数学（理）新高考二轮专项复习：随机事件及其概率.docx

1、 1 随机事件及其概率 1了解概率与频率的概念. 2掌握事件、事件的关系与运算. 3掌握互斥、对立、独立事件的概念及概率的计算. 一、一、随机事件及其概率随机事件及其概率 1事件的分类事件的分类 2频率与概率频率与概率 （1）事件的频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出 现的次数 A n为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例( ) A n n fA n 为事件 A 出现的频率. （2）事件的概率：对于给定的随机事件 A,由于事件 A 发生的频率( ) n fA随着试验次数的增加稳定在某 个常数上，把这个常数记作( )P A，

2、称为事件 A 的概率，因此可以用( ) n fA来估计概率( )P A. 注意：注意：频率是事件 A 发生的次数与试验总次数的比值，与试验次数有关.概率是一个确定的数，是客观存 在的,与试验做没做、做多少次完全无关. 2 二、二、事件间的关系及运算事件间的关系及运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生， 这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包 含于事件 B) BA(或 AB) 相等关系 若 BA 且 AB，则事件 A 与事件 B 相 等 AB 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事 件 B 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件

3、(或和事件) AB(或 AB) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事 件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件) AB(或 AB) 互斥事件 若 AB 为不可能事件， 则称事件 A 与事 件 B 互斥 =AB 对立事件 若 AB 为不可能事件，AB 为必然事 件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事 件 =AB 且 =AB U 注意：注意：互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事 件除要求这两个事件不同时发生外，还要求必须有一个发生.因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事 件未必是对立事件. 3 三、三

4、、概率的基本性质概率的基本性质 1 由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在 01 之间,从而任何事件的概率都在 01 之间, 即0( )1P A.必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0. 2当事件 A 与事件 B 互斥时, ()( )( )P ABP AP B，该公式为概率的加法公式.当一个事件包含多 个 结 果 且 各 个 结 果 彼 此 互 斥 时 ， 要 用 到 概 率 加 法 公 式 的 推 广 ， 即 1212 () nn P AAAP AP AP A. 3若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则A B为必然事件,1()P AB .再由加法公式得 1P AP B.

5、考向一 由频率估计随机事件的概率 随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现 一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算事件发生的概率. 典例典例 1 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检查, 检查结果如下表所示: 抽取球数 n 50 100 200 500 1000 2000 优等品数 m 45 92 194 470 954 1902 优等品频率 m n (1)计算表中乒乓球优等品的频率; (2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点

6、后三位) 【解析】(1)依据公式 f= m n ,计算出表中乒乓球优等品的频率依次是 0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951. 4 (2)由(1)知，抽取的球数 n 不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数 0.950 的附 近摆动， 所以质量检查为优等品的概率约为 0.950. 典例典例2 如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结 果如下: 所用时间(分钟) 1020 2030 3040 4050 5060 选择 L1的人数 6 12 18 12 12 选择 L2的人数 0 4 16

7、16 4 (1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率; (2)分别求通过路径 L1和 L2所用时间落在上表中各时间段内的频率; (3)现甲、 乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站, 试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径. 【解析】(1)由题意知共调查了 100 人,其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12+12+16+4=44(人), 用频率估计相应的概率约为 0.44. (2)选择 L1的有 60 人,选择 L2的有 40 人,由调查结果得: 所用时间(分钟) 1020 2030 3040 4050 5060 L1的频率

8、0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 (3)A1,A2分别表示甲选择 L1,L2时,在 40 分钟内赶到火车站; 5 B1,B2分别表示乙选择 L1,L2时,在 50 分钟内赶到火车站. 由(2)知 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6, P(A2)=0.1+0.4=0.5, P(A1)P(A2),甲应选择 L1; P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, P(B2)P(B1),乙应选择 L2. 1 交强险是车主须为机动车购买的险种 若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用 （基

