四川省攀枝花市2020届高三第二次统一考试理数试题（解析版）.doc

1、 攀枝花市攀枝花市 2020 届高三第二次统一考试届高三第二次统一考试 理科数学理科数学 注意事项：注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应顺目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应顺目的答案标号涂黑.如需改动，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上写在本试卷上 无效无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题

2、卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.设i为虚数单位，z表示复数z的共轭复数，若 1zi ，则 z z i （ ） A. 2i B. 2i C. 2 D. 2 【答案】B 【解析】 1zi 1zi (1)(1)2 2 z zii i iii 故选 B 2.已知集合 2 30 , |17,Mx xxNxx ，则 R C MN （ ） A. 37xx B. 37xx C. 13x

3、x D. 13xx 【答案】C 【分析】 根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】由 2 303Mx xxx x 或0x ， 所以03 R C Mxx ，又 |17Nxx， 13 R C MNxx ， 故选：C 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题. 3.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示） ，表示一个多位数时，像阿拉 伯记数一样， 把各个数位的数码从左到右排列， 但各位数码的筹式需要纵横相间， 其中个位、 百位、 方位 用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，则 56846 可用算筹表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 根据题

4、意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案 【详解】解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位， 十万位用横式表示， 56846用算筹表示应为：纵 5横 6 纵 8横 4纵 6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为B中的 故选：B 【点睛】本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题 4.在1,2,3,4,5,6,7这组数据中，随机取出五个不同的数,则数字3是取出的五个不同数的中位数的所有取法 为（ ） A. 24 种 B. 18 种 C. 12 种 D. 6种 【答案】D 【分析】根据题意，由中位数的定义分析可得要使数字 3 是取出的五个不同数

5、的中位数，则取出的数字中 必须有 4，5、6、7 中的两个，必须有 1，2这 2个数字，由组合数公式计算可得答案 【详解】由题得必须有 1，2这 2 个数字，4，5、6、7中必须有两个， 所以所有取法为 22 24 6C C . 故选：D 【点睛】本题主要考查中位数的定义，考查排列组合的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5.若 3 tan 4 ，则 2 cos2sin2（ ） A. 64 25 B. 48 25 C. 1 D. 16 25 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 ： 由 3 t a n 4 ， 得 34 sin,cos 55 或 34 sin,cos 55 ， 所 以

6、 2 1 61 26 4 c o s2 s i n 24 2 52 52 5 ，故选 A 【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式 【方法点拨】三角函数求值：“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而 求出三角函数值；“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间联系 6. 2 6 1 12xx x 的展开式中，含 2 x的项的系数是（） A. -40 B. -25 C. 25 D. 55 【答案】B 【分析】 写出二项式 6 1 x x 的展开式中的通项，然后观察含 2 x的项有两种构成，一种是 2 12x 中的 1 与 6 1 x x 中的二次项相乘得到，一种是

7、 2 12x 中的 2 2x与 6 1 x x 中的常数项相乘得到，将系数相加即 可得出结果 【详解】二项式 6 1 x x 的展开式中的通项 66 2 166 1 C( 1) C k kkkkk k Txx x ，含 2 x的项的系数为 2233 66 ( 1)2 ( 1)25CC ，故选 B. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题 7.已知 ,m n是两条不同的直线 , 是两个不同的平面,则 /mn的充分条件是（ ） A. ,m n与平面所成角相等 B. / / ,/ /mn C / / ,mmn D. /,mn 【答案】C 【分析】根据

8、空间线面位置关系的判定或定义进行判断即可. 【详解】对于 A，若 ,m n与平面所成角相等，则,m n可能相交或者异面，故 A 错； 对于 B，若/ / , / /mn，则 ,m n可能相交或者异面，故 B错； 对于 C，若/ / ,mmn ，由线面平行的性质定理可得/mn，故 C 正确； 对于 D，若/,mn ，则 ,m n可能异面，故 D错； 故选：C 【点睛】本题主要考查了空间中线面的位置关系，需掌握判断线面位置关系的定理和定义，考查了空间想 象能力，属于基础题 8.已知AB是圆心为C的圆的条弦,且 9 2 AB AC ,则AB （ ） A. 3 B. 3 C. 2 3 D. 9 【答案

