3)(xxfOxy结论：奇函数在结论：奇函数在y轴两侧的图像的升降方向是相同的；轴两侧的图像的升降方向是相同的；即：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性即：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同相同.
