机器人概论第3版课件第4章运动学及动力学概述.pptx

1、第四章第四章 运动学及动力学概述运动学及动力学概述4.1 4.1 运动学概述运动学概述 物体物体的位置通常在三维空间中研究，物体既包括的位置通常在三维空间中研究，物体既包括操作臂的杆件、零部件和抓持工具，也包括操作臂操作臂的杆件、零部件和抓持工具，也包括操作臂工作空间内的其他物体，这些物体可用两个非常重工作空间内的其他物体，这些物体可用两个非常重要的特性来描述：位置和姿态，简称位姿。要的特性来描述：位置和姿态，简称位姿。4.1 4.1 运动学概述运动学概述 正正运动学问题：已知各个连杆的几何参数和关节角变量，求运动学问题：已知各个连杆的几何参数和关节角变量，求机械手臂末端相对于参考坐标系的位姿

2、。逆运动学问题：给定机机械手臂末端相对于参考坐标系的位姿。逆运动学问题：给定机械手臂末端相对于参考坐标系的期望位置和姿态，求机械手臂能械手臂末端相对于参考坐标系的期望位置和姿态，求机械手臂能否使其末端达到这个位姿，有几种形态？计算机器人对应位置的否使其末端达到这个位姿，有几种形态？计算机器人对应位置的全部关节变量，此问题是机械手臂实际控制中的应用问题。全部关节变量，此问题是机械手臂实际控制中的应用问题。机器人操作手通常为机器人操作手通常为开链空间连杆机构开链空间连杆机构，各杆件通过各杆件通过转动副转动副和和移动副移动副连接，一端为自连接，一端为自由手部，一端为机身固定，驱动器驱动关节由手部，一

3、端为机身固定，驱动器驱动关节带动杆件的运动，使手部定位。带动杆件的运动，使手部定位。工业机械手抓取工业机械手抓取机械手如何机械手如何准确准确到达物体位置？到达物体位置？各个各个关节的运动之间有何关系？关节的运动之间有何关系？与人体胳膊比较！与人体胳膊比较！机器人运动学问题机器人运动学问题以以平面平面两自由度机械手臂为例进一步阐述运动学中的两自由度机械手臂为例进一步阐述运动学中的两个问题（运动由连杆机构决定，分析时不考虑驱动两个问题（运动由连杆机构决定，分析时不考虑驱动器和减速器元件）器和减速器元件）4.1 4.1 运动学概述运动学概述正正运动学运动学：已知已知杆件长度杆件长度 ,关节关节变量变

4、量 ，求末端执行器的位置求末端执行器的位置P P（x,yx,y）12LL与12逆逆运动学：运动学：已知已知末端执行末端执行器的位置器的位置P P（x,yx,y）与）与杆件杆件长度长度 ,求求关节关节变变量量 、。12LL与12逆运动学的解不是唯一的逆运动学的解不是唯一的（本例中有（本例中有2 2个）个）总结总结 机器人机器人逆运动分析逆运动分析是运动规划控制中的重是运动规划控制中的重要问题，但由于机器人逆运动问题的复杂性和多要问题，但由于机器人逆运动问题的复杂性和多样性，无法建立通用的解析算法。逆运动学问题样性，无法建立通用的解析算法。逆运动学问题实际上是一个非线性超越方程组的求解问题，其实际

5、上是一个非线性超越方程组的求解问题，其中包括解的存在性、唯一性及求解的方法等一系中包括解的存在性、唯一性及求解的方法等一系列复杂问题列复杂问题。（数学的重要性）（数学的重要性）4.2 4.2 位姿表示与齐次变换位姿表示与齐次变换 刚体刚体的空间运动可以看成两个分运动的合成，一个分运动是的空间运动可以看成两个分运动的合成，一个分运动是刚体随其上某点（又称为基点）的移动，另一个分运动是刚体绕刚体随其上某点（又称为基点）的移动，另一个分运动是刚体绕基点的转动。基点的转动。基础坐标系基础坐标系用来定义机器人相对于其他物体的运动，用来定义机器人相对于其他物体的运动，其位置和方位不随机器人各构件运动而变化

6、，也称惯性坐标系、其位置和方位不随机器人各构件运动而变化，也称惯性坐标系、全局参考坐标系。全局参考坐标系。运动坐标系运动坐标系用来描述独立关节的运动，是固联用来描述独立关节的运动，是固联在机器人各构件上的坐标系，它随构件在空间的运动而运动（旋在机器人各构件上的坐标系，它随构件在空间的运动而运动（旋转或平移），也称为构件坐标系。转或平移），也称为构件坐标系。4.2.14.2.1位姿表示位姿表示4.2 4.2 位姿表示与齐次变换位姿表示与齐次变换 Oxyz为基础坐标系为基础坐标系O，Oxyz为运动为运动坐标系坐标系O，坐标系坐标系O以坐标系以坐标系O为参照系时，坐标原点为参照系时，坐标原点O的位置

