1、2.2 基本不等式基本不等式第一课时第一课时 重要不等式：a2b22ab基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于几何平均数创设情境创设情境如果a0，b0，用 代替a，b，得到：ab，2abab 当且仅当ab时取等号几何平均数代数平均数基本不等式基本不等式 证明：要证明 ，2abab 只需证明 ，2abab所以原不等式成立只需证 ，20abab 只要证 2()0ab，而 显然成立2()0ab过程：执果索因分析法新知探究新知探究 解：半径OD为 ，2ab可得弦DE长的一半CD为 ，ab由CDOD，得到 2abab 几何解释几何解释新知探究新知探究问题1如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，ACa
2、，BCb，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD 你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？解：因为x0，所以 ，1122xxxx 1xx即x21，x1时，等号成立因此最小值为2当且仅当 时，1xx新知探究新知探究例1已知x0，求 的最小值 变式：（1）已知x2，求 的最小值；1xx（2）有最小值吗？为什么？1xx新知探究新知探究 反思：结合函数的图象及例1的解答，你能总结什么条件的代数式可以用基本不等式求最值？需要注意什么？xy 1fxxxO总结：1若代数式能转化为两个正数积为定值，可以利用基本不等式求和的最小值；2若代数式能转化为两个正数和为定值，可以利用基本不等式求积的最大值新知
3、探究新知探究 反思：结合函数的图象及例1的解答，你能总结什么条件的代数式可以用基本不等式求最值？需要注意什么？xy 1fxxxO注意：在利用基本不等式求最值时，应注意“一正，二定，三相等”的条件新知探究新知探究（1）如果积xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最小值 ；（2）如果和xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最大值 214S2 P证明：因为x，y是正数，所以 2xyxy当且仅当xy时等号成立，（1）当积为定值P时，2xyP于是，当xy时，xy有最小值 2 P新知探究新知探究例2已知x，y都是正数，求证：证明：因为x，y是正数，所以 2xyxy 当且仅当xy时等号成立，（2）当和为定值
4、S时，2Sxy 于是，当xy时，xy有最大值 214S新知探究新知探究（1）如果积xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最小值 ；（2）如果和xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最大值 214S2 P例2已知x，y都是正数，求证：归纳小结归纳小结（2）基本不等式的代数特征是什么？如何从几何图形上进行解释？（3）基本不等式可以解决哪两类数学问题？使用的条件是什么？应注意什么？问题2（1）什么是基本不等式？如何推导基本不等式？作业：作业：习题2.2第1，2，4，5题作业布置作业布置 目标检测目标检测2()2abab只要把式子倒过来，就可以推出原不等式成立即 ，2242ababab即 ，2220a
5、bab即需证 ，2()0ab而 显然成立，2()0ab已知a，bR，求证 1证明：要证明，只需证明，2()2abab2224ababab 目标检测目标检测12xx（2）已知0 x1，求x（1x）的最大值及相应的x值当且仅当 ，即 时，等号成立12xx22x 所以 的最小值为 ，这时 12xx2 222x（1）已知x0，求 的最小值及相应的x值2解：（1）x0，1122 22 2xxxx目标检测目标检测由211(1)()24xxxx 当且仅当1xx，即 时取等号12x 12xx（2）已知0 x1，求x（1x）的最大值及相应的x值（1）已知x0，求 的最小值及相应的x值2解：（2）0 x1，1x0
6、，目标检测目标检测（1）；（2）2xyyx2xyxyxy又由于xy，所以等号取不到 ，22xyxyyxyx 2xyyx已知x，y都是正数，且xy，求证：3证明：（1）x，y都是正数，目标检测目标检测又由于xy，所以等号取不到 ，22xyxy 20 xyxy两边同乘 ，得 xyxy2xyxyxy（1）；（2）2xyyx2xyxyxy已知x，y都是正数，且xy，求证：3证明：（2）x，y都是正数，目标检测目标检测当两条直角边的长度各为10 cm时，两条直角边的和最小，最小值为20则由已知得 50，即ab100，2ab ，当且仅当ab10时取等号220abab已知直角三角形的面积等于50 cm2，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？4解：设直角三角形两边为a，b，1再见再见