9、本保费） 是a 元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年度车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮 动情况如下表： 类型 浮动因素 浮动比率 1 A 上一年度未发生有责任的道路交通事故 下浮10% 2 A 上两年度未发生有责任的道路交通事故 下浮20 3 A 上三年度未发生有责任的道路交通事故 下浮30 4 A 上一年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 0 5 A 上一年度发生两次及以上有责任不涉及死亡的道路交通事故 上浮10 6 A 上三年度发生有责任涉及死亡的道路交通事故 上浮30 据统计，某地使用某一品牌7座以下的车大约有5000辆，随机抽取了100辆车龄满三年的该品牌同型

10、号 私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格： 类型 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 数量 50 10 10 m 3 2 6 以这100辆该品牌汽车的投保类型的频率视为概率，按照我国机动车交通事故责任保险条例汽车交 强险价格为950a 元. （1）求m的值，并估计该地本年度这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数； （2）试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的概率 考向二 事件间的关系及运算 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，而且事 件的发生与否都是对于同一次试验而言的， 不能在多次试验中判断.

11、具体应用时， 可把所有试验结果写出来， 看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系 典例典例 3 判断下列各对事件是否为互斥事件?是否为对立事件?并说明理由. 已知某医疗诊所的急诊室有 3 名男医生和 2 名女医生,从中任选 2 名去参加医德培训,其中 (1)“恰有 1 名男医生”和“恰有 2 名男医生”; (2)“至少有 1 名男医生”和“至少有 1 名女医生”; (3)“至少有 1 名男医生”和“全是男医生”; (4)“至少有 1 名男医生”和“全是女医生”. 【解析】(1)是互斥事件,但不是对立事件. 理由是:所选的2名医生中,“恰有1名男医生”实质选出的是“1名男医生和1名女医

12、生”,它与“恰有2名男医生” 不可能同时发生,所以是互斥事件,同时,不能保证其中必有一个发生,因为还可能选出“恰有 2 名女医生”,因此 二者不对立. (2)不是互斥事件,也不是对立事件. 理由是:“至少有 1 名男医生”包括“1 名男医生和 1 名女医生”与“2 名都是男医生”,“至少有 1 名女医生”包括“1 名女医生和 1 名男医生”与“2 名都是女医生”,它们共同含有“1 名男医生和 1 名女医生”,能够同时发生,因此不 互斥也不对立. (3)不是互斥事件,也不是对立事件. 理由是:“至少有 1 名男医生”包括“1 名男医生和 1 名女医生”与“2 名都是男医生”,这与“全是男医生”能

13、够同时 发生,因此不互斥也不对立. (4)是互斥事件,也是对立事件. 7 理由是:“至少有 1 名男医生”包括“1 名男医生和 1 名女医生”与“2 名都是男医生”,它与“全是女医生”不可能同 时发生,但其中必有一个发生,故它们既是互斥事件,又是对立事件. 2从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是 A“至少有一个黑球”与“都是黑球” B“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D“至少有一个黑球”与“都是红球” 考向三 概率加法公式的应用 概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”，对于较难判断关系的，必要时可利用 V

14、enn 图或列出全部 的试验结果进行分析 求复杂事件的概率通常有两种方法： （1）将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件； （2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可 考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率. 典例典例4 某花店每天以每枝6元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝12元的价格出售.如果当天卖不 完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. （1）若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,nN)的函数解析式. （2）花店记录了 100 天玫瑰花的

15、日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 (i)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的平均数; (ii)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不 少于 92 元的概率. 8 【解析】（1）当日需求量 n17时,利润 y=6 17=102; 当日需求量17n时,利润 y=12n-102, 所以 y 关于 n 的函数解析式为 y= 12102,17 102,17 nn n (n )N .