7、称为运动坐标系的位置称为运动坐标系Oxyz的位置，的位置，Ox、Oy、Oz轴的方向称为运动坐标系轴的方向称为运动坐标系Oxyz的姿态，的姿态，位置与姿态简称位姿。位置与姿态简称位姿。4.2.14.2.1位姿表示位姿表示4.2 4.2 位姿表示与齐次变换位姿表示与齐次变换 图中图中所示所示 O与与O两个坐标系在空间中三个坐标轴的方向两个坐标系在空间中三个坐标轴的方向相同，所以具有相同的姿态，用矢量相加的方法得到相同，所以具有相同的姿态，用矢量相加的方法得到P点相对于点相对于基础坐标系基础坐标系Oxyz的坐标：的坐标：4.2.2 4.2.2 坐标系之间的变换坐标系之间的变换1.1.平移变换平移变换

8、oooxxxyyyzzz 用向量表示为：用向量表示为：通常记作为：通常记作为：=+OP O P OO =+OOOOPPP4.2 4.2 位姿表示与齐次变换位姿表示与齐次变换 O与与O两个坐标系原点位置重合，两个坐标系原点位置重合，P点相对于点相对于O与与O坐坐标系的坐标为标系的坐标为（x,y,z）与与（x,y,z），），因为因为z与与z坐标轴重合，坐标轴重合，z=z，坐标之间的关系可以简化，坐标之间的关系可以简化为平面图计算。为平面图计算。4.2.2 4.2.2 坐标系之间的变换坐标系之间的变换2 2.旋转变换旋转变换 4.2 4.2 位姿表示与齐次变换位姿表示与齐次变换4.2.2 4.2.2

9、 坐标系之间的变换坐标系之间的变换2 2.旋转变换旋转变换 cossincossin0sincossincos0001xxyxxyxyyyzzzz cossin0()sincos0001ZR()OOZPRP绕绕z轴的旋转变换阵为轴的旋转变换阵为:4.2 4.2 位姿表示与齐次变换位姿表示与齐次变换4.2.2 4.2.2 坐标系之间的变换坐标系之间的变换2 2.旋转变换旋转变换 用类似方法可以推导出绕用类似方法可以推导出绕x轴与轴与y轴的旋转变换阵：轴的旋转变换阵：100()0cossin0sincoscos0sin()010sin0cosXYRR()XR()YR()ZR 、统称统称为基本旋转变

10、换为基本旋转变换阵阵 。()R4.2 4.2 位姿表示与齐次变换位姿表示与齐次变换4.2.2 4.2.2 坐标系之间的变换坐标系之间的变换3.3.齐次变换齐次变换 坐标系坐标系之间的关系包括旋转与平移变换，之间的关系包括旋转与平移变换，坐标系坐标系O Ox xy yz z可以可以看成是坐看成是坐标系标系OxyzOxyz经二次变换而成。先将经二次变换而成。先将OxyzOxyz平移，使平移，使O O点与点与O O点重合，再绕点重合，再绕O O点点转动得到转动得到O Ox xy yz z，将平移变换与旋转变换对应的，将平移变换与旋转变换对应的式式子子合成合成，得到得到：()+OOOOPRPP000(

11、)110001()1011OOOOxxxRyyyzzzPRPP4.2 4.2 位姿表示与齐次变换位姿表示与齐次变换4.2.2 4.2.2 坐标系之间的变换坐标系之间的变换3.3.齐次变换齐次变换 为为简化为一个矩阵，引入齐次变换简化为一个矩阵，引入齐次变换阵阵：变化变化过程中的平移量和旋转量均可以在齐次变换矩阵中反映出来过程中的平移量和旋转量均可以在齐次变换矩阵中反映出来。其中左其中左上角的上角的3 33 3子矩阵表示坐标系子矩阵表示坐标系O相对于坐标系相对于坐标系O的姿态，称为姿态矩的姿态，称为姿态矩阵或者旋转矩阵，右上角阵或者旋转矩阵，右上角3 31 1列矩阵表示坐标系列矩阵表示坐标系O相

12、对于坐标系相对于坐标系O的的位置，又称为位置，又称为位置矢量位置矢量。由此可知，齐次变换阵表明了。由此可知，齐次变换阵表明了Oxyz坐标系相坐标系相对于参照系对于参照系Oxyz的位置和姿态，也称为的位置和姿态，也称为位姿矩阵位姿矩阵。()01OOOORPA4.2 4.2 位姿表示与齐次变换位姿表示与齐次变换4.2.2 4.2.2 坐标系之间的变换坐标系之间的变换4.4.连续连续变换变换 所谓所谓连续变换可以是连续转动连续移动或转动与移动交叉进行的变换连续变换可以是连续转动连续移动或转动与移动交叉进行的变换。（1 1）连续移动）连续移动变换变换 图中图中，坐标系，坐标系O是坐标系是坐标系O沿矢量