9、】B 【分析】 过 点C作CDAB于D， 可 得 1 2 ADAB， 在R tA C D中 利 用 三 角 函 数 的 定 义 算 出 1 cos 2 ACCABADAB，再由向量数量积的公式加以计算，结合 9 2 AB AC 即可求解. 【详解】 过点C作CDAB于D，则D为AB的中点， Rt ACD中， 1 2 ADAB， 1 cos 2 ACCABADAB， 2 91 cos 22 AB ACAB ACCABAB, 解得3AB . 故选：B 【点睛】本题主要考查向量数量积的几何意义以及根据数量积求模，属于基础题. 9.函数 2 axb fx xc 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）

10、 A. 0a，0b，0c B. 0a，0b，0c C. 0a，0b，0c D. 0a，0b，0c 【答案】C 【解析】 试题分析：函数在P处无意义，由图像看P在y轴右侧，所以0,0cc ， 2 00,0 b fb c ，由 0,0,f xaxb即 b x a ，即函数的零点000.0,0 b xaabc a ，故选 C 考点：函数的图像 10.函数 2 3 2f xsin xcos x的图象向右平移 6 个单位 长度得到 yg x的图象.命题 1: pyg x的图象关于直线 2 x 对称;命题 2: ,0 4 p 是 yg x的一个单调增区间.则在命题 112212312 :,:,:qpp q

11、ppqpp 和 412 :qpp 中,真命题是( ) A. 13 ,q q B. 14 ,q q C. 23 ,q q D. 24 ,q q 【答案】A 【解析】 【分析】 首先利用辅助角公式将函数 23 2f xsin xcos x化为 22 3 f xsinx ，由三角函数的图像变 化规律求出 g x的解析式，根据三角函数的性质判断 1 p与 2 p真假，再由命题的否定以及真假表即可判断. 【详解】 13 23 22sin2cos22sin 2 223 f xsin xcos xxxx ， 由2 32 xkkZ ，解得 212 k xkZ ， 显然 2 x 不是 g x对称轴，故 1 p为

12、假命题. 由222 232 kxkkZ ，解得 5 1212 kxkk Z， 故函数 g x的单调递增区间为 5 , 1212 kk 当0k 时， 5 1212 x ，又,0 4 5 , 12 12 ，故 2 p为真命题. 故 1 p为真命题， 2 p为假命题， 故 112 :qpp为真命题； 212 :qpp 为假命题； 312 :qpp为真命题； 412 :qpp 为假命题； 故选：A 【点睛】本题考查了辅助角公式、三角函数的性质、命题真假的判断以及命题的否定、真假表，需熟记三 角函数的性质以及真假表，属于基础题. 11.在三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 上平面ABC,记ABC

13、和四边形 11 ACC A的外接圆圆心分别为 12 ,O O,若 2AC ,且三棱柱外接球体积为 32 3 ,则 22 12 O AO A的值为（ ） A. 8 3 B. 3 C. 11 3 D. 5 【答案】D 【分析】如图，设三棱柱的外接球的球心为 O,连接 1, OO OA.设三棱柱的高为 h，外接球的半径为 R, 先求出 R,再求 22 12 O AO A的值. 【详解】 如图，设三棱柱的外接球的球心为 O,连接 1, OO OA. 设三棱柱的高为 h，外接球的半径为 R,由题得 3 432 ,2 33 RR 在直角三角形 1 OAO中， 2 22222 11 4( )=4 24 hh

14、 OARO AO A， 在直角三角形 1 CAA中， 2 222 22 4 22, 4 h hOAOA , 所以 22 12 =5O AO A. 故选：D 【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12.已知函数 2 2ln ,0 ( ) 3 ,0 xxx x f x xx x 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y 的对称点在 1ykx的图象上，则实数k的取值范围是（ ） A. 1 (,1) 2 B. ( 1,1) C. 1 1 (, ) 3 2 D. 1 1 (, ) 2 2 【答案】B 【分析】由题意可化为函数 ( )f x图象与1ykx 的

