高等数学第5章-定积分课件.pptx

1、目录CONTENTS第第4章章 不定积分不定积分第1节第2节第3节第4节不定积分的概念与性质第一类换元积分法第二类换元积分法分部积分法第5节有理数函数和可化为有理数函数的积分第1节定积分的概念01一、引例二、定积分定义三、定积分的几何意义一、引例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及 x以及两直线bxax,所围成,求其面积 A.?A)(xfy 矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bahyOxab1xix1ixxabyO解决步骤:1)分割.在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形

2、;2)近似代替.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底,)(if为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2,1,nii3)求和.niiAA1niiixf1)(4)取极限.令,max1inix则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim1xix1ixxabyOi2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,)(21TTCtvv且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤:1)分割.,1iiitt任取将它分成,),2,1(,1nittii在每个小段上物体经2)近似代替.,代替变速以)(iv得iiitvs

3、)(,1,21个分点中任意插入在nTT),2,1(nisi),2,1(ni已知速度n 个小段过的路程为3)求和.iniitvs1)(4)取极限.iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“分割,近似代替,求和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限Oabx二、定积分定义,)(上定义在设函数定义baxf的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限 I,则称此极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的定积分,1xix1ixbaxxfd)(即bax

4、xfd)(iniixf10)(lim此时称 f(x)在 a,b 上可积.记作baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即baxxfd)(battfd)(bauufd)(可积的充分条件:定理1上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf定理2,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点.,)(可积在baxf三、定积分的几何意义Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAA

5、AAxxfba各部分面积的代数和AOO1xyninix1,nii取),2,1(ni用定义计算定积分.d102xx解:将 0,1 n 等分,分点为niix),1,0(ni2xy iiiixxf2)(则32ni例例5.1.15.1.1iinixf)(1niin1231)12)(1(6113nnnn)12)(11(61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11(61nn注O1xyni2xy 注.当n 较大时,此值可作为 的近似值xx d102注 利用,133)1(233nnnn得133)1(233nnnn1)1(3)1(3)1(233nnnn1131312233两端分别相加,得

6、1)1(3n)21(3nn即nnn3323nii12332)1(nnnnii1261)12)(1(nnn)21(3222n1.定积分的定义 乘积和式的极限2.定积分的几何意义矩形公式 梯形公式近似计算抛物线法公式 内容小结OxO1xn1n2nn 11.用定积分表示下述极限:nnnnnIn)1(sin2sinsin1lim解:10sinlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn)1(或)(sinlim10nknnkIn110dsinxx思考与练习思考:如何用定积分表示下述极限 nnnnnnIn)1(sinsin2sin1lim提示:nknnkI1sinlim1nnnnnsin1limnnn

7、n)1(sin1lim0dsin1xx极限为 0!第2节 作作 业业P160 1(2);2(1),(3)121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix1.用定积分表示下列极限:ninnin111lim)1(121lim)2(ppppnnn解:ninnin111lim)1(nninin11lim1iixxxd110Ox1ni 1ni备用例题第2节定积分的基本性质 02(设所列定积分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(0d)(aaxxfxxfkxxfkbabad)(d)(性性质质2 2(k 是常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(性质1性质1

8、证:iiinixgf)()(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010=右端bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(性质3性质3证:当bca时,因)(xf在,ba上可积,所以在分割区间时,可以永远取 c 为分点,于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixf0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(abcabc当 a,b,c 的相对位置任意时,例如,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(.d,1)(,abxxfbaba则上,如果在性性质质4

9、4性质5 如果在 a,b 上0)(1iinixf则.)(0d)(baxxfba证:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推论1 如果在 a,b 上,)()(xgxf则).(d)(d)(baxxgxxfbaba推论2xxfbad)(xxfbad)(证:)(xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(性质6 设,)(min,)(max,xfmxfMbaba则)(d)()(abMxxfabmba)(ba 性质7(定积分中值定理),)(baCxf若则至少存在一点,ba使)(d)(abfxxfba证:,)(Mmbaxf