13、沿矢量 平移而成，坐标系平移而成，坐标系O是坐标是坐标系系O沿沿矢量矢量 平移而成，显然齐次变换平移而成，显然齐次变换 ，即，即:OOOOOOAAAO O111222121212121212(,)(,)100100100010010010001001001000100010001OOOOOxyzOxyzxxxxyyyyzzzzATrans pppTrans ppppppppppppppp4.2 4.2 位姿表示与齐次变换位姿表示与齐次变换4.2.2 4.2.2 坐标系之间的变换坐标系之间的变换4.4.连续连续变换变换（2 2）连续）连续旋转旋转变换变换 图图中，假设活动坐标系初始状态与基础坐标

14、系中，假设活动坐标系初始状态与基础坐标系O重合，将动坐标系重合，将动坐标系绕绕O的的z轴旋转轴旋转 角角得到坐标系得到坐标系O，而后又绕，而后又绕轴轴 旋转角旋转角 ，得到坐得到坐标系标系O，则连续变换为：，则连续变换为：x=(,)(,)cossin001000sincos000cossin000100sincos000010001cossincossinsin0sincoscoscossin00sincos00001OOOOOOOOOOAAARot zRot x4.2 4.2 位姿表示与齐次变换位姿表示与齐次变换4.2.2 4.2.2 坐标系之间的变换坐标系之间的变换4.4.连续连续变换变换

15、（2 2）连续连续旋转变换旋转变换总结总结分析如下几点分析如下几点：1 1）连续转动变换时，变换矩阵相乘次序不能更换；）连续转动变换时，变换矩阵相乘次序不能更换；因为因为(,)(,)(,)(,)OOOOOOOORot zRot xRot xRot z2 2）连续旋转变换，若始终相对于同一轴转动，则变换矩阵相乘与）连续旋转变换，若始终相对于同一轴转动，则变换矩阵相乘与次序无关，次序无关，且且3 3）如果）如果连续变换是相对于当前系进行的，则依次右乘变换矩阵；连续变换是相对于当前系进行的，则依次右乘变换矩阵；如果连续变换是相对于基础坐标系进行的则依次左乘变换矩阵。如果连续变换是相对于基础坐标系进行

16、的则依次左乘变换矩阵。(,)(,)(,)(,)(,)Rot xRot xRot xRot xRot x4.2 4.2 位姿表示与齐次变换位姿表示与齐次变换4.2.2 4.2.2 坐标系之间的变换坐标系之间的变换4.4.连续连续变换变换（3 3）移动变换和转动变换交叉）移动变换和转动变换交叉进行进行 在在处理交叉变换问题时，只要依据变换顺序，掌握好左乘还是右处理交叉变换问题时，只要依据变换顺序，掌握好左乘还是右乘，然后按照矩阵相乘的法则进行运算，即可求得最终的变换。乘，然后按照矩阵相乘的法则进行运算，即可求得最终的变换。例例4-14-1：设活动坐标系：设活动坐标系Oxyz与参考坐标系与参考坐标系

17、Oxyz初始重合后，绕初始重合后，绕z z轴旋轴旋转转9090度，再绕度，再绕y轴旋转轴旋转9090度，再平移度，再平移向量向量 ，求齐次变换，求齐次变换阵阵A A。437ijk(4,3,7)(,90)(,90)1004001001000014010301001000100300171000001001070001000100010001ATransRot yRot z4.3 4.3 机器人运动学方程机器人运动学方程 机器人机器人由多个关节组成，把机器人模型看成一系列关节连接起来由多个关节组成，把机器人模型看成一系列关节连接起来的连杆机构，各关节之间的相对运动结合在一起来的连杆机构，各关节之间

18、的相对运动结合在一起来研究。研究。假设假设三维空间中有一点三维空间中有一点P相对于坐标系相对于坐标系On的坐标的坐标为为 ，P P相对相对于坐标系于坐标系Oo的坐标为的坐标为 ，这两个坐标之间的关系与各个连杆的参这两个坐标之间的关系与各个连杆的参数及关节变量数及关节变量有关，已知：有关，已知：nOPoOP-11nnOOnnPAP-2-1221-1-1=nnnOOOnnnnnnPAPAAP次类推得到：次类推得到：0001221123-1=nnOOOnnnnnPAPA A AAAP 由上式可以得出：由上式可以得出：确定确定相邻两杆间的变换矩阵是建立机器人相邻两杆间的变换矩阵是建立机器人运动学方程的

