1、猜押练一猜押练一 致胜高考必须掌握的致胜高考必须掌握的 2020 个热点个热点 热点练热点练 14 14 数列求和及等差、等比数列的综合应用数列求和及等差、等比数列的综合应用 1.【解析】(1)当 n2 时,由 Sn-1-1,Sn,Sn+1成等差数列得:2Sn=Sn-1-1+Sn+1, 即 Sn-Sn-1=-1+Sn+1-Sn,即 an=-1+an+1(n2), 则 an+1-an=1(n2), 又 a2-a1=1,故an是公差为 1 的等差数列. (2)由(1)知等差数列an公差 d=1,若 a1=1,则 an=1+(n-1)1=n, 因此 bn= -. 则 Tn=b1+b2+bn=+ =1
2、-=. 2.【解析】(1)由 a3+a4=6a5,得 6q 2-q-1=0,解得 q= 或 q=- . 因为数列an为递减数列,且首项为 1,所以 q= . 所以 an=1=. (2)因为 Tn=1+2+3+n, 所以 Tn=1+2+3+n. 两式相减得 Tn=+-n =-n=2-2-n=2-, 所以 Tn=4-. 3.【解析】(1)等差数列an的公差设为 d,前 n 项和为 Sn,且 S4=32,S13=221. 可得 4a1+6d=32,13a1+78d=221,解得 a1=5,d=2,可得 an=5+2(n-1)=2n+3. (2)由 bn+1-bn=an=2n+3, 可得 bn=b1+
3、(b2-b1)+(b3-b2)+(bn-bn-1)=3+5+7+ +2n+1= n(2n+4)=n(n+2),=. 则前 n 项和 Tn=1- + - + - +-+ -=. 4.【解析】(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4), 即 a4-a2=a5-a3. 所以 a2(q-1)=a3(q-1). 又因为 q1,故 a3=a2=2,由 a3=a1q,得 q=2. 当 n=2k-1(kN *)时,a n=a2k-1=2 k-1= ; 当 n=2k(kN *)时,a n=a2k=2 k= . 所以,an的通项公式为 an= (2)由(1)得 bn=.设bn的
4、前 n 项和为 Tn, 则 Tn=+, Tn=+, 上述两式相减,得 Tn=+-=-, 整理得, Tn= -, Tn= -,所以 Tn=1-. 所以,数列bn的前 n 项和为 Tn=1-,nN *. 5.【解析】(1)当 n2 时,an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1, 两式相减得:an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an,所以=3. 因为 a1=1,所以 a2=2S1+1=2a1+1=3,即=3. 所以数列an是以 1 为首项,3 为公比的等比数列,从而 an=3 n-1, 因为 cn=log3a2n,所以 cn=2n-1. (2)由(1)有 bn=, 所以 Tn=- + - + - + +-+-= - , 由于 Tn随着 n 的增大而增大,所以 Tn最小值为 T1= . 所以 Tn ,所以 Tn . 6.【解析】(1)由题知an为等差数列,设其公差为 d, 则解得 故 an=2n-1; 又 2n-1=2log2bn+1,则 bn=2 n-1. (2)由(1)知 anbn=(2n-1)2 n-1,nN*, 故 Tn=1+32+52 2+(2n-1)2n-1, 2Tn=2+32 2+523+(2n-1)2n, 故 Tn=-1-2(2+2 2+2n-1)+(2n-1)2n =-1-2+(2n-1)2 n=(2n-3)2n+3,nN*.