10、别为上的最小值与最大值分在设则由性质7 可得Mxxfabmbad)(1根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在,ba,ba点使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.Oxbay)(xfy 说明:.都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解为baxf故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对abxxfbad)(因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn1.定积分的基本性质2.定积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式 内容小结作作 业业P164 1(1),(3);2(1),(2);3(2),(4);4(1),(3);1.试证:.2ds

11、in120 xxx证:设)(xf,sinxx则在),0(2上,有)(xf2sincosxxxx)tan(xx 2cosxx0)0()()(fxff2即2,1)(xf),0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx备用例题2.计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度.解:已知自由落体速度为tgv 故所求平均速度v2211TgT2TgTttg0d01TOtgv vTt221TgS 第3节微积分基本公式03一、变速直线运动中位置函数 与速度函数之间的联系 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 莱布尼茨公式 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系在变速直

12、线运动中,已知位置函数)(ts与速度函数)(tv之间有关系:)()(tvts物体在时间间隔,21TT内经过的路程为)()(d)(1221TsTsttvTT这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.)()(的原函数是这里tvts二、积分上限的函数及其导数xattfxd)()(定理1 如果函数 f(x)在区间a，b上连续，则积分上限的函数).()(d)(d)(dd)(bxaxfttfttfxxxaxa在区间a，b上可导，且 定理2 如果 f(x)在a，b上连续，则 就是 f(x)在a，b上的一个原函数 xattfxd)()(说明:1)定理 2 证明了连续函数的原函数是存在的.2)其他变限积分求

13、导:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx三、牛顿 莱布尼茨公式上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba(牛顿-莱布尼茨公式)证:根据定理2,)(d)(的一个原函数是xfxxfxa故CxxfxFxad)()(,ax 令,)(aFC 得因此)()(d)(aFxFxxfxa,bx 再令得)()(d)(aFbFxxfba记作)(xFab)(xFab定理3函数,则或计算.d113312xx解:

14、)1arctan(33arctanarctand113313312xxx.125)4(6例例5.3.25.3.2计算.dlim21cos02xtextx解:2cos1021cos0dlimdlim22xtextextxxtx.212)sin(lim2cos0exxexx例例5.3.85.3.8,)()(,)(xfxFbaCxf且设则有1.微积分基本公式xxfbad)(积分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理)(abf牛顿 莱布尼茨公式2.变限积分求导公式 内容小结第4节 作作 业业P170 1(1),(3),(5),(7);2(2);3(2),(4),(6),(8),(10);5(1

15、),(4);6(2);7;3234)(2xxxf备用例题解：1.设,d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求).(xf定积分为常数,d)(10axxf设bxxf20d)(abxxxf2)(2,则10d)(xxfa33x22bxax20120d)(xxfb33x22bxax202ab2231ab4238,31a34b故应用积分法定此常数.2.设证：,dsin,dtan0302xxtttt试证:当 0limxxxxxx21023sin2tanlim 0 x时,=o().xxxxx210232limxxx21202lim0所以 =o().xxxxxsintan0时洛3.求解:由于20dsi

16、n2sinxxnxIn的递推公式(n为正整数).,dsin)1(2sin201xxxnIn因此1nnII20d)12cos(2xxn20dsinsin)12cos(2xxxxn12)1(21nn1nnII12)1(21nn所以),3,2(n2dcos2201xxI其中第4节定积分的换元积分法和分部积分法04二、定积分的分部积分法 不定积分一、定积分的换元积分法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法一、定积分的换元积分法 定理 设函数,)(baCxf单值函数)(tx满足:1),)(1Ct 2)在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t证:所证等式两边被积函数都