19、基础。运动学方程的基础。下面将讨论如何建立相邻两杆间的齐次下面将讨论如何建立相邻两杆间的齐次变换矩阵。变换矩阵。4.3 4.3 机器人运动学方程机器人运动学方程4.3.1 D-H4.3.1 D-H坐标系的确立坐标系的确立 19551955年年DenavitDenavit与与HartenbergHartenberg提出了矩阵方法，即提出了矩阵方法，即D-HD-H方法，可用于任方法，可用于任何构型的机器人，何构型的机器人，D-HD-H坐标系的确立即相邻两杆件坐标系关系确立。坐标坐标系的确立即相邻两杆件坐标系关系确立。坐标系的确定模式有前置模式和后置模式两种，这里主要介绍后置模式。系的确定模式有前置

20、模式和后置模式两种，这里主要介绍后置模式。1.1.机器人杆件的几何参数及关节变量机器人杆件的几何参数及关节变量 通常通常机器人每个杆件两边各连接一个关机器人每个杆件两边各连接一个关节，依次与相邻两杆相连接，每个关节可能节，依次与相邻两杆相连接，每个关节可能是转动关节或者是移动关节，为了便于分析是转动关节或者是移动关节，为了便于分析问题，现给两个关节以相应的编号。杆问题，现给两个关节以相应的编号。杆i-1i-1的下关节（指靠近机座的关节）编号为的下关节（指靠近机座的关节）编号为i-1i-1，而上关节（靠近末端操作器的关节）编号为而上关节（靠近末端操作器的关节）编号为i i，如，如图所图所示。示。

21、4.3 4.3 机器人运动学方程机器人运动学方程4.3.1 D-H4.3.1 D-H坐标系的确立坐标系的确立 （1 1）杆件的几何参数）杆件的几何参数如如图所图所示，与机器人运动学相关的示，与机器人运动学相关的杆件杆件几何参数只有几何参数只有杆件长度杆件长度 和和杆件扭杆件扭角角 两个。两个。1 1）杆件）杆件长度长度 ：即两关节轴线之间的公垂线长：即两关节轴线之间的公垂线长。当当两轴线相交于一点两轴线相交于一点时时 。对于机座（对于机座（0 0号杆）及末端操作器（号杆）及末端操作器（n n号号杆），由于它们只有一个关节，故规定其杆长为杆），由于它们只有一个关节，故规定其杆长为0 0，即即 。

22、2 2）杆件扭角）杆件扭角 ：即两关节轴线的交错角。显然机座杆及末端杆的扭角即两关节轴线的交错角。显然机座杆及末端杆的扭角为为0 0，即，即 。iai0ia ia00naa00ni4.3 4.3 机器人运动学方程机器人运动学方程4.3.1 D-H4.3.1 D-H坐标系的确立坐标系的确立（2 2）关节变量）关节变量关节关节变量是用来表示相对运动的参数变量是用来表示相对运动的参数。当当两杆通过转动关节相连接时两杆通过转动关节相连接时，相对运动相对运动为角位移，以为角位移，以 表示表示。当两关节通过移动关节相连接时，相对。当两关节通过移动关节相连接时，相对位移为线位移，以位移为线位移，以 表示表示

23、。对于转动关节，对于转动关节，是是变量，而变量，而 为为常数。同理，对于移动关节，常数。同理，对于移动关节，是是变量，而变量，而 是是常数。常数。iidiidiid4.3 4.3 机器人运动学方程机器人运动学方程4.3.1 D-H4.3.1 D-H坐标系的确立坐标系的确立 2.2.杆件上坐标系的杆件上坐标系的确定确定（此处只介绍后置模式）此处只介绍后置模式）后后置模式是将杆上固连置模式是将杆上固连坐标系坐标系设置在设置在杆的一个下关节处，将杆杆的一个下关节处，将杆 的的固固连连坐标系坐标系的的 轴置于轴置于 关节的轴线上，将杆关节的轴线上，将杆 的的固连坐标系的固连坐标系的 轴轴与与 号号关关

24、节轴线重合。节轴线重合。轴轴与与 轴轴间的公垂线长度记为连杆长度间的公垂线长度记为连杆长度 ，轴轴沿着公垂线，指向离沿着公垂线，指向离开开 轴轴，如图，如图4 4所所示。示。与与 的的扭转角扭转角为为 ，以绕以绕 轴轴逆时针旋逆时针旋转为正转为正，与与 的的交错角交错角为为 ，以绕，以绕 轴轴逆时针旋转为正，逆时针旋转为正，轴轴与与 的交点为的交点为 ，到到 的距离为的距离为 ，以以 轴轴指向为正。指向为正。1il1iz1i1iziz-1ia1ix1iz1iziz-1i1ix1ixixiiz1ixiziCiOiCidiz4.3 4.3 机器人运动学方程机器人运动学方程4.3.1 D-H4.3.