15、图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即 可 【详解】解：函数 2 2ln ,0 ( ) 3 ,0 xxx x f x xx x 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y 的对称点在 1ykx的图象上， 而函数1ykx关于直线1y 的对称图象为1ykx ， 2 2ln ,0 ( ) 3 ,0 xxx x f x xx x 的图象与1ykx 的图象有且只有四个不同的交点， 作函数 2 2ln ,0 ( ) 3 ,0 xxx x f x xx x 的图象与1ykx 的图象如下， 易知直线1ykx 恒过点(0,1)A， 设直线AC与 2yxxlnx 相切于点 ( ,2)C xxxlnx ， 1

16、ylnx ，故 21 1 xxlnx lnx x ， 解得，1x ，故1 AC k； 设直线AB与 2 3yxx 相切于点 2 ( ,3 )B xxx， 23yx ， 故 2 31 23 xx x x ， 解得，1x； 故 2131 AB k ， 故11k ， 即11k ； 故选：B 【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用，属于 难题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.已知 0,0ab，若 34 1 loglog 2 ab，则 a b _ 【答案】 3 2 【分析】根据指数式

17、与对数式的互化即可求解. 【详解】由 34 1 loglog 2 ab，则 1 2 3a ， 1 2 4b ， 1 1 2 2 1 2 333 42 4 a b ， 故答案为： 3 2 【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化、指数幂的运算，属于基础题. 14.若 , x y满足 20 3 0 xy xy x ，则 2zxy 的最大值为_ 【答案】4 【解析】 当直线 z2xy经过直线 2xy0 与直线 xy3 的交点(1，2)时，z 取最大值 2124. 15.已知定义在R上的函数 ( )f x满足( )( )()f xg xgx ，且 ( )f x在(,0) 单调递增，对任意的 12 ,(

18、0,)x x ， 恒有 1212 f xf xf xx， 则使不等式 2 () 1 ()(2)0 2 fmfm成立的m的 取值范围是_. 【答案】0,9) 【分析】首先判断函数的奇偶性、单调性，再将函数不等式转化为自变量的不等式，计算可得. 【详解】解：因为定义在R上的函数 ( )f x满足( )( )()f xg xgx 故()()( )( )fxgxg xf x ，所以 ( )f x为奇函数，又( )f x在(,0) 单调递增，根据奇函数的对称 性，可知 ( )f x在R上单调递增，又对任意的 12 ,(0,)x x ，恒有 1212 f xf xf xx， 2 1 ()(2)0 2 ()

19、fmfm 11 2 22 fmmf m 212 0 mm m 解得03m 所以09m，即0,9m 故答案为：0,9 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，属于中档题. 16.如图，在直四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD是菱形，,E F分别是 11 ,BB DD的中点，G为AE 的中点且2FG ，则EFG面积的最大值为_. 【答案】 4 3 【分析】建立坐标系，使用向量法求出E到直线FG的距离，代入面积公式，使用不等式的性质求出最值 【详解】解：连接AC交BD于O， 底面ABCD是菱形，ACBD， 以OC，OD，OZ为坐标轴建立空间直角坐标系Oxyz， 设OCa，ODb，

20、棱柱的高为h， 则,0,0Aa， 0, 2 h Eb ， (0F，b，) 2 h ， ( 2 a G， 2 b ，) 4 h ( 2 a FG ， 3 2 b ，) 4 h ， (0FE ，2b，0)， 2 33 cos, 2 24| | FG FEbb FG FE bFGFE ， E到直线FG的距离 2 2 1691 |sin,2169 42 b dFEFG FEbbb ， 22 222 16 1131634 9 169 2229232 EFG bb SFG dbbbb 当且仅当 22 16 9 bb即 2 8 9 b 时取 等号 故答案为： 4 3 【点睛】本题考查了空间向量与空间距离的计

21、算，不等式的应用，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.已知等差数列 n a中， n S为其前n项和, 245 8,15aaS;等比数列 n b的前n项和21 n n T (1)求数列 , nn ab的通项公式; (2)当 n a各项为正时,设 nnn cab,求数列 n c的前n项和