17、连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.,)()(的一个原函数是设xfxF是的原函数,因此有则baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t则说明:1)当 1 时,广义积分收敛,其值为;11pap当 p1 时,广义积分发散.例例5.5.55.5.5二、无界函数的广义积分引例:曲线xy1所围成的1x与 x 轴,y 轴和直线开口曲边梯形的面积 可记作10dxxA其含义可理解为 10dlimxxA12lim0 x)1(2lim02xy1A1xyO定义2.设,()(baCxf而在点 a 的右邻域内无界,0取存在,xxfxxfbabad)(limd)(0这时称广

18、义积分xxfbad)(收敛;如果上述极限不存在,就称广义积分xxfbad)(发散.类似地,若,),)(baCxf而在 b 的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限baxxfd)(lim0数 f(x)在(a,b 上的广义积分,则定义则称此极限为函 记作若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明:,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类广义积分,无界点常称邻域内无界,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220为瑕点(奇点).例如,xxxd11112xxd)1(11间

19、断点,而不是广义积分.则本质上是常义积分,则定义注意:若瑕点,)()(的原函数是设xfxF计算表达式:xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点,则若 a 为瑕点,则若 a,b 都为瑕点,则,),(bac则xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消吗?计算广义积分.)0(d022axaxa解:显然瑕点为 a,所以原式0arcsinaax1arcsin2例例5.5.65.5.6112dxx211111x下述解法是否正确:,积分收敛讨论广义积分112dxx的收敛性.解:112dxx012dxx10

20、2dxx101x011x所以反常积分112dxx发散.例例5.5.75.5.7讨论广义积分10d1xxq解:当 q=1 时,（q0）的敛散性.10dxx10lnlimx.当 q1 时10d1xxq)1(11lim10qq1q,11q1q,所以当 q 1 时,该广义积分收敛,其值为;11q当 q 1 时,该广义积分发散.例例5.5.85.5.8 1.广义积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2.两个重要的广义积分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0(abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,)1(11pap 内容小结说明:(1)有时通过换元,广义积分和常义积分可以互 相转化.例如

21、,1021dxx）令txsin(20dtxxxd11104210121d122txxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2)当一题同时含两类广义积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的广义积分.(3)有时需考虑主值意义下的广义积分.baxxfd)(v.p.),(bcac为瑕点xxfd)(v.p.xxfaaad)(limxxfxxfbccad)(d)(lim0义积分收敛.注意:主值意义下广义积分存在不等于一般意义下广其定义为作作 业业P184 2(1),(3),(5),(7),(9);4;5;1.试证:xxxxxd11d04204,并求其值.解:041dxx令xt1t

22、ttd1112014tttd1042xxxd1042xxxxxxxd11d211d0420404xxxd1121042xxxxd121021122备用例题xxxxd121021122)1(d2)(121021xxxx012arctan221xx222.计算广义积分.)0(de0ptttp解:tppte原式00de1tptptppe12021p3.解：,)2()1()1()(32xxxxxf设求.d)(1)(312xxfxfI)(20 xfxx为与的无穷间断点,故 I 为广义xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(xxfxfI202d)(1)(xxf

23、xf322d)(1)(xxfxf积分.)(arctanxf)(arctanxf02)(arctanxf232222732arctan222732arctan10第6节定积分在几何学上的应用 06一、定积分的元素法三、求体积二、平面图形的面积四、求平面曲线的弧长 一、定积分的元素法 需要用定积分来表示的量U具有以下共同特征：(1)U 取决于一个变量(记作x)的变化区间a，b和定义在该区间上的一个函数 f(x)；(2)U 对于区间a，b具有可加性 (3)在区间a，b的子区间x，xdx上对应的部分量U能近似地表示 f(x)与 dx 的乘积，即 Uf(x)dx.通常把 U的近似值 f(x)dx称为量U

24、的元素(或微元)，且记作 dU.d)(dbabaxxfUUybxa)(2xfy)(1xfy 二、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfAd)(dxxfAbad)(边梯形面积为 A,右下图所示图形面积为 xxfxfAbad)()(21xbay)(xfy xxdxxxxd 计算两条抛物线22,xyxy在第一象限所围图形的面积.解:由xy22xy 得交点)1,1(,)0,0(xxxAd)(d22332x01331x3110Axyxy 22xy xxxd)1,1(1例例5.6.15.6.1Oxy22 xyxy 计算抛物线xy2与直线的面积.