25、1 D-H坐标系的确立坐标系的确立 2.2.杆件上坐标系的杆件上坐标系的确定确定1iiz1ix1iz-1iiiz1ixiziCid 相邻相邻两个连杆坐标系的两个连杆坐标系的变换变换可可由下述步骤实现：由下述步骤实现：（1 1）号号坐标系绕坐标系绕 轴轴旋转旋转 角，角，记记作作 ，转转到与到与 方向方向平行；平行；（2 2）沿沿 轴平移轴平移 距离，距离，把坐标系原点移到把坐标系原点移到 上上；（3 3）绕）绕 轴旋转轴旋转 角，记作角，记作 ；（4 4）再沿）再沿 轴轴平移平移 距离距离 ，记记作作 ，过渡到和，过渡到和 i i号号坐标系坐标系完全重合。完全重合。-1-1(,)iiRot x

26、-1ia-1-1(,)iiTrans xa(,)iiRot z(,)iiTrans z d4.3 4.3 机器人运动学方程机器人运动学方程4.3.1 D-H4.3.1 D-H坐标系的确立坐标系的确立 2.2.杆件上坐标系的杆件上坐标系的确定确定1i两相邻杆坐标系的齐次变换矩阵又两相邻杆坐标系的齐次变换矩阵又称为称为A A矩阵。它表明矩阵。它表明i i号坐标系相对号坐标系相对于于 号号坐标系的位姿，也就是坐标系的位姿，也就是 坐标系经坐标系经A A矩阵变换而成矩阵变换而成i i号坐标系。号坐标系。变换矩阵为：变换矩阵为：1-1-1-1-1111111111(,)(,)(,)(,)cossin0s

27、incoscoscossinsinsinsincossincoscos0001iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiARot xTrans xaRot zTrans z dadd4.3 4.3 机器人运动学方程机器人运动学方程4.3.1 D-H4.3.1 D-H坐标系的确立坐标系的确立 2.2.杆件上坐标系的杆件上坐标系的确定确定00121112233=()()()()nnnnAA qA qA qA q4.3 4.3 机器人运动学方程机器人运动学方程4.3.2 4.3.2 运动学方程运动学方程的解的解 运动学方程运动学方程的求解可分为正解问题和逆解问题的求解可分为正解问题和逆解

28、问题。正正解问题是指已知各杆的结构参数和关节变量，求末端执行器的空间解问题是指已知各杆的结构参数和关节变量，求末端执行器的空间位姿，即求位姿，即求 。逆逆解问题则是已知满足某工作要求时末端执行器的空间位姿解问题则是已知满足某工作要求时末端执行器的空间位姿，即已知，即已知 矩阵矩阵 中中各元素的值以及各杆的结构参数，求关节变量。各元素的值以及各杆的结构参数，求关节变量。逆逆解问题是机器人学中非常重要的问题，是对机器人控制的关键。因解问题是机器人学中非常重要的问题，是对机器人控制的关键。因为只有求得各关节变量，才能使末端执行器达到工作要求的位置和姿态。为只有求得各关节变量，才能使末端执行器达到工作

29、要求的位置和姿态。0nA0nA4.3 4.3 机器人运动学方程机器人运动学方程4.3.2 4.3.2 运动学方程运动学方程的解的解 以以PUMA560PUMA560机器人为例介绍机器人连杆坐标系及机器人为例介绍机器人连杆坐标系及D-HD-H参数的确定参数的确定。PUMA560PUMA560是一个六自由度机器人，所有关节均为转动关节。和大多数工业是一个六自由度机器人，所有关节均为转动关节。和大多数工业机器人一样，机器人一样，PUMA560PUMA560机器人的后机器人的后3 3个关节轴线相交于同一点，这个交点可个关节轴线相交于同一点，这个交点可以选作连杆坐标系以选作连杆坐标系44、55和和66号

30、的原点，坐标系建立如号的原点，坐标系建立如图所图所示。示。1.1.运动学方程的正解运动学方程的正解4.3 4.3 机器人运动学方程机器人运动学方程4.3.2 4.3.2 运动学方程运动学方程的解的解 PUMA560机器人结构参数表机器人结构参数表各齐次变换阵为：4.3 4.3 机器人运动学方程机器人运动学方程 各齐次变换阵各齐次变换阵为：为：111101cossin00sincos00=00100001A2221222cossin00001=sincos000001dA332332322cossin0sincos00=sincos100001aA44343444cossin0001=sinco

31、s000001adA5534555cossin00010=sincos000001aA665666cossin000010=sincos000001A00123456123456=0001xxxxyyyyzzzznoapnoapAA A A A A Anoapsin,iiiisc=cos23232323cos()cc cs s23232323sin()sc ss c式中式中，令：，令：4.3 4.3 机器人运动学方程机器人运动学方程4.3.2 4.3.2 运动学方程运动学方程的解的解 上面上面介绍了机器人运动学中给定各关节变量时，求坐标变换矩阵的方介绍了机器人运动学中给定各关节变量时，求坐标变

