阳市八中2019级高一第3次月考试题 数学试题（ 附答案）.doc

1、数学试题第 页，共 4 页 1 衡阳市八中衡阳市八中 20192019 级高一第级高一第 3 3 次月考试题次月考试题 数数 学学 请注意：时量 150 分钟 满分 150 分 一、单选题（每小题一、单选题（每小题 5 分，共计分，共计 60 分）分） 1已知 | 35 ,4AxxBx x ，则AB=（ ） A| 3 5xx B|5x x C|4 5xx D| 34xx 2下列结论中正确的是（ ） A半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球 B直角三角形绕一直角边为轴旋转一周得到的旋转体是圆锥 C夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 D用一个平面截圆锥底面与截面组成的部分是圆台

2、3函数 1 ( )ln(2)f xx x 的零点所在的大致区间是（ ） A （2，3） B （3，4） C （4，5） D （5，6） 4如图所示的是水平放置的三角形直观图，D是ABC中 BC边上的一点，且 D离 B比 D离 C近，又 ADy轴，那么原ABC 的 AB、AD、AC 三条线段中（ ） A最长的是 AB，最短的是 AC B最长的是 AC，最短的是 AD C最长的是 AD，最短的是 AC D最长的是 AB，最短的是 AD 5已知函数 f x为奇函数,且当0x 时, 2 2 0f xx x ,则2f （ ） A2 B1 C- 2 D- 5 6在一个长方体 1111 ABCDABC D中

3、，已知 6AB ，5BC ， 1 4BB ，则从点A沿表 面到点 1 C的最短路程为（ ） A5 5 B137 C3 13 D15 数学试题第 页，共 4 页 2 7设函数 1 ( )ln 1 x f xx x ，则函数的图像可能为（ ） A B C D 8鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创 的榫卯结构， 这种三维的拼插器具内部的凹凸部分 （即榫卯结构） 啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左 右、 前后完全对称， 从外表上看， 六根等长的正四棱柱分成三组， 经90榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为 8，底面正方形的边 长为 2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内

4、，则该球形容器的表 面积的最小值为（ ） （容器壁的厚度忽略不计） A21 B40 C41 D84 9已知 2 log (4)log (21) aa aa，则 a 的取值范围是（ ） A 2 ， B 1 ,2 2 C2 3， D 1 ,3 2 10设m，n是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列四个命题： （1）若m，/ /n，那么mn； （2）若mn，m，/ /n，那么； （3）若/ /，m ，那么/ /m； （4）若 ，则, 其中正确命题的序号是（ ） A （1） （2） B （2） （3） C （1） （3） D （2） （4） 11函数 f x的定义域为 D，若存在闭区间 , a

5、 b D ,使得函数 f x同时满足: （1） f x在, a b内是单调函数； （2） f x在, a b上的值域为,(0)ka kb k ,则称区 间, a b为 f x的“k倍值区间”.下列函数： f xlnx； 1 0fxx x ； 2 0f xxx； 2 01 1 x f xx x .其中存在“3 倍值区间”的有（ ） A B C D 数学试题第 页，共 4 页 3 12如图，在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，点E F、分别是棱BC， 1 CC的中 点，P是侧面 11 BCC B内一点，若 1 AP/平面AEF，则线段 1 AP长度的取值范围是（ ） A 5 2

6、, 2 B 3 25 , 42 C 3 2 , 5 2 D 5 ,2 2 2 二、二、填空题（每小题填空题（每小题 5 分，共计分，共计 20 分）分） 13求值： 3 log 4 33 641 3lg 27100 . 14已知三棱锥 P- ABC 中，ABC 为等边三角形，PAPBPC2，PAPB，则三棱锥 P- ABC 的外接球的体积为 . 15设常数aR，则方程|1 x xae的解的个数组成的集合是A . 16在矩形 ABCD 中，ABBC，现将ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在 翻折的过程中，给出下列结论： 存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直； 存在某个

7、位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直； 存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直 其中正确结论的序号是_ 三、解答题（第三、解答题（第 17 题题 10 分，分，18-22 每小题每小题 12 分，共计分，共计 70 分）分） 17 （10 分）已知集合)2(log2 2 xyxA，集合ayyB x 2 3 （1）当1a时，求BA，BA； （2）若BBA，求 a 的取值范围. 18 （12 分）如图所示，有一块矩形铁皮 ABCD，4AB，剪下一个半圆面作圆锥的侧面， 余下的铁皮内剪下一个与其相切的圆面，恰好作为圆锥的底面.试求： （1）矩形铁皮 AD 的长度； （2）做成的圆锥体的

