中学数学中的历史专题讲解课件.ppt

1、华东师范大学数学系华东师范大学数学系 2004年5月1中中 国国l九章算术九章算术(1(1世纪世纪)方程章：方程章：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆实皆不满不满斗。上取中，中斗。上取中，中取下取下，下取上各，下取上各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何几何？”2l三元一次方程组141312xzzyyx3l九章算术（1世纪）“正负正负术术”：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”l刘徽（3世纪）九章算术注：“今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑。否则

2、以邪正为异。”4希希 腊腊l丢番图（diophantus,3世纪）算术：方程4x+20=4是没有意义的。印印 度度l婆罗摩笈多（Brahmagupta,7世纪）：明确的正负数概念及其四则运算法则。l摩诃毗罗（Mahavira,9世纪）5l婆什迦罗婆什迦罗(Bhaskara)：以直线上的不同方向，或“财产”（assets）与“债务”(debts)来解释正、负数。方程x2-45x=250有两个根：x=50或-5。但他说：“第二个根并不用，因为它是不足的。人们并不支持负根。”“正数和负数的平方为正数；正数的平方根有两个，一正一负。负数没有平方根，因为它不是平方数。”6欧欧 洲洲l斐波纳契斐波纳契（L

3、.Fibonacci,1170?1250?）花朵：方程x+36=33是没有解的，除非第一个人(x)欠债3个硬币；方程组无解，除非第一个人(x1)是欠债的。2141434323215432xxxtxxxtxxxtxxxt7l帕西沃里帕西沃里（L.Pacioli,14451517）在算术、几何、比例与比例性概论（1494）中提出“负负负得正负得正”（minus times minus gives plus），但仅将其用于求 。纯粹的“负量”在其著作中并未出现。dcba8l奥地利德国代数学家鲁道夫鲁道夫（Rudolff）尽管使用了“”和“-”符号，但只知道正数和正根。l德国数学家斯蒂菲尔斯蒂菲尔（M

4、.Stifel,14871567）整数算术称从零中减去一个大于零的数(如0-3)得到的负数“小于小于零零”，即“小于一无所小于一无所有有”，“荒谬荒谬的数的数”。l意大利数学家卡丹卡丹（G.Cardano,15011576）大术：承认方程的负根，并给出简单的法则。9l意大利数学家邦邦贝利贝利（R.Bombelli,15261572）在代数(1572)：(+15)+(-20)=-5l英国数学家哈里奥特哈里奥特（T.Harriot,15601621）偶然地将一个负项置于方程一边。l韦达韦达(F.Vieta,15401603)只知道正数。帕斯卡帕斯卡(B.Pascal,16231662)则认为：从0

5、减去4纯粹是胡说！但吉拉尔吉拉尔（A.Girard,15951632）承认负数。10l最早全面解释和构造、并系统使用负数的是笛卡笛卡儿儿（R.Descartes,15961650），但他称之为“假数”。l沃利斯(J.Wallis)无穷算术（1655）：因为a/0为无穷大（a0），所以a/ba/0（b0,b 0)，则 x=a 或 x=b。如方程3x-x2=2的根为x=1或x=2。对于三次、四次和五次方程，韦达韦达给出了类似的结果。韦达韦达又注意到，若三次方程x3+b=ax(a 0,b 0)有两个正根r1和r2，则有arrrr212221brrrr)(212191l卡约黎卡约黎（F.Cajori,

6、18591930）在初等数学史中评价道：“韦达获得了关于方程的根与系数关系的部分知识，遗憾的是他抛弃了正根之外的所有根，因而未能全面理解根与系数的关系。他最接近的结果是：三次方程 有三个根 u、v、w。对于三次方程，当u、v、w可以取任何数时，这个结论是完美的。但韦达只习惯给字母赋正值，所以，这个结论比它乍看起来所具有的意义要狭窄。”0)()(23uvwxuwvwuvxwvux92阴差阳错阴差阳错l荷兰数学家吉拉尔吉拉尔（A.Girard,15951632）在出版于1629年的代数新发明中第一个给出“韦达韦达定理定理”的正确表述。给定若干个数，吉拉尔将它们的和称为“一次和”（the first

