1、 二、函数的极限的性质一、函数极限的定义1.3 函数的极限上页下页铃结束返回首页,)(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式:上页下页铃结束返回首页一、函数极限的定义 如果当x无限地接近于x0时 函数f(x)的值无限地接近于常数A 则常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记作 函数极限的通俗定义0limxxf(x)A 或f(x)A(当x0 x)下页1.自变量趋于有限值时函数的极限分析:当xx0时 f(x)A 当|xx0|0时|f(x)A|0 当|xx0|小于某一正数d后|f(x)A|能小于给定的正数e 任给e 0 存在d 0 使当|
2、xx0|d 时 有|f(x)A|e 上页下页铃结束返回首页 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义 如果存在常数A 对于任意给定的正数e 总存在正数d 使得当x满足不等式00 d 0 当0|xx0|d 有|f(x)A|0:d 0:AeA+ex0dx0d 下页 e0 d0 当 0|xx0|d 有|f(x)A|0 d0 当0|xx0|d 时 都有|f(x)A|cc|0e e0 d0 当 0|xx0|d 有|f(x)A|0 d0 当0|xx0|d 时 都有|f(x)A|e 上页下页铃结束返回首页分析|f(x)A|xx0|e 当0|xx0|d 时 有d e因为e 0 证明 只要|xx0|e 要使
3、|f(x)A|e e 0 例2 例 2 证明00limxxxx|f(x)A|xx0|所以00limxxxx 下页 e0 d0 当 0|xx0|d 有|f(x)A|0 d0 当 0|xx0|d 有|f(x)A|0 当0|x1|d 时 有de/2 只要|x1|e/2要使|f(x)A|0 d e 当0|x1|d 时 有 例4 例 4 证明211lim21xxx 所以211lim21xxx 下页分析当 x1 时|f(x)A|211|2xx|x1|e 0 只要|x1|e 要使|f(x)A|0 d0 当 0|xx0|d 有|f(x)A|0 d0 当 0|xx0|d 有|f(x)A|e 0limxxf(x)
4、A 或 f(x)A(xx0)。e 0 d 0 当x0dxx0 有|f(x)A|0 d0 当 0|xx0|d 有|f(x)A|e 0limxxf(x)A 或 f(x)A(xx0)。e 0 d 0 当x0dxx0 有|f(x)A|X时 有|f(x)A|下页上页下页铃结束返回首页定理4(函数极限与数列极限的关系)如果当xx0时f(x)的极限存在 xn为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列 且满足xn x0(nN)那么相应的函数值数列f(xn)必收敛 且)(lim)(lim0 xfxfxxnn 结束上页下页铃结束返回首页思考与练习思考与练习1.若极限)(lim0 xfxx存在,)()(lim00 xfxfxx2.设函数)(xf且)(lim1xfx存在,则.a3是否一定有1,121,2xxxxa？作业作业 P38 5(4);6(2);3.P38 第2题，第4题