32、换矩阵的方法，法，该坐标变换矩阵表示了从基础坐标系观察到末端执行器的位置和方该坐标变换矩阵表示了从基础坐标系观察到末端执行器的位置和方向。而机器人逆运动学问题就是求机器人运动学的逆解，是上述问题的逆向。而机器人逆运动学问题就是求机器人运动学的逆解，是上述问题的逆命题，即给定末端执行器位置和方向在基础坐标系中的值，求其相对应的命题，即给定末端执行器位置和方向在基础坐标系中的值，求其相对应的各关节的变位量。并据此控制机器人各关节驱动机构的运动，从而完成所各关节的变位量。并据此控制机器人各关节驱动机构的运动，从而完成所规划的轨迹。规划的轨迹。2.2.运动学方程的逆解运动学方程的逆解4.3 4.3 机

33、器人运动学方程机器人运动学方程4.3.2 4.3.2 运动学方程运动学方程的解的解 一般一般当末端执行器的位置和方向给定，求解满足给定条件的各关节的当末端执行器的位置和方向给定，求解满足给定条件的各关节的变位量问题时其解不一定是唯一的。例如：当机器人的关节数不足变位量问题时其解不一定是唯一的。例如：当机器人的关节数不足6 6个时，个时，无论怎样确定各关节的变位量，无论怎样确定各关节的变位量，都会存在一些不能实现的位置和方向；都会存在一些不能实现的位置和方向；当关节数大于当关节数大于6 6个时，实现给定的位置和方向的各关节的变位量又不能唯个时，实现给定的位置和方向的各关节的变位量又不能唯一确定；

34、即使机器人的关节数为一确定；即使机器人的关节数为6 6个，当对各关节的变位量进行解析求解个，当对各关节的变位量进行解析求解时，也会出现求不出数值解的情况。在时，也会出现求不出数值解的情况。在6 6关节的情况下，其具有解析解的关节的情况下，其具有解析解的充分条件是充分条件是“连续三个旋转关节的旋转轴交汇于一点连续三个旋转关节的旋转轴交汇于一点”。在大多数工业用。在大多数工业用多关节机器人上，其手腕的三个关节都设计为满足这一条件。多关节机器人上，其手腕的三个关节都设计为满足这一条件。2.2.运动学方程的逆解运动学方程的逆解4.4 4.4 微分运动与雅可比矩阵微分运动与雅可比矩阵 微分微分运动（微分

35、变换）是机器人运动学和动力学研究中的一个重要概运动（微分变换）是机器人运动学和动力学研究中的一个重要概念。通过微分变换可以获得机器人各杆件间的微动位置、速度及力和力矩念。通过微分变换可以获得机器人各杆件间的微动位置、速度及力和力矩的变化关系。在研究微分运动的过程中又将引出一个重要的概念的变化关系。在研究微分运动的过程中又将引出一个重要的概念雅可比雅可比矩阵，雅可比矩阵是一个重要的微分运动研究分析工具矩阵，雅可比矩阵是一个重要的微分运动研究分析工具。微分微分运动指机构的微小运动，可用来推导不同部件之间的速度关系。运动指机构的微小运动，可用来推导不同部件之间的速度关系。机器人每个关节坐标系的微分运

36、动，导致机器人手部坐标系的微分运动，机器人每个关节坐标系的微分运动，导致机器人手部坐标系的微分运动，包括微分平移与微分旋转运动。微分变换是解决机器人实用技术问题的重包括微分平移与微分旋转运动。微分变换是解决机器人实用技术问题的重要手段，例如，在机器人末端执行器前一杆件上设置一个电视摄像机或其要手段，例如，在机器人末端执行器前一杆件上设置一个电视摄像机或其他测量器，取得视觉或其他测量信息，经过信息处理后，可以指示和控制他测量器，取得视觉或其他测量信息，经过信息处理后，可以指示和控制末端执行器产生一定的微分运动使末端执行器的位姿达到期望值，偏差得末端执行器产生一定的微分运动使末端执行器的位姿达到期

37、望值，偏差得以纠正，进而保证机器人的工作精度。以纠正，进而保证机器人的工作精度。4.4 4.4 微分运动与雅可比矩阵微分运动与雅可比矩阵考虑机械手的手爪考虑机械手的手爪位姿位姿 和关节变量和关节变量 的的关系用正运动学方程表示为：关系用正运动学方程表示为：()rf111212,Tmnmnrr rrRR 假设假设手爪位置包含表示姿态的变量，关节变量由回转角和平移组手爪位置包含表示姿态的变量，关节变量由回转角和平移组合而成的情况。合而成的情况。若若上上式用式用每个分量表示每个分量表示：若若nmnm，手爪位置的关节变量有无限个解，通常工业用机器人有，手爪位置的关节变量有无限个解，通常工业用机器人有3