7、 faction），将所有两两乘积的和称为“二次和”（the second faction），将所有三三乘积的和称为“三次和”（the third faction），等等。显然，给定多少个数，就有多少个这样的和。吉拉尔吉拉尔定义了一个和“贾宪贾宪三角三角”（西方称为“帕斯卡帕斯卡三角三角”）一样的“开方三角”，如图1所示。93 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1.图图1吉拉尔的算术三角形吉拉尔的算术三角形94l他给出下面的 Theorem 1 对于n个给定的数，上面定义的诸次和中所含乘积的个数分别对应于“开方三角”的第n行中第二个数以后的各数。如，给定四个数，那么“一次

8、和”含4个乘积，“二次和”含6个乘积，“三次和”含4个乘积，“四次和”含1个乘积。因此，吉拉尔吉拉尔实际上给出了n个数的k次和中所含乘积数为组合数 。knC95l接着，吉拉尔吉拉尔给出一个重要定理，包括今天所说的代数基本定理代数基本定理和韦达韦达定理定理。将n次方程写成 (1)的形式（吉拉尔吉拉尔称之为“交错序”，即将偶次项和奇次项各写在一边，但最高次项系数为1），则吉拉尔吉拉尔的定理相当于说：5533114422nnnnnnxaxaxaxaxax96 Theorem 2 方程(1)有n个根，且所有根的一次和为a1，二次和为a2，三次和为a3，n次和为an。设(1)的n个根分别为xi（i=1，

9、2，n），则有 (一次和)，(二次和)，(三次和)，(n次和)121axxxn213121axxxxxxnn312421321axxxxxxxxxnnnnnaxxx2197l如方程 写成交错序形式为 其四个根（1、2、-3和4）的诸次和分别为4、-7、-34和-24。243474234xxxxxxxx34424732498l吉拉尔吉拉尔指出，为了确定根与系数关系的一般法则，必须把重根和不可能的根（虚根）也计算在内。如四次方程 的四个根为1、1、和 ，诸次和分别为0、0、4、3。344xx212199l吉拉尔吉拉尔另一个重要贡献是提出了方程根的“幂和幂和公式公式”。Theorem 3 若将n次方

10、程写成 (2)的形式，则方程n个根的一次幂和为A，二次幂和为 ，三次幂和为 ，四次幂和为 。4321nnnnnDxCxBxAxxBA22CABA333DBACBAA4244224100l这个结论就是后人所称的“牛顿牛顿幂和幂和公式公式”。但牛顿牛顿发表此结果比吉拉尔吉拉尔迟了近一个世纪！英国学者休顿休顿（C.Hutton,17371832）在数学与哲学辞典中这样评价吉拉尔吉拉尔：“他是第一个知道方程根的和或根的乘积之和与系数关系一般理论的人，也是第一个发现方程根的幂和公式的人”。101l因此，我们通常所说的韦达韦达定理定理竟然是吉拉尔首次完整给出的，而吉拉尔首次发现的幂和幂和公式公式却被命名为

11、“牛顿牛顿幂和幂和公式公式”，真是有点阴差阳错！l与吉拉尔吉拉尔同时代的英国著名数学家哈里奥特哈里奥特（T.Harriot,15601621）也发现了根与系数的关系，他的结论发表在实用分析术(1631)里，但是该书在他去世10年后才得以出版。他将方程看成一次二项因式的乘积，从而认识到当根为正数时方程的根与系数之间的关系。102a +b a-ba +c a-ca +d a-daaa-baa+bca-caa+bda-daa+cda-bcd=0=0=0=0=图图2最早的因式分解最早的因式分解103l图2是他所用方法的一个例子，其中a表示方程的未知数，b、c和d是方程的根。哈里奥特哈里奥特第一个将方程

12、写成一边为0的形式，而且也是第一个将方程左边进行因式分解的人，但他并不接受负根和虚根。l另一位英国数学家奥特雷德奥特雷德（W.Oughtred,15741660）在出版于1631年的著作中也提到了韦达韦达的结论，但并没有作进一步的探讨。104l在接下来的75年里，一直到牛顿牛顿时代，根与系数的关系理论几乎没有取得什么进展。类似于哈里奥特哈里奥特，法国大哲学家和数学家笛卡儿笛卡儿（R.Descartes,15961650）在出版于1637年的方法论第三个附录几何学里，将方程左边分解成未知数与一个根的差构成的一次因式的乘积，后人称之为“笛卡儿笛卡儿因因式定理式定理”。但由于笛卡儿笛卡儿研究方程的目