16、 （2）(i)这 100 天中有 10 天的日利润为 66 元,20 天的日利润为 78 元,16 天的日利润为 90 元,54 天的日利润 为 102 元, 所以这 100 天的日利润的平均数为 1 (66 1078 2090 16 102 54)91.68 100 . (ii)当天利润不少于 92 元即 12n-10292,即 n17, 所以所求概率 P=0.16+0.15+0.13+0.1=0.54. 典例典例 5 某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示: 年降水量(mm) 100,150) 150,200) 200,250) 250,300 概率 0.10 0.25 0.20 0

17、.12 （1）求年降水量在200,300内的概率; （2）求年降水量在100,250)内的概率. 【解析】（1）记“年降水量在200,250)内”为事件 A,则 P(A)=0.20. 记“年降水量在250,300内”为事件 B,则 P(B)=0.12. 记“年降水量在200,300内”为事件 C,则 C=AB,且事件 A 与事件 B 是互斥事件, 由互斥事件的概率加法公式,得 P(C)=P(A)+P(B)=0.32. 即年降水量在200,300内的概率为 0.32. （2）记“年降水量在100,150)内”为事件 A,则 P(A)=0.10. 记“年降水量在150,200)内”为事件 B,则

18、P(B)=0.25. 记“年降水量在200,250)内”为事件 C,则 P(C)= 0.20. 记“年降水量在100,250)内”为事件 D,则 D=ABC,且事件 A、事件 B、事件 C是互斥事件, 由互斥事件的概率加法公式,得 P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=0.55. 即年降水量在100,250)内的概率为 0.55. 9 3围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为 1 7 ，都是白子的概率是 11 35 ，则从 中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是 A 1 7 B 19 35 C 16 35 D1 4对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示： 分数段 4

19、0，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100 概率 0.02 0.04 0.17 0.36 0.25 0.15 （1）求该班成绩在80，100内的概率； （2）求该班成绩在60，100内的概率 1事件分为必然事件、随机事件和不可能事件，其中随机事件发生的概率的范围是 A() 0 B() 1 C0 () 0;另外一种可能是a,b中至少有一个为 0,即 ab=0. 12 【解析】甲、乙两人进行围棋比赛，所有的可能基本事件有：甲获得胜利、乙获得胜利、甲乙平局，分 23 别记做事件 1 I 、 2 I、 3 I，且 1 I 、 2 I、 3 I为互斥，则“甲获得比赛

20、胜利或者平局”为事件 1 I 、 3 I的和 事件，“乙获得比赛的胜利或者平局”为 2 I、 3 I的和事件， 由互斥事件的和事件概率公式得： 1313 0.7,P AP IIP IP I 2323 0.4P BP IIP IP I， 又 123 1P IP IP I， 1 0.6P I， 2 0.3P I， 3 0.1P I， （1）甲获得比赛胜利的概率为 1 0.6P I； （2）甲、乙两人获得平局的概率为 3 0.1P I. 13 【解析】设任取一张，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为A，B，C，D，它们是 互斥事件. 由条件可得 1 2 P D ， 5 12 P BCP B

21、P C， （1）由对立事件的概率公式知 511 111 12212 P AP BCDP BCP D ， 所以任取一张，中一等奖的概率为 1 12 ； （2） 1 4 P AB，而 P ABP AP B， 111 4126 P B ， 又 5 12 P BCP BP C， 1 4 P C . 所以任取一张，中三等奖的概率为 1 4 . 14 【解析】 （1）设事件“电话响第k声时被接”为Ak kN， 那么事件Ak彼此互斥，设“打进的电话在响 5 声之前被接”为事件A， 根据互斥事件的概率加法公式，得 1234 P AP AAAA 24 1234 P AP AP AP A 0.1 0.20.3 0

22、.350.95. （2） 事件“打进的电话响 4 声而不被接”是事件A“打进的电话在响 5 声之前被接”的对立事件， 记为A. 根据对立事件的概率公式，得 11 0.950.05P AP A . 15 【解析】 （1）因为甲机床为优品的频率为 3282 1005 ， 乙机床为优品的频率约为 2967 10020 ， 所以估计甲、乙两机床为优品的概率分别为2 5, 7 20； （2）甲机床被抽零件每 1 件的平均利润为 1 100 (40 160 + 52 100 8 20) = 114.4元， 所以估计甲机床每生产 1 件零件的利润为 114.4 元， 所以甲机床某天生产 50 件零件的利润为