22、. 【答案】 （1） n an或6 n an， 1 2n n b （2）1 21 n n Tn 【分析】 （1）根据等差数列的通项公式与求和公式即可求 n a；由 n T与 n b的关系可求 n b. （2）利用错位相减法即可求和. 【详解】解： （1）设等差数列 n a的首项为 1 a，公差为d 则 211 11 38338 111 5101532 adaddd ddd adad 或 1 1,1, n daan 1 1,5,6 n daan 当2n时， 1 1 2n nnn bTT 当1n 时， 11 1bT也满足上式 所以 1 2n n b （2）由题可知， 1 ,2n nnnn an c

23、a bn 01221 1 22 23 2? 1 22 nn n Tnn 1231 21 22 23 2? 1 22 nn n Tnn 11 1 2? 22121 nnn n Tnn 故1 21 n n Tn 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式，已知 n S求 n a以及错位相减法，需熟记公式，属于基 础题. 18.如图,在四棱锥 PABCD中,侧面PAD 底面ABCD,底面ABCD为梯形， / /, 90 ,2. 2 AB ABCDABCBCDBCCD (1)证明:BDPD; (2) 若 PAD 为正三角形,求二面角APB C的余弦值. 【答案】 （1）证明见解析 （2） 105

24、35 【分析】 （1）先证明 BD平面 PAD,再证明BDPD； （2）如图所示，建立空间直角坐标系 Dxyz，利用向量 法求二面角APB C的余弦值. 【详解】 （1）证明：因为 2 4BCCDAB，又底面ABCD为直角梯形 222 2 2, 2 2, ADBDADBDABBDAD， 面PAD 底面 ABCD， 因为面PAD底面 ABCD AD=,BD 平面 ABCD, 所以 BD平面 .PAD 所以BDPD. （2）如图所示，建立空间直角坐标系 Dxyz， 0,0,0 , 2 2,0,0 , 2,0, 6 , 0,2 2,0 ,2, 2,0DAPBC 2,0, 6 , 2 2,2 2,0A

25、PAB 设平面 PAB的法向量为 , ,nx y z 所以 260 2 22 20 xz xy ，令 3 1,1,1, 3 xn 设平面PCB的法向量为 , , mx y z 2 2, 2,6 PC ，, 2,2,0BC 2260 220 xyz xy 令1,1, 1,3xm 设二面角APB C平面角为 .由图观察为钝角 |1 1 1|105 cos- 351 15 3 n m nm 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌 握水平. 19.为了了解居民的家庭收入情况，某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了 100户家庭进行问卷 调查.

26、经调查发现，这些家庭的月收入在 3000 元到 10000元之间，根据统计数据作出如图所示的频率分布直 方图： （1）经统计发现，该社区居民的家庭月收入Z（单位：百元）近似地服从正态分布( ,196)N，其中近 似为样本平均数.若Z落在区间(2 ,2 ) 的左侧，则可认为该家庭属“收入较低家庭”，社区将联系 该家庭，咨询收入过低的原因，并采取相应措施为该家庭提供创收途径.若该社区A家庭月收入为 4100 元， 试判断A家庭是否属于“收入较低家庭”，并说明原因； （2）将样本的频率视为总体的概率. 从该社区所有家庭中随机抽取n户家庭，若这n户家庭月收入均低于 8000元的概率不小于 50%，求n

27、的 最大值； 在的条件下，某生活超市赞助了该社区的这次调查活动，并为这次参与调查的家庭制定了赠送购物卡 的活动，赠送方式为：家庭月收入低于的获赠两次随机购物卡，家庭月收入不低于的获赠一次随机购 物卡；每次赠送的购物卡金额及对应的概率分别为： 赠送购物卡金额（单位：元） 100 200 300 概率 1 2 1 3 1 6 则A家庭预期获得的购物卡金额为多少元？（结果保留整数） 【答案】 （1）A家庭不属于“收入较低家庭”，详见解析（2）3333元 【分析】 （1）根据频率分布直方图，计算该社区居民的家庭月收入平均值，计算-2，比较可得； （2）用样本的频率视为总体的概率，计算出月收入低于 80