38、 3个位置变量和个位置变量和3 3个姿态变量，共个姿态变量，共6 6个自由度（变量）。由于工业上一般个自由度（变量）。由于工业上一般不采用冗余机器人结构，不采用冗余机器人结构，所以所以n=m=6n=m=6。12(,)1,2,jjnrfjm r4.4 4.4 微分运动与雅可比矩阵微分运动与雅可比矩阵 rJJdrddtdt 1111 nm nTmmnfffJRff J J 表示了手爪速度与关节速度之间的关系，称之为雅克比矩阵表示了手爪速度与关节速度之间的关系，称之为雅克比矩阵。将式将式 两边两边乘以乘以 ，可得到微小位移之间的关可得到微小位移之间的关系式：系式：dt rJJdrddtdt drJd

39、将将式式 的的两边对时间两边对时间t t 微分，可得到：微分，可得到：()rf4.4 4.4 微分运动与雅可比矩阵微分运动与雅可比矩阵以前面讲过的以前面讲过的2 2自由度平面关节型机器人为自由度平面关节型机器人为例：例：J J1 1列表示第列表示第2 2关节固定（关节固定（即即 ），仅第），仅第1 1关节转动的情况下，关节转动的情况下，指尖平移速度在基础坐标系上表示出的向量；指尖平移速度在基础坐标系上表示出的向量；J J2 2同样。同样。11211212212121121221212sinsin()sin()coscos()cos()xxLLLJJJLLLyy204.5 4.5 动力学概述动力

40、学概述 机器人机器人是一个复杂的动力学系统，对机器人机构的力和运动之间关系是一个复杂的动力学系统，对机器人机构的力和运动之间关系与平衡进行研究，主要研究动力学正问题和动力学逆问题两个方面，在关与平衡进行研究，主要研究动力学正问题和动力学逆问题两个方面，在关节驱动力矩（驱动力）的作用下产生运动变化，或与外载荷取得静力平衡，节驱动力矩（驱动力）的作用下产生运动变化，或与外载荷取得静力平衡，同时机器人控制系统是多变量的、非线性的自动控制系统，也是动力学耦同时机器人控制系统是多变量的、非线性的自动控制系统，也是动力学耦合系统，每一个控制任务本身就是一个动力学任务合系统，每一个控制任务本身就是一个动力学

41、任务。机器人动力学机器人动力学研究机器人运动和受力之间的关系，主要研究产生运动研究机器人运动和受力之间的关系，主要研究产生运动所需要的力，目的是对机器人进行控制、优化设计和仿真。所需要的力，目的是对机器人进行控制、优化设计和仿真。4.5 4.5 动力学概述动力学概述4.5.14.5.1虚位移与虚功原理虚位移与虚功原理 机器人机器人在工作状态下会与环境之间引起相互作用的力和力矩。机器人在工作状态下会与环境之间引起相互作用的力和力矩。机器人各关节的驱动装置提供关节力和力矩，通过连杆传递到末端执行器，克服各关节的驱动装置提供关节力和力矩，通过连杆传递到末端执行器，克服外界作用力和力矩。关节驱动力和力

42、矩与末端执行器施加的力和力矩之间外界作用力和力矩。关节驱动力和力矩与末端执行器施加的力和力矩之间的关系是机器人操作臂力控制的基础的关系是机器人操作臂力控制的基础。对于对于非自由质点系，由于约束的存在，系统各质点的位移将受到一定非自由质点系，由于约束的存在，系统各质点的位移将受到一定的限制。有些位移是约束所允许的，而另一些位移则是约束不允许的。在的限制。有些位移是约束所允许的，而另一些位移则是约束不允许的。在给定瞬时，约束所允许的系统各质点任何无限小的位移称为虚位移给定瞬时，约束所允许的系统各质点任何无限小的位移称为虚位移(Virtual displacement)(Virtual displa

43、cement)。4.5 4.5 动力学概述动力学概述4.5.14.5.1虚位移与虚功原理虚位移与虚功原理 虚位移虚位移不表示质点系的实际运动，与作用在质点系的力、初始条件及不表示质点系的实际运动，与作用在质点系的力、初始条件及时间无关，由约束的性质决定，它有无数组；实位移是质点系在实际运动时间无关，由约束的性质决定，它有无数组；实位移是质点系在实际运动中产生的位移，它与作用在质点系的力、初始条件、时间及约束有关，在中产生的位移，它与作用在质点系的力、初始条件、时间及约束有关，在某一位置，它只有一组某一位置，它只有一组。虚功原理虚功原理：约束力不作功的力学系统实现平衡的必要且充分条件是对：约束力

44、不作功的力学系统实现平衡的必要且充分条件是对结构上允许的任意位移（虚位移）施力所作功之和为零。下面看一个例子结构上允许的任意位移（虚位移）施力所作功之和为零。下面看一个例子来理解一下实际上如何使用来理解一下实际上如何使用虚功原理。虚功原理。4.5 4.5 动力学概述动力学概述4.5.14.5.1虚位移与虚功原理虚位移与虚功原理 例：例：已知作用与杠杆一端的力已知作用与杠杆一端的力FA，试用虚功原理求作用于另一端的力试用虚功原理求作用于另一端的力FB，杠杆长度已知杠杆长度已知 当力当力FA向下取正，向下取正，FB向上为正，向上为正，此时，假设此时，假设FA为正值（向下），根据为正值（向下），根据