13、的是解决几何问题，因此他并没有进一步探究根与系数的关系。105l1673年，英国著名数学家沃里斯沃里斯（J.Wallis,16161703）在其代数中，列专章讨论“系数的合成”。他的基本结论是，如果一个方程按降幂形式写出（首项系数为1），那么第二项系数是所有根的和，第三项系数是所有根两两乘积的和，等等（系数与诸和实际上都取绝对值）。这不过重复了吉拉尔吉拉尔的结论。106巨人巨人的的魅力魅力l在历史发展的长河中，牛顿牛顿（I.Newton,16431727）无疑是最伟大的科学家之一，在牛顿牛顿那耀眼的光环下，吉拉尔吉拉尔有关方程根与系数关系的工作似乎显得黯然失色，虽然牛顿牛顿在普遍的算术(170

14、7)中给出和吉拉尔吉拉尔一样的结论已经是近一个世纪之后的事了。l牛顿牛顿将n次方程写成107 (3)并设 p=a，pa+2q=b，pb+qa+3r=c，pc+qb+ra+4s=d，pd+qc+rb+sa+5t=e，pe+qd+rc+sb+ta+6v=f，0654321nnnnnnnvxtxsxrxqxpxx108 则a为所有根的和，b为所有根的平方和、c为立方和、d为四次幂和，e为五次幂和，f为六次幂和，等等。l显然，牛顿牛顿的公式和吉拉尔的结论完全一致，只是吉拉吉拉尔尔分别将奇次项和偶次项置于方程两边，而牛顿将所有项放在方程的一边，从而导致两人得到的各项系数的符号有差异。不过牛顿的公式显得更

15、有规律，根据前面诸次幂和，我们很容易写出高一次的幂和。109l和吉拉尔吉拉尔一样，牛顿牛顿也没有给出这一公式的证明。18世纪，许多数学家对牛顿牛顿幂和幂和公式公式进行了证明，其中最重要的证明是麦克劳林麦克劳林（C.Maclaurin,16981746）和欧拉欧拉（L.Euler,17071783）给出的。因而在18世纪的数学著作中，方程根与系数的关系已经是一个很常见、且易于理解的内容了。110l在牛顿牛顿幂和幂和公式公式的影响下，对称函数开始引起人们的普遍关注。1771年，法国著名数学家范德蒙范德蒙（A.T.Vandermonde,17531796）在他的文章中提出重要的定理：“根的任何有理对

16、称函数都可以用方程的系数表示出来”。他还首次构造了对称函数表。至此，人们对对称函数的兴趣就更加浓厚了，许多著名数学家如华林华林（E.Waring,17341798）、欧拉欧拉、克莱姆克莱姆（G.Cramer,17041752）、拉格朗日拉格朗日（J.L.Lagrange,17361813）、柯西柯西（A.L.Cauchy,17891857）、希尔奇希尔奇111l（M.Hirsch,17651851）等都在对称函数的研究中取得了重要结果。其中拉格朗日拉格朗日在表示对称函数时采用了欧拉欧拉于1755年引入的求和符号；还给出了方程根的负数指数幂和公式。希尔奇希尔奇在其1809年出版的代数著作中证明了

17、牛顿牛顿和范德蒙范德蒙的定理，还构造了直到十次方程根的对称函数表，成为最早广泛传播的对称函数表。112l透过方程的根与系数的关系从发现到完善再到证明所经历的300多年的历史，我们既能看到一个重要的数学发现所经历的各种变迁，又能感受到数学家们在这个艰难的历程中对真理不懈的追求，特别要指出的是：根与系数关系的发现历程是和根的对称函数密不可分的，这大概是数学家对美的追求导致数学发展的一个典型例子吧！113主要参考主要参考文献文献l1 Cajori,F.A History of Elementary Mathematics.New York:The Macmillan Company,1917.l2

18、Funkhouser,H.G.The history of Symmetric functions.Ameirican Mathematical Monthly,1930,37:357-365l3 Hallerberg,A.Historical Topics for the Mathematics Classroom.Washington:NCTM,1969.l4 Kline,M.Mathematical Thought from Ancient to Modern Times.Mew York:Oxford University Presss,1972.l5 Struik,D.J.A Source Book in Mathematics.Princeton:Princeton University Press,1986114115