8、体积. 数学试题第 页，共 4 页 4 19 （12 分）如图三棱柱 111 CBAABC 中ABCAA平面 1 且2 1 AA，底面 ABC 是边 长为 2 的等边三角形，点 D 是 11B A的中点. （1）求证：CA1 平面DBC1； （2）求异面直线CA1与 1 BC所成角的大小. 20 （12 分）某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备。已知每台设备每 月固定维护成本 5 万元， 每处理一万吨垃圾需增加 1 万元维护费用， 每月处理垃圾带来的总 收益)(xg万元与每月垃圾处理量 x（万吨）满足如下关系： 10,35 100 ,100332 )( 2 x xxx xg（注

9、：总收益=总成本+利润） （1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润)(xf关于每月垃圾处理量 x 的函数关系； （2）该市计划引入 10 台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求 出最大利润. 21 （12 分）已知四边形 ABCD 是正方形，BF平面 ABCD，DE平面 ABCD， ABFBED，M 为棱 AE 的中点 （1）求证：AE平面 CMF； （2）求直线 BM 与平面 ABCD 所成角的正切值. 22 （12 分）已知函数)(xfy 的定义域为 R，且存在实常数 a，使得对于定义域内任意 x， 都有)()(xfaxf成立，则称此函数)(xf具有“性质)(aP”

10、（1）判断函数74 2 xxy是否具有“)(aP性质” ，若具有“)(aP性质” ，则求出 a 的 值；若不具有“)(aP性质” ，请说明理由； （2）已知函数)(xfy 具有“)2(P性质”且函数)(xf在 R 上的最小值为 2；当1x时， xmxf)(，求函数)(xfy 在区间1 , 0上的值域； （3）已知函数)(xgy 既具有“)0(P性质” ，又具有“)2(P性质” ，且当11x时， xxg)(，若函数xxgy b log)(，在3 , 0x恰好存在 2 个零点，求 b 的取值范围. 数学试题第 页，共 4 页 5 高一第高一第 3 3 次月考数学试卷参考答案次月考数学试卷参考答案

11、1C因为| 35 ,4AxxBx x ，则 AB|45xx 2B因为半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做 球，故 A 错误；当以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转时，其余各边旋转形成的面所 围成的几何体是圆锥，故 B正确；当两个平行截面不平行于上、下两个底面时，两个平行 截面间的几何体不是旋转体，故 C 错误；圆锥的截面不与底面平行时，圆锥底面与截面组 成的部分不是圆台，故 D错误. 3B因为函数解析式为 1 ( )ln(2)f xx x ，则 1 (3)0 3 f， 1 (4)ln20 4 f， 所以(3)(4)0ff，即零点所在的大致区间为（3，4） 4B由

12、题意得到原ABC 的平面图为： 其中，ADBC，BDDC，所以 ACABAD，所以ABC 的 AB、AC、AD 三条线段中最 长的是 AC，最短的是 AD 5D因为 ( )f x是奇函数，所以 2(2)5ff. 6C将长方体展开共三种情况如下： （1） ： 22 22 11 654137ACABBCCC ； （2） ： 22 22 1111 64 51173 13ACABBBBC ； （3） ： 22 22 1111 5641255 5ACBCABBB ， 所以从点A沿表面到点 1 C的最短路程为3 13. 7D 1 ( )ln 1 x f xx x 定义域为：( 1,1)， 11 ()lnl

13、n( ) 11 xx fxxxf x xx ，函 数 ( )f x为偶函数，排除,A C； 11 ( ) 22 1 ln0 3 f ，排除B . 8D由题意知，当该球为底面边长分别为4、2，高为8的长方体的外接球时，球的半径 数学试题第 页，共 4 页 6 取最小值，所以，该球形容器的半径的最小值为 184 64 16 4 22 R ，因此，该球形容器 的表面积的最小值为 84S . 9C由题意知， 012 04 2 a a得： 2a ，即函数( )logaf xx为增函数 又因为 2 log (4)log (21) aa aa，所以 2 421aa 得2 3a . 10C 对于（1）如果m,