28、00元的概率，根据相互独立事件的概率公式 得到不等式，解得即可；由（1）可知该家庭可获赠两次随机购物卡，设所获得的购物卡金额为随机变量 ，则的取值分别为 200，300，400，500，600，分别计算出概率，求出期望即可； 【详解】解： （1）该社区居民的家庭月收入平均值为： 35 0.0245 0.1555 0.1565 0.275 0.2885 0.1695 0.0467.1（百元） 又因为该社区居民的家庭月收入Z（单位：百元）近似地服从正态分布( ,196)N 所以14，故-2 =67.1-28=39.1 该社区A家庭月收入为 4100元41百元9.123，故A家庭不属于“收入较低家庭

29、”. （2）将样本的频率视为总体的概率，由频率分布直方图可知，抽取一户家庭其月收入低于 8000元的概 率为(0.0020.0150.0150.020.028) 100.8 随机抽取n户家庭月收入均低于 8000 元的概率为0.8n，由题意知0.80.5 n ，解得3n 由（1）知67.1百元6710元，故A家庭月收入低于，可获赠两次随机购物卡，设所获得的购物 卡金额为随机变量，则的取值分别为 200，300，400，500，600 11 22 11111111115 (200),(300),(400) 22423326331 PPCPC， 1 2 111111 (500),(600) 369

30、6636 PCP， 则A家庭预期获得的购物卡金额为 11511 ( )200300400500600333 4318936 E元. 【点睛】本题考查离散型随机变量分布列及期望的计算，频率分布直方图的应用，以及相互独立事件的 概率公式的应用，属于中档题. 20.已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的短轴顶点分别为 ,A B,且短轴长为2,T为椭圆上异于,A B的任意- 一点,直线,TA TB的斜率之积为 1 3 (1)求椭圆C的方程; (2)设O为坐标原点,圆 22 3 : 4 O xy的切线l与椭圆 C 相交于,P Q两点,求POQ面积的最大值. 【答案】 （1） 2 2 1 3

31、 x y （2） 3 2 【分析】 （1）根据题意设出点,T x y，列出方程化简即可求解. （2）分类讨论当直线斜率不存在时，可求出弦长3PQ ，当斜率存在时，切线方程为 y kxm 与椭 圆联立，根据弦长公式求出弦长的最大值，再由面积公式 max 13 22 SPQ即可求解. 【详解】解： （1）设,T x y，由题意知0, 1 ,0,1AB，设直线TA 的斜率为 1 k，直线TB的斜率为 2 k ， 则 12 11 , yy kk xx ，由 12 1 3 k k ，得 111 3 yy xx 整理得椭圆C的方程为 2 2 1 3 x y （2）当切线l垂直x轴时3PQ 当切线l不垂直

32、x轴时，设切线方程为 .ykxm 由已知 2 3 2 1 m k ，得 22 3 1 4 mk 把.ykxm代入椭圆方程 2 2 1 3 x y，整理得 222 316330kxkmxm 设 1122 ,P x yQ x y，则 2 1212 22 633 , 3131 kmm xxx x kk 2 22 2 22 12122 2 2 4 33 36 141 31 31 m k m PQkxxx xk k k 22222 2 2242 22 12 1313 191 12 3 961 3131 kkmkk k kk kk 2 2 1212 3320 1 2 36 96 k k k 当且仅当 2

33、2 1 9k k ，即 3 3 k 时等号成立，当0k 时， 3PQ 综上所述 max 2PQ所以当PQ取最大值时， POQ面积 max 133 222 SPQ 【点睛】本题考查了直接法求轨迹方程，直线与椭圆的位置关系、弦长公式以及基本不等式求最值，属于 中档题. 21.已知函数 2 2 ( )2ln , ( )2 a f xaxx g xaxax x . （1）讨论 ( )f x的单调性； （2）当0a时，若函数 ( )f x与( )g x的图象有且仅有一个交点 00 (,)xy，求 0 x的值（其中 x表示不超 过x的最大整数，如0.370, 0.371,2.92 ）. 参考数据：ln20

34、.693,ln31.099,ln51.609,ln71.946. 【答案】 （1）答案不唯一，具体见解析（2） 0 2x 【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； （2）问题转化为方程 2 2 ln0 a axx x 在(0,)只有一个根，令 2 2 ( )ln a F xaxx x ，根据函数的 单调性求出 0 x的值即可 【详解】解： （1） 2 ( )2ln a f xaxx x 2 22 2122 ( )2 aaxxa fxa xxx ， 对于函数 22 ( )22 ,1 160h xaxxaa ， 当0a时， 1 ( ),( )fxf x x 在（0

