1、高考数学（理）必考热点新题精选练习：高考数学（理）必考热点新题精选练习： 正余弦定理与解三角形 1.已知ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 asin C=ccos A. (1)求角 A. (2)若 b=2,ABC 的面积为,求 a. 2.已知 f(x)=sin(+x) sin-cos 2x(0)的最小正周期为 T= . (1)求 f的值. (2)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若(2a-c)cos B=bcos C,求角 B 的大小以及 f(A)的取值范围. 3.已知 a,b,c 分别是ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,若 a=10,角
2、B 是最小的内 角,且 3c=4asin B+3bcos A. (1)求 sin B 的值. (2)若ABC 的面积为 42,求 b 的值. 4.在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 acos C=b-c. (1)求角 A 的大小. (2)若 B= ,b=4,求 BC 边上的中线 AM 的长. 5.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知=. (1)求角 A 的大小. (2)设 a=2,b=3,求 sin(2B-A)的值. 6.在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且-a=0. (1)求角 C. (2)若ABC 的中线 CE
3、的长为 1,求ABC 的面积的最大值. 答案与解析答案与解析 sin Asin C=sin Ccos A, 因为 sin C 0,所以 tan A=得 A= . (2)由 SABC=得 bcsin A=,将 b=2,A= 代入得 c=2,知ABC 为正三角形,可 得 a=2. 2.【解析】(1)因为 f(x)=sin(+x)sin-cos 2x =sin xcos x-cos 2x= sin 2x- cos 2x- = sin- ,由函数 f(x)的最小正周期为 T=,即=,得=1, 所以 f(x)=sin- , 所以 f=sin- =sin- = . (2)因为(2a-c)cos B=bco
4、s C, 所以由正弦定理可得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, 所以 2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A. 因为 sin A0,所以 cos B= . 因为 B(0,),所以 B= . 因为 A+C=-B= ,所以 A, 所以 2A- ,所以 sin, 所以 f(A)=sin- . 3.【解析】(1)由 3c=4asin B+3bcos A,A+B+C=及正弦定理可得: 3sin(A+B)=4sin Asin B+3sin Bcos A, 由于 sin A0,整理可得:3cos B=4sin B, 又 s
5、in B0, 因此得 sin B= . (2)由(1)知 sin B= , 又ABC 的面积为 42,且 a=10, 从而有 10c=42,解得 c=14, 又角 B 是最小的内角, 所以 0B ,所以 cos B= , 由余弦定理得 b 2=142+102-21410 =72,即 b=6 . 4.【解析】(1)因为 acos C=b-c,由正弦定理可得 sin Acos C=sin B-sin C, 因为 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 所以 cos Asin C=sin C, 因为 sin C0,所以 cos A=,A= . (2)由 A=B=
6、,则 C=,所以 BC=AC=4,AB=4,BM=2, 由余弦定理可得 AM 2=BM2+AB2-2BMABcos B=28,所以 AM=2 . 5.【解析】(1)由正弦定理可得:=, 即 2sin Ccos A=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C. 因为 sin C0,所以 cos A= , 又 A(0,),所以 A= . (2)由正弦定理=得:sin B=, 所以 cos B=, 所以 cos 2B=1-2sin 2B=1-2 =-, sin 2B=2sin Bcos B=, 当 sin 2B=时,sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2
7、Bsin A=, 当 sin 2B=-时,sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=, 所以 sin(2B-A)=或. 6.【解析】(1)由-a=0, 得:=a,即=sin C, 由余弦定理得 cos C=sin C, 所以 tan C=,因为 C(0,),所以 C= . (2)由余弦定理得:b 2=1+ -21 cosCEA,a 2=1+ -21 cosCEB , +得 b 2+a2=2+ ,即 2(b 2+a2)=4+c2, 因为 c 2=a2+b2-2abcos C,所以 a2+b2=4-ab2ab, 所以 ab ,当且仅当 a=b 时取等号, 所以 SABC= absin C =, 所以ABC 的面积的最大值为.