23、50 114.4 = 5720元. （3）由题意知，甲机床应抽取5 12 30 = 2件，乙机床应抽取5 18 30 = 3件， 记甲机床的 2 个零件为,，乙机床的 3 个零件为,， 若从 5 件中选取 2 件，分别为,，共 10 种取法， 满足条件的共有 3 种，分别为,， 所以这 2 件都是乙机床生产的概率为 3 10 P . 16 【解析】 （1）通过茎叶图可以看出，A选手所得分数的平均值高于B选手所得分数的平均值；A选手所 得分数比较集中，B选手所得分数比较分散 （2）A选手直接晋级的概率更大 用 A C表示事件“A选手直接晋级”， B C表示事件“B选手直接晋级” 由茎叶图得 A

24、P C的估计值为 82 (53)20 205 ， B P C的估计值为 7 (52)20 20 ， 所以，A选手直接晋级的概率更大 1【答案】A 直通高考直通高考 25 【解析】甲不输的概率为 115 . 236 选 A 2 【答案】0.98 【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题 【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为10 0.9720 0.98 10 0.9939.2，其中高 铁个数为1020 1040，所以该站所有高铁平均正点率约为 39.2 0.98 40 【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难

25、 度不大易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与 列车总数的比值 3【解析】旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040） 5=0.62. 因此，事件 A 的概率估计值为 0.62. 4 【解析】 （1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为 40 0.8 50 ， 因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8 女顾客中对该商场服务满意的比率为 30 0.6 50 ， 因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6 5【解析】 （）由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+

26、200+800+510=2000. 第四类电影中获得好评的电影部数是 200 0.25=50， 故所求概率为 50 0.025 2000 . （）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是 140 0.4+50 0.2+300 0.15+200 0.25+800 0.2+510 0.1 =56+10+45+50+160+51 =372. 故所求概率估计为 372 10.814 2000 . 方法二：设“随机选取 1 部电影,这部电影没有获得好评”为事件 B. 没有获得好评的电影共有 140 0.6+50 0.8+300 0.85+200 0.75+800 0.8+510 0.9=1628 部

27、. 由古典概型概率公式得 1628 0.814 2 ) 00 ( 0 P B . （）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率. 26 6【解析】 （1）在容量为 30 的样本中，不下雨的天数是 26， 以频率估计概率，得在 4 月份任取一天，西安市在该天不下雨的概率约为 13 15 . （2）称相邻的两个日期为“互邻日期对”（如 1 日与 2 日，2 日与 3 日等）. 这样，在 4 月份中，前一天为晴天的互邻日期对有 16 个，其中后一天不下雨的有 14 个， 所以晴天的次日不下雨的频率为 7 8 . 以频率估计概率，得运动会期间不下雨的概率约为 7 8 . 7【解析】（1）这种酸

28、奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25， 由表格数据知，最高气温低于 25 的频率为 2 1636 0.6 90 ， 所以，这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为 0.6. （2）当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时， 若最高气温不低于 25，则 Y=6450-4450=900； 若最高气温位于区间 20,25） ，则 Y=6300+2（450-300）-4450=300； 若最高气温低于 20，则 Y=6200+2（450-200）-4450= -100. 所以，Y 的所有可能值为 900,300，-100. Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，

29、由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为 362574 0.8 90 ， 因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8. 8【解析】（1） 27 （2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0.35m3的频率为 0.20.1+10.1+2.60.1+20.05=0.48， 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.35m3的概率的估计值为 0.48 （3）该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为 1 1 (0.05 10.15 30.2520.3540.45 90.55260.65 5)0.48 50 x 该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为 2 1 (0.05 10.15 50.25 130.35 100.45 160.55 5)0.35 50 x 估计使用节水龙头后，一年可节省水 3 (0.480.35)36547.45(m )