1、第2 2课时函数的最大(小)值课标阐释思维脉络1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.(数学抽象)2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值(或值域).(直观想象)3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.(数学运算)激趣诱思知识点拨科考队对罗布泊“早穿棉袄午穿纱,围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察,如图是某天气温随时间的变化曲线.请根据曲线图说说气温的变化情况?问题1:该天的最高气温和最低气温分别是多少?问题2:设该天某时刻的气温为f(x),则f(x)在哪个范围内变化?问题3:从函数图象上看,气温的最大值(最小值)在什么时刻取得?激趣诱思知识点拨知识点、函数的最
2、大(小)值的定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)xI,都有f(x)M;(2)x0I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值.名师点析(1)M是函数y=f(x)的最大值与f(x)M恒成立,不是等价的,只有定义域内存在x0,使f(x0)=M时,f(x)的最大值才是M.如f(x)=-x2的最大值是0,但f(x)1仍成立,此时1不是其最大值.(2)若y=f(x)在区间a,b上单调递增,则函数y=f(x)的值域是f(a),f(b);若y=f(x)在区间a,b上单调递减,则函数y=f(x)的值域是f(b),f(a).激趣诱思知识点拨微思考类比函数最大
3、值的定义,你能给出函数最小值的定义及其几何意义吗?提示:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:xI,都有f(x)M;x0I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标.激趣诱思知识点拨微练习已知函数f(x)在区间-2,2上的图象如图所示,则该函数的最小值、最大值分别是()A.f(-2),0B.0,2C.f(-2),2D.f(2),2解析:由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用函数的图象求函数的最值利用函数的图象求函数的最值例1已知函数y=
4、-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.分析去绝对值分段函数作图识图结论探究一探究二探究三素养形成当堂检测由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-,2.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 图象法求最值的基本步骤 探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.解:(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用函数的单调性求最利用函数的单调性求最值值(1)判断f(x)在区间1,2上的单调性;
5、(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间1,2上的最值.分析(1)证明单调性的流程:取值作差变形判断符号结论;(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 1.利用单调性求函数最值的一般步骤:(1)判断函数的单调性;(2)利用单调性写出最值.2.函数的最值与单调性的关系:(1)若函数f(x)在区间a,b上单调递增(减),则f(x)在区间a,b上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间a,b上单调递增(减),在区间(b,c上单调递减(增),则f(x)在区间a,c上的最大(小)值是f(b
6、),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.(3)若函数f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,则函数f(x)在区间a,b上一定有最值.(4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究 本例已知条件不变,判断f(x)在区间1,3上的单调性,并求f(x)在区间1,3上的最值.探究一探究二探究三素养形成当堂检测与最值有关的应用问题与最值有关的应用问题例3一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(xN*)件.当x20时,年销售总收入为(33x-x2)
7、万元;当x20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元.(年利润=年销售总收入-年总投资)(1)求y(单位:万元)与x(单位:件)的函数关系式;(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)当020时,y=260-100-x=160-x.(2)当020时,160-x400时,f(x)60 000-10040025 000.当x=300时,f(x)max=25 000,即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25 000元.探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用数形结合思想与分类讨论思想求二
8、次函数的最值利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值典例 求函数y=x2-2ax-1在区间0,2上的最值.分析可变对称轴x=a与定区间0,2的相对位置关系结合单调性与图象求解探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:y=(x-a)2-1-a2.当a0时,0,2是函数的单调递增区间,如图.故函数在x=0处取得最小值-1,在x=2处取得最大值3-4a.当0a1时,结合函数图象(如图)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=2处取得最大值3-4a.探究一探究二探究三素养形成当堂检测当12时,0,2是函数的单调递减区间,如图.函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.综上,当
9、a0时,函数在区间0,2上的最小值为-1,最大值为3-4a;当0a1时,函数在区间0,2上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;当12时,函数在区间0,2上的最小值为3-4a,最大值为-1.探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛 1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图,再根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.探究一探究二探究三素养形成
10、当堂检测2.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a0)在区间m,n上的最值可作如下讨论:探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练函数f(x)=x2-2x+2(其中xt,t+1,tR)的最小值为g(t),求g(t)的表达式.解:由函数f(x)=x2-2x+2知其图象的开口向上,对称轴为x=1.下面分三种情况讨论:当t+11,即t0时,如图所示,此时函数f(x)在区间t,t+1上单调递减,g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1.探究一探究二探究三素养形成当堂检测如图所示,此时,函数f(x)在区间t,1上单调递减,在区间(1,t+1上单调递增,g(t)=f(1)=1
11、.当t1时,如图所示,此时,函数f(x)在t,t+1上单调递增,g(t)=f(t)=t2-2t+2.探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:A 探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.函数y=|x+1|+2的最小值是()A.0B.-1C.2D.3解析:y=|x+1|+2的图象如图所示.由图可知函数的最小值为2.答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.函数y=x2-2x,x0,3的值域为()A.0,3B.-1,0C.-1,+)D.-1,3解析:函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x0,3,当x=1时,函数y取得最小值-1,当x=3时,函数取得最大值3,故函数的值域为-1,3,故选D.答案:D解析:f(x)在区间1,2上单调递增,其最大值为f(2)=10;f(x)在区间-4,1上单调递减,其最大值为f(-4)=11.故函数f(x)的最大值为11.答案:11探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,求这两个正方形面积之和的最小值.
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