25、解:由xy22 xy得交点)2,4(,)1,1()2,4(.292 xy所围图形)1,1(213312212yyy为简便计算,选取 y 作积分变量,则有212d)2(yyyAyyyd例例5.6.25.6.2ab求椭圆12222byax解:利用对称性,xyAdd所围图形的面积.有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a=b 时得圆面积公式xxxdxyO例例5.6.35.6.3yxabOabOyx一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程)()(tytx给出时,按顺时针方向规定起点

26、和终点的参数值21,tt则曲边梯形面积21d)()(tttttA)(1axt对应)(1bxt对应2.极坐标情形,0)(,)(C设求由曲线)(及,射线围成的曲边扇形的面积.)(d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A xO对应 从 0 变计算阿基米德螺线解:)0(aadd)(212a20A22a331022334a到 2 所围图形面积.a2xO例例5.6.55.6.5计算心形线与圆所围图形共同部分的面积.解:求出两图形的交点为：)0()cos1(aacos3a2323022d)cos3(21d)cos1(212aa12SS

27、 d22cos19d)22cos1cos21(232302aa245a心形线)3,23(),3,23(aCaB例例5.6.65.6.6心形线(外摆线的一种)xyaO2222yxaxayx即)cos1(a点击图中任意点动画开始或暂停 尖点:)0,0(面积:223 a 弧长:a8参数的几何意义三、求体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为 A(x),)(baxA在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(xabxxxd)(xA上连续,1.平行截面面积为已知的立体的体积类似有yyAVdcd)(一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心,并 与底面交成 角,22

28、2Ryx解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.ORxyx例例5.6.75.6.7ORx),(yxyR 可否选择 y 作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?)(yA提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22思思 考考Oxy)(ygx 当考虑连续曲线段2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时,有轴绕 xbxaxfy)()(xdbaV当考虑连续曲线段)()(dycygx

29、绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(ygyddcVycdxyabxyabO)(xfy x2.旋转体的体积ayxb计算由椭圆12222byax所围图形绕 y轴旋转而成的旋转体的体积.解:利用直角坐标方程)(22bybybbax则.3432203222bayybbab(利用对称性)ObbyybbaVd)(2222x.343aVba时，当例例5.6.95.6.9四、求平面曲线的弧长定义:若在弧 AB 上任意作内接折线,0M1iMiMnM当折线段的最大 边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧 AB 的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理:任意光滑曲线弧都是可求长

30、的.ni 10lims则称OAByxsdabyxO曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分):xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs几种特殊情形：(1)曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分):因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs(2)曲线弧由极坐标方程给出:)()(,sin)(,cos)(yx令因此所求弧长.d)()(22sd)()(22yxd)()(22则得sd弧长元素(弧微分):(自己验证)计算摆线)cos1()sin(tayttax)0(

31、a一拱)20(t的弧长.解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1(22tata22sintdttad)cos1(2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyOa2例例5.6.115.6.111.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程直角坐标方程上下限按顺时针方向确定21d)()(tttttAd)(212A 内容小结2.已知平行截面面积函数 A(x)的立体体积baxxAVd)(旋转体的体积2)(yxA绕 x 轴:yxxA2)(绕 y 轴:(柱壳法)(xyy 3.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22s

32、直角坐标方程注意:求弧长时积分上下限必须上大下小1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s.提示:交点为,)3,9(,)1,1(yAd 312yx 032yxyxO13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧线段部分直线段部分)52ln()376ln(4155373s以 x 为积分变量,则要分 两段积分,故以 y 为积分变量.思考与练习第7节 作作 业业P193 1(2),(4);3;5;6(1),(3),(5);8;10;11;备用例题解：1.求曲线所围图形的面积.1lnlnyx显然1ln,1lnyxOyxe1e1e11eee,ee11yxxln,ln x,ln