14、/ /n,根据直线与平面垂直的性质可知mn,所以（1）正确； 对于（2）如果mn,m,/ /n,根据线面垂直与线面平行性质可知或/ /或 ,所以（2）错误； 对于（3）如果/ /,m ,根据直线与平面平行的判定可知/ /m,所以（3）正确； 对于 （4） 设平面、是位于正方体经过同一个顶点的三个面， 则有 且， 但是，推不出，故（4）不正确. 11B 对于，函数 f xlnx为增函数，若函数 f xlnx存在“3 倍值区间” , a b，则 ( )ln3 ( )ln3 f aaa f bbb ，由图象可得方程ln3xx无解，故函数 f xlnx不存在“3 倍值区 间”； 对于，函数 1 0fx

15、x x 为减函数，若存在“3 倍值区间” , a b，则有 1 ( )3 1 ( )3 fab a f ba b 得： 1 ,0,0 3 abab 例如： 1 ,1 3 ab所以函数 1 0fxx x 存在“3 倍值区间”； 对于，若函数 2 ( )(0)f xxx存在“3 倍值区间” , a b，则有 2 2 ( )3 ( )3 f aaa f bbb ，解 数学试题第 页，共 4 页 7 得 0 3 a b 所以函数函数 2 ( )(0)f xxx存在“3 倍值区间” 0,3； 对于，当0x 时， 0f x 当0 1x 时， 1 ( ) 1 f x x x ，从而可得函数 f x 在区间0

16、,1上单调递增若函数 2 1 x f x x 存在“3 倍值区间” , a b，且 , a b 0,1，则有 2 2 ( )3 1 ( )3 1 a f aa a b f bb b ，无解所以函数 2 1 x f x x 不存在“3 倍值 区间” 12C如下图所示，分别取棱 111 ,BB BC的中点 M、N，连 MN， 1 BC， ,M N E F分别为所在棱的中点，则 11 / /,/ /MNBC EFBC， MNEF，又 MN平面 AEF，EF平面 AEF， MN平面 AEF 11 / /,AANE AANE， 四边形 1 AENA为平行四边形， 1 ANAE， 又 1 A N平面 AE

17、F，AE平面 AEF， 1 A N平面 AEF， 又 1 A NMNN， 平面 1 AMN平面 AEF 数学试题第 页，共 4 页 8 P 是侧面 11 BCC B内一点，且 1 AP平面 AEF， 点 P 必在线段 MN 上 在 11 Rt AB M中， 222 1111 215AMABBM 同理，在 11 Rt AB N中，可得 1 5AN ， 1 AMN为等腰三角形 当点 P 为 MN 中点 O 时， 1 APMN，此时 1 AP最短；点 P 位于 M、N 处时， 1 AP最长 2222 11 23 2 ( 5)() 22 AOAMOM ， 11 5AMAN 线段 1 AP长度的取值范围

18、是 3 2 , 5 2 132 运算如下： 3 log 4 33 641 3lg 27100 42 4() 33 2 144 3 如图所示：三棱锥 P- ABC，为正方体所截得的三棱锥 所以三棱锥 P- ABC 的外接球，即为正方体的外接球，则其外接球半径为 222 222 3 2 R 所以外接球的体积为：4 3 151,2,3 由题意得： | |1 x xae 1 | x xa e ，设 1 ( )( )xf x e ， ( ) |g xxa，在直角坐标系中分别画( )f x，( )g x的图象，如图所示： 数学试题第 页，共 4 页 9 所以方程解的个数可能为 1 个或 2 个或 3 个.

19、 故答案为：1,2,3. 16 假设 ADBC，CDBC，BC平面 ACD，BCAC，即ABC 为直角三角形，且 AB 为斜边，而 ABBC，故矛盾，假设不成立，不正确 假设 AC 与 BD 垂直，过点 A 作 AEBD 于 E，连接 CE.则 AEBD BDAC BD平面 AEC BDCE，而在平面 BCD 中，CE 与 BD 不垂直，故假设不成立，不正确 假设 ABCD，ABAD，AB平面 ACD，ABAC，由 ABBC 可知，存在这样 的等腰直角三角形，使 ABCD，故假设成立，正确 17解： （1）由题意可得： 22Axx ， 1 分 当1a 时， 2 311 x By yy y 2