35、，+ ）单调递减 当0a时， ( )f x在 2 11 1 0,() 6 4 a a 单调递减，在 2 11 16 , 4 () a a 单调递增 当0a 时， ( )f x在 2 11 16 , 4 () a a 单调递减，在 2 11 1 0,() 6 4 a a 单调递增. （2）0a且两函数有且仅有一个交点 00 (,)xy，则方程 2 2 2ln2 a axxaxax x 即方程 2 2 ln0 a axx x 在(0,)只有一个根. 令 2 2 ( )ln a F xaxx x ，则 3 2 22 ( ) axxa F x x 令 3 ( )22 ,0,)xaxxa x，则 2 (

36、 )61xax 0,( )ax在 1 (0,) 6a 单调递减，在 1 (,) 6a 上单调递增，故 min 1 ( )() 6 x a 注意到(0)20,( )ax 在 1 (0,) 6a 无零点，在 1 (,) 6a 仅有一个变号的零点m， ( )F x 在(0,)m单调递减，在( ,)m 单调递增，注意到(1)30Fa 根据题意m为( )F x的唯一零点即 0 mx 2 00 0 3 0 2 ln0 220 a axx x axxa ，消去a，得： 3 0 0 33 00 23 2ln1 11 x x xx 令 3 3 ( )2ln1 1 H xx x ，可知函数( )H x在(0,)上

37、单调递增 10102929 (2)2ln22 0.6930,(3)2ln32 1.0990 772626 HH 00 (23),2xx. 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题如果多做，则按所做的第一题 记分记分. 22.平面直角坐标系xOy中,曲线 1 C的参数方程为 12cos 32sin x y (为参数),以坐标原点O为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 2 C的极坐标方程为 2 c

38、os4sin (1)写出曲线 1 C的极坐标方程和曲线 2 C的直角坐标方程； (2)若射线 0 :0OM平分曲线 1 C，且与曲线 2 C交于点A，曲线 2 C上的点B满足 2 AOB ， 求AB. 【答案】 （1） 1 C： 2cos2 3sin， 2 C： 2 4xy； （2）16 7 3 【分析】 （1）根据cosx，siny即可求解； （2）曲线 1 C是圆，射线OM过圆心 1, 3，所以方程是0 3 ，将0 3 代入 2 C的极坐 标方程求出8 3 A ，进而求出 8 3 B 即可求解. 【详解】解： （1）曲线 1 C的直角坐标方程是 2 2 134xy，即 22 22 30xx

39、yy 化成极坐标方程为：2cos2 3sin 曲线 2 C的直角坐标方程是 2 4xy； （2）曲线 1 C是圆，射线OM过圆心 1, 3，所以方程是0 3 代入 2 cos4sin，得8 3 A 又 2 AOB ，将 5 6 ，代入 2 cos4sin，得 8 3 B 因此 22 16 7 3 AB AB 【点睛】本题主要考查极坐标方程与普通方程的互化以及利用极坐标求弦长，属于基础题. 23.已知 0,0ab，且 22 1ab （1）证明： 55 11 1ab ab （2）若 22 14 211xx ab 恒成立，求x的取值范围 【答案】 （1）证明见解析 （2）99x 【分析】 （1）利用

40、基本不等式即可证出. （2）利用基本不等式求出 22 14 ab 的最小值，然后再分类讨论解不等式即可求解. 【详解】解： （1） 55 2 5544444422 11 21 ba abababa bab abab （2）由 22 1ab，得 22 22 222222 14144 1 452 49 ba ab ababab 所以9211xx 恒成立 当1x 时，2119xxx 故19x 当 1 1 2 x时，211329xxx 解得 11 3 x ，故 1 1 2 x 当 1 2 x 时，解得2119xxx ，故9x，故 1 9 2 x 综上可知：99x 【点睛】本题考查了基本不等式求最值、解绝对值不等式，属于基础题.