33、xe1 x1e1xyln,ln y,ln ye1 y1e1y1e1x1e1y,e1xy中曲线为面积为同理其他.e1yxxyeexy exyS1e1dx)e1(exx e1dx)ee(xx21e21e又故在区域分析曲线特点2.)1(xxyOyx解:41)(221 x1A)1(xxy与 x 轴所围面积1101d)1(xxxA61,0时2A12d)1(xxxA,21AA 由61213123,0)2131(2得0,2321由图形的对称性,211,2143也合于所求.为何值才能使)1(xxy.)1(轴围成的面积及与于xxxxy与 x 轴围成的面积等故21a2sin2a3.求双纽线所围图形面积.解:利用对

34、称性,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0则所求面积为42a思考:用定积分表示该双纽线与圆sin2ar 所围公共部分的面积.2Adsin2026ad2cos21462a4答案:4yxO轴所围图及表示xtxxfytV)0(,)()(4.设)(xfy 在 x0 时为连续的非负函数,且,0)0(f形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积,证明:.)(2)(tftV 证:xtxxd利用柱壳法xxfxtVd)()(2d则xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 故)(

35、xfxOy解:垂直 x 轴的截面是椭圆1)1()1(22222222axaxczby5.计算由曲面1222222czbyax所围立体(椭球体)它的面积为)1()(22axcbxA因此椭球体体积为xbcaxd)1(22cb20acba34特别当 a=b=c 时就是球体体积.)(axaaV02x233axx 的体积.Oazxycb设平面图形 A 由xyx222与xy 所确定,求图形 A 绕直线 x 2 旋转一周所得旋转体的体积.提示：选 x 为积分变量.旋转体的体积为V102d)2)(2(2xxxxx3221221Oyx16.若选 y 为积分变量,则 V1022d)11(2yy102d)2(yyx

36、yxy)ch(cxccxccsh17.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成悬链线.求这一段弧长.解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22eechxxx)(ch x2eeshxxx)(sh xxshxchcxbbOy下垂悬链线方程为d222aa8.求阿基米德螺线相应于 02 一段的弧长.解:)0(aard)()(d22rrsd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aara2Oar 第7节定积分的物理应用 07一、变力沿直线所做的功三、引力二、水压力一、变力沿直线所做的功设物体在连

37、续变力 F(x)作用下沿 x 轴从 x a 移动到,bx 力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.xabxxxd，上任取子区间在d,xxxba在其上所作的功元 素为xxFWd)(d因此变力F(x)在区间,ba上所作的功为baxxFWd)(1.变力做功S求移动过程中气体压力所Ox解:把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处(如图),做的功.ab建立坐标系如图.xxxd由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比,即,SxkVkp 功元素为WdxFdxxkd故作用在活塞上的SpFxk所求功为baxxkWdbaxk lnabkln力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的

38、气体,由于气体的膨胀 例例5.7.25.7.2m3m5装满了水，求把桶内水全部抽出所做的功.解:建立坐标系如图.Oxxxxd在任一小区间d,xxx上的一薄层水的重力为xd38.92这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为kJ)(d2.88dxxW故所求功为50Wxx d2.8850222.88x85.3461(KJ)设水的密度为(KN)有一半径为3m，高为5m的圆柱形蓄水桶，桶内 2.抽水做功例例5.7.35.7.3二、水压力设一薄板abAB铅直的放置在水中，求此薄板一侧所受的水压力P.)(xxgxfxygxPddd面积压强 取水的深度x为积分变量，它的变化区间为a，b，在区间a，b上任取一小区间