20、分 212xxBAxxBA， 4 分 （2）由（1）可得： 22Axx ， By ya 5 分 BBA得BA 7 分 2a 9 分 即 a 的取值范为： 2, 10 分 18解：如图所示：取半圆的圆心记作 O 点，圆面的圆心记作 O，作 OEAD 交 AD 于 点 E，设圆锥底面半径为2 2 AB r ，圆锥母线长为4lAB,则： 6OOlr ， 2EOr 2 分 （1）在 RtOOE 中，由勾股定理可得： 4 2EO 4 分 2462244EAOEDOAD 6 分 数学试题第 页，共 4 页 10 （2）由（1）可得：圆锥的母线长4l ，底面半径2r ， 8 分 则圆锥的高为： 32 22

21、rlh 10 分 圆锥的体积为： 3 38 )( 3 1 2 hrV 12 分 19解：连接 1 CB交BC1于点 O，连接 DO 1 分 （1）证明：在三棱柱 111 CBAABC 中得：点 O 为 1 CB的中点，又 点 D 是 11B A的中点，即 DO 为CAB 11 的中位线 2 分 DO/CA1 3 分 又DBCCA 11 平面，DBCDO 1 平面 5 分 CA1 平面DBC1 6 分 （2）由（1）可得：CA1/DO 又ODOBC 1 7 分 异面直线CA1与 1 BC所成角为直线 DO 与 1 BC所成的角 即为：BOD 9 分 又 2,2 1 CABCABAA 10 分 由

22、几何关系可得： 3 2 6 BDBODO， 11 分 在BOD 中： 222 BDBODO 90BOD 即异面直线CA1与 1 BC所成角度为： 90 12 分 20解：由题意可得： （1） 10,30 100 ,105322 )( 2 xx xxx xf 5 分 （2）由（1）可得：当100 x时，23)8(2)( 2 xxf 6 分 当8x时，23)8()( max fxf； 8 分 数学试题第 页，共 4 页 11 当10x时，xxf30)(为减函数，则20)(xf 10 分 当8x时，每台设备每月处理垃圾所获利润最大 11 分 最大利润为：2301023w（万元） 12 分 21解：如

23、图所示：连接 CE、AC、DB 1 分 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形，且ABED ACEC 即CAE为等腰三角形 又M 为棱 AE 的中点，得：AECM 2 分 BF平面 ABCD，DE平面 ABCD，得：ED/FB 又 FBED ，则四边形BDEF为平行四边形 DBEF 又正方形ABCD， ABFBED AFEF 即AEF为等腰三角形 AEMF 3 分 又 AECM，CMFMFCMFCMMMFCM平面，平面, 4 分 AE平面 CMF 5 分 （2）取 AD 的中点 N，连接 MN、BN 6 分 点 M、N 分别为 AE、AD 的中点 MN 为ADE 的中位线 MN/DE 7 分

24、又DE平面 ABCD MN平面 ABCD 8 分 MN 为斜线 BM 过点 M 向平面 ABCD 的一条垂线，垂足为点 N，则斜线 BM 在平面 ABCD 内的射影为 BN，直线 BM 与平面 ABCD 所成角为MBN，设aAB2 10 分 由几何关系可得：aABANBNa ED MN5, 2 22 11 分 在BNMRt中得： 5 5 5 tan a a BN MN MBN 12 分 数学试题第 页，共 4 页 12 22解： （1）假设 2 47yxx具有“( )P a性质”， 则22 ()4()7()4()7xaxaxx 恒成立， 1 分 等式两边平方整理得， 2 2(2)44axaax

25、，因为等式恒成立， 所以 2 2(2) 04 4 a a a ，解得4a ； 3 分 （2）函数 )(xfy 具有“ )2(P 性质”则 )()2(xfxf )2()(xfxf 4 分 又当 1x 时，xmxf)(，在1 ,x单调递减 当 1x 时， 12x 得：2)2()2(mxxmxf， 又)2()(xfxf得 当 1x 时，2)(mxxf，在 , 1x单调递增 5 分 函数)(xf的最小值21) 1 ()( min mfxf，得： 3m 6 分 当1 , 0x时，xxf3)(，单调递减 此时)(xf的值域为：3 , 2 7 分 （3）( )yg x既具有“(0)P性质”，即( )()g xgx，则函数( )yg x为偶函数， 又( )yg x既具有“ (2)P 性质”，即(2)()( )g xgxg x， 9 分 且当 11x 时， xxg)( 作出函数( )yg x的图象如图所示： 函数 xxgy b log)( ，在 3 , 0x 恰好存在 2 个零点 )(xg 与 xy b log 在 3 , 0x 恰好有 2 个交点 10 分 13log1 b b且 11 分 3b 即 b 的取值范围为： , 3 12 分 数学试题第 页，共 4 页 13