45、上式，上式，FB为负值，即为负值，即FB方向向下。方向向下。4.5 4.5 动力学概述动力学概述4.5.2 4.5.2 机器人静力学关系式的推导机器人静力学关系式的推导 现在现在虚功原理来推导机器人的静力学关系式。以虚功原理来推导机器人的静力学关系式。以图所图所示的机械手为研示的机械手为研究对象，要产生究对象，要产生图图(a(a)所示的虚位移，推导出所示的虚位移，推导出图图(b(b)所示各力之间的关系式。所示各力之间的关系式。这一推导方法本身也适用于一般的情况。这一推导方法本身也适用于一般的情况。(a)(a)虚位移虚位移 (b)(b)施加的力施加的力11,11Tm 11Tn 11,F,R ,R

46、 TmmTnnmnrrrRRff，手爪的虚位移，关节的虚位移手爪力关节驱动力 TTWFr 如果施加在机械手上的力作为手爪力的反力（如果施加在机械手上的力作为手爪力的反力（-F）时，机械手的虚功可表示为：）时，机械手的虚功可表示为：0 TTFr 应用虚功原理：应用虚功原理：手爪的虚位移手爪的虚位移 和关节虚位移和关节虚位移 之间的之间的关系，可用雅可比矩阵表示：关系，可用雅可比矩阵表示：r rJ0 TTFr 代入代入0 TTF J得：得：上式对任何的上式对任何的 都成立，即：都成立，即：T0 J F TTF J上式表示产生手爪力上式表示产生手爪力F的驱动力的驱动力例：在图示位置时，求例：在图示位

47、置时，求生成手爪力生成手爪力 FA、FB 的的驱动力驱动力A、B1121221222112122121()()-L-L()()L0LsinL sinL sinJLcosL cosL cosB0F0TAxTyFff221xTA22-L-LLfJ F 00 xAxfL fL211TBy20-LLLJ F f00yBfL驱动力的大小为驱动力的大小为手爪力的大小和手爪力的大小和手爪力到作用线手爪力到作用线距离的乘积。距离的乘积。4.5 4.5 动力学概述动力学概述4.5.3 4.5.3 惯性矩惯性矩的确定的确定 动力学动力学不仅与驱动力有关，还与绕质心的惯性矩有关。如不仅与驱动力有关，还与绕质心的惯性

48、矩有关。如图所图所示，若示，若将力将力F F作用到质量为作用到质量为m m的质点时的平移运动，看作是运动方向的标量，则可的质点时的平移运动，看作是运动方向的标量，则可以表示为以表示为:mxFx xr NFr表示加速度。若把这一运动看表示加速度。若把这一运动看作是质量可以忽略的棒长为作是质量可以忽略的棒长为r的的回转运动，则得到加速度和力的回转运动，则得到加速度和力的关系为：关系为：和和N N是绕轴回转的角加速度和惯性矩。是绕轴回转的角加速度和惯性矩。2mrN2 ImrIN因为：因为：令：令：得得：上式表示上式表示质点绕固定轴进行回转运动时的运动方程式，质点绕固定轴进行回转运动时的运动方程式，I

49、 I称为惯性矩，相当称为惯性矩，相当于平移运动时的质量。于平移运动时的质量。4.5 4.5 动力学概述动力学概述4.5.3 4.5.3 惯性矩惯性矩的确定的确定 对于对于质量连续分布的物体，求解其惯性矩，可以将其分割成假想的微质量连续分布的物体，求解其惯性矩，可以将其分割成假想的微小物体，小物体，然后再把每个微小物体的惯性矩加在一起。微小物体的质量然后再把每个微小物体的惯性矩加在一起。微小物体的质量 及其及其微小微小体积体积 的关系，可用密度的关系，可用密度 表示表示为：为：dmdvdmdv微小物体的微小物体的惯性矩惯性矩 ，依据，依据 ，得到：得到：dI2 Imr22=dIdmrr dV2=

50、IdIr dV4.5 4.5 动力学概述动力学概述4.5.44.5.4运动学、静力学、动力学的关系运动学、静力学、动力学的关系 如图所示，在机器人的手爪接触如图所示，在机器人的手爪接触环境时，手爪力环境时，手爪力F F与驱动力与驱动力 的的关系关系起重要作用，在静止状态下处理这种关系称为静力学（起重要作用，在静止状态下处理这种关系称为静力学（staticsstatics）。在考）。在考虑控制时，就要考虑在机器人的动作中，关节驱动力虑控制时，就要考虑在机器人的动作中，关节驱动力 会会产生怎样的关产生怎样的关节位置节位置 、关节速度关节速度 和和关节关节加速度加速度 ，处理这种关系称为动力学，处理