39、x，xdx，设水作用在此小区间上的相应的小曲边梯形的压力为P.)(:baxxxfgPPd为水压力hxbxhbag0232322b(ab)，高为h，水面与闸门顶齐平，试求闸门的一侧所受的水压力P.解:建立坐标系如图.bxhbay小梯形上所受的水压力hxbxhbagxP0d)(2.d)(2d2xbxhbagxxygxPd闸门一侧所受水压力为：方程为一梯形闸门倒置于水中，两底边长度分别为2a，2)23(2hbbag.)2(312ghba例例5.7.45.7.4三、引力质量分别为Mm,的质点,相距 r,mMr二者间的引力:大小:.2rmMGF 方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力,则需用积分解决

40、.设有一长度为 l,线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,M该棒对质点的引力.解:建立坐标系如图.y2l2ld,xxx细棒上小段对质点的引力大小为.d22xaxmGF故铅直分力元素为cosddFFyacosd22xaxmG,d)(2322xxaamGxOx在试计算FdxFdyFdxxd例例5.7.55.7.5利用对称性xxaamGFllyd)(222322-.4222laalGm棒对质点引力的水平分力.0 xF.4222laalGmF故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的铅直分力为 My2l2laaxOxFdxFdyFdxxd方向与细棒垂直且由M指向细棒中

41、心.2lOy2laxxxdx说明:aGm22)若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处1)当细棒很长时,可视 l 为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.移到 b(a b)处时克服引力作的功,bybalyyylmGW224d222412llmGyyWdyd则有22412llmGFaalOxyacosdFyFd23)(d22xaxamGxFd23)(d22xaxxmGlyxaxamGF02223)(dlxxaxxmGF02223)(d引力大小为22yxFFF22ddxaxmGFxxxdxFdyFdsindF注意正负号3)当质点位于棒的左端点垂线上时,(1)先用元素法求出它的微分表达式 d

42、Q一般元素的几何形状有:扇、片、壳 等.(2)然后用定积分来表示整体量 Q,并计算之.1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:2.定积分的物理应用:变力做功,水压力,引力等.条、段、环、带、内容小结(1999考研)提示:作 x 轴如图.Ox30 xxd1.为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,问克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30 m,抓斗自重400N,将抓起污泥的抓斗由抓起污x 提升 dx 所作的功可分为三部分:米重50N

43、,思考与练习提升抓斗中的污泥:井深 30 m,抓斗自重 400 N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重 2000N,提升速度为3ms,污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉xWd400d1克服缆绳重:xxWd)30(50d2抓斗升至 x 处所需时间:)s(3x(J)91500 xxWxd)202000()30(504003300 xWxd)202000(d33321ddddWWWW克服抓斗自重:Ox30 xxdxyABO2.设星形线taytax33sin,cos上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,提示:如图.2222d)(d23yxsyxkFsyxkd)(2122cosddFFx

44、syxxyxkd)(222221sxkdsinddFFysykd),(yxsd在点O 处有一单 位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.同理takFx203costttattadcossin3)sin(cos32222tttkadsincos32042253ak253akFy故星形线在第一象限的弧段对该质点的2253akF xFd,dsxkyFdsykd;sin,cos33taytax引力大小为作业:P198 2,3,5 xyABO),(yxsd锐角 取多大时,薄板所受的压力 P 最大.备用例题1.斜边为定长的直角三角形薄板,垂直放置于解:选取坐标系如图.设斜边长为 l,水中,并使一直

45、角边与水面相齐,coscotlxyxxygdsin02d)coscot(lxxlxg)cos(cos633lglOyxy则其方程为问斜边与水面交成的xxxdsin0lP)cos(cos633lgP,0ddP令33arccos0故得唯一驻点 故此唯一驻点0即为所求.由实际意义可知最大值存在,即0sincos3sin2,),0(2lOyxyxxxd2.一个单求电场力所作的功.qOrabrrrd11解:当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为2rqkF 则功的元素为rrqkWdd2所求功为barrqkWd2rqk1ab)11(baqk说明:处的电势为电场在ar arrqkd2aqk位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处(a b),在一个带+q 电荷所产生的电场作用下,