(数值积分与微分的MATLAB命令)课件.ppt

1、第第8章章 MATLAB数值积分与微分数值积分与微分8.1 数值积分数值积分8.2 数值微分数值微分 8.1 数值积分数值积分8.1.1 数值积分基本原理数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿法、牛顿柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区方法。它们的基本思想都是将整个积分区间间a,b分成分成n个子区间个子区间xi,xi+1，i=1,2,n，其中其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分。这样求定积分问题就分

2、解为求和问题。解为求和问题。8.1.2 数值积分的实现方法数值积分的实现方法1变步长辛普生法变步长辛普生法(自适应自适应simpson积分法积分法)基于变步长辛普生法，基于变步长辛普生法，MATLAB给出了给出了quad函数函数来求定积分。该函数的调用格式为：来求定积分。该函数的调用格式为：I,n=quad(fname,a,b,tol,trace)其中其中fname是被积函数名。是被积函数名。a和和b分别是定积分的下分别是定积分的下限和上限。限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取用来控制积分精度，缺省时取tol=10e-6。trace控制是否展现积分过程，若取非控制是否展现积分过程，若取非

3、0则展现积分过程，取则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取则不展现，缺省时取trace=0。返回参数。返回参数I即定积分值，即定积分值，n为被积函数的调用次为被积函数的调用次数。数。例例1 求定积分求定积分 (1)建立被积函数文件建立被积函数文件fesin.m。function f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2)调用数值积分函数调用数值积分函数quad求定积分。求定积分。S,n=quad(fesin,0,3*pi)S=0.9008n=7730.50sin()6xexdx例题例题2求定积分求定积分quad(inline(exp(-x.2),-1,1,

4、0.5e-4)或者或者quad(x)exp(-x.2),-1,1,0.5e-4)211xedx2牛顿柯特斯法牛顿柯特斯法基于牛顿柯特斯法，基于牛顿柯特斯法，MATLAB给出了给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式函数来求定积分。该函数的调用格式为：为：I,n=quad8(fname,a,b,tol,trace)其中参数的含义和其中参数的含义和quad函数相似，只是函数相似，只是tol的的缺省值取缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于数明显小于quad函数，从而保证能以更高函数，从

5、而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。的效率求出所需的定积分值。例例3 求定积分。求定积分。(1)被积函数文件被积函数文件fx.m。function f=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x);(2)调用函数调用函数quad8求定积分。求定积分。I=quad8(fx,0,pi)I=2.4674例例4 分别用分别用quad函数和函数和quad8函数求定积分的函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。的调用次数。调用函数调用函数quad求定积分：求定积分：format long;fx=inline(exp

6、(-x);I,n=quad(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254766n=65 调用函数调用函数quad8求定积分：求定积分：format long;fx=inline(exp(-x);I,n=quad8(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254754n=333非函数表达式梯形积分（被积函数由一个表格定义）非函数表达式梯形积分（被积函数由一个表格定义）在在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量函数。其中向量X,Y定义函数关系定义函数关系Y=f(X)。t

7、rapz(X,Y)采用梯形法计算采用梯形法计算Y在在X点上的积分。点上的积分。例例5 用用trapz函数计算定积分。函数计算定积分。命令如下：命令如下：X=1:0.01:2.5;Y=exp(-X);%生成函数关系数据向量生成函数关系数据向量 trapz(X,Y)例例6 x=-1:0.1:1;y=exp(-x.2);trapz(x,y)4.自适应Lobatto方法 quadl命令适用于光滑函数，quadl调用被积函数的次数明显少于quad命令，而且精度比quad函数更高，其调用格式与quad一样I,n=quad(fname,a,b,tol,trace)5.quadgk 对振荡的被积函数最有效，支

8、持无限区间积分（高版本版才有此命令）8.1.3 重积分的数值求解重积分的数值求解使用使用MATLAB提供的提供的dblquad函数函数就可以直接求出上述二重定积分的就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：数值解。该函数的调用格式为：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)该函数求该函数求f(x,y)在在a,bc,d区域上区域上的二重定积分。参数的二重定积分。参数tol，trace的的用法与函数用法与函数quad完全相同。完全相同。例 计算二重积分dblquad(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),-2,2,-1,1)2122212sin()xdyexy dx6.quad2d平面区域二重积分，可以做变上下限积分（高版本版才有此命令）7.triplequad用于计算长方体区域上的三重积分例 计算2210004xyzdyxzedzdydx fun=(x,y,z)4*x.*z.*exp(-x.2-y.*z.2)S=triplequad(fun,0,pi,0,pi,0,1)8.int符号函数积分