数学（理）新高考二轮专项复习： 排列、组合.docx

1、1 排列、组合 1理解加法原理和乘法原理，会解决简单的计数问题. 2理解排列、组合的概念，掌握排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题. 1两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 条 件 完成一件事有两类方案，在第 1 类方案中有 m 种 不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法， 做第 2 步有 n 种不同的方法 结 论 完成这件事共有Nmn种不同的方法 完成这件事共有Nm n种不同的方法 【注意】【注意】区分分类与分步的依据在于“一次性”完成若能“一次性”完成，则不需分步，只需分类；否则 就分步处理 2两个

2、计数原理的区别与联系 原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言 区别一 每类办法都能独立完成这件事， 它是独立的、 一次的，且每次得到的是最后结果，只需一 种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果，任何一步都 不能独立完成这件事，缺少任何一步也不 可，只有各步骤都完成了才能完成这件事 区别二 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的，并且既不能重复 也不能遗漏 2 3排列 （1）排列的定义排列的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出()m mn个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的一

3、个排列. （2）排列数、排列数公式）排列数、排列数公式 从 n 个不同元素中取出()m mn个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 排列数，用符号Am n 表示. 一般地，求排列数Am n 可以按依次填 m 个空位来考虑： 假设有排好顺序的 m 个空位，从 n 个元素 12 , n a aaL中任取 m 个去填空，一个空位填 1 个元素，每一 种填法就对应一个排列，而要完成“这件事”可以分为 m 个步骤来实现. 根据分步乘法计数原理，全部填满 m 个空位共有(1)(2)(1)n nnnmL种填法. 这样，我们就得到公式Am n (1)(2)(1)n nnnmL，其

4、中,m n N，且mn.这个公式叫做排 列数公式. n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列，这时公式中mn，即有 A(1) (2)3 2 1 n n nnn L，就是说，n 个不同元素全部取出的排列数，等于正整数 1 到 n 的连乘积.正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用!n表示.所以 n 个不同元素的全排列数公式可以写 成A! n n n.另外，我们规定0!1. 于是排列数公式写成阶乘的形式为Am n ! ()! n nm ，其中,m n N，且mn. 注意：注意： 排列与排列数是两个不同的概念， 一个排列是指 “按照一定的顺序排成一列” ， 它是具体的

5、一件事， 排列数是指“从 n 个不同元素中取出()m mn个元素的所有不同排列的个数” ，它是一个数. 4组合 （1）组合的定义）组合的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出()m mn个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 个组合. （2）组合数、组合数公式）组合数、组合数公式 3 从 n 个不同元素中取出()m mn个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的组合数，用符号Cm n 表示. A(1)(2)(1) C A! m m n n m m n nnnm m L ，其中,m n N，且mn.这个公式叫做组合数公式. 因为Am n ! (

6、)! n nm ，所以组合数公式还可以写成Cm n ! !()! n m nm ，其中,m n N，且mn. 另外，我们规定 0 C1 n . （3）组合数的性质）组合数的性质 性质 1：CC mn m nn . 性质 1 表明从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合，与剩下的nm个元素的组合是一一对应关系. 性质 2： 1 1 CCC mmm nnn . 性质 2 表明从1n个不同元素中任取 m 个元素的组合，可以分为两类：第 1 类，取出的 m 个元素中不 含某个元素 a 的组合，只需在除去元素 a 的其余 n 个元素中任取 m 个即可，有Cm n 个组合；第 2 类，取 出的 m 个元

7、素中含有某个元素 a 的组合，只需在除去 a 的其余 n 个元素中任取1m个后再取出元素 a 即可，有 1 Cm n 个组合. 考向一 两个计数原理的综合应用 1（1）使用分类加法计数原理遵循的原则： 有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则 （2）应用分类加法计数原理要注意的问题： 明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事 完成这件事的 n 类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再 用到其他的方法 确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属

8、于某一类方案，不同类方案的任 意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏 2应用分步乘法计数原理要注意的问题： 4 （1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件 事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事 （2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事 都不可能完成 （3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤 之间既不能重复也不能遗漏 3（1）利用两个原理解决涂色问题 解决着色问题主要有两种思路：一是按位置考虑，关键是处理好相交线

9、端点的颜色问题；二是按使用颜色 的种数考虑，关键是正确判断颜色的种数 解决此类应用题，一般优先完成彼此相邻的三部分或两部分，再分类完成其余部分要切实做到合理分类， 正确分步，才能正确地解决问题 （2）利用两个原理解决集合问题 解决集合问题时， 常以有特殊要求的集合为标准进行分类， 常用的结论有 123 , n a a aa的子集有2n个， 真子集有21 n 个 典例典例 1 一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如 735,414 等)，那么，这 样的三位数共有 A240 个 B249 个 C285 个 D330 个 【答案】C 【解析】因为十位上的数字既小于百位上的

10、数字也小于个位上的数字， 所以当十位数字是 0 时有 9 9=81 种结果， 当十位数字是 1 时有 8 8=64 种结果， 当十位数字是 2 时有 7 7=49 种结果， 当十位数字是 3 时有 6 6=36 种结果， 当十位数字是 4 时有 5 5=25 种结果， 当十位数字是 5 时有 4 4=16 种结果， 当十位数字是 6 时有 3 3=9 种结果， 5 当十位数字是 7 时有 2 2=4 种结果， 当十位数字是 8 时有 1 种结果， 所以共有 816449362516941=285 种结果 【名师点睛】与两个计数原理有关问题的常见类型及解题策略： (1)与数字有关的问题可分类解决

11、，每类中又可分步完成，也可以直接分步解决 (2)与几何有关的问题可先分类，再分步解决 (3)涂色问题可按颜色的种数分类完成，也可以按不同的区域分步完成 1高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级 要去，则不同的参观方案有 A16 种 B18 种 C37 种 D48 种 考向考向二二 排列数公式和组合数公式的应用排列数公式和组合数公式的应用 A C A m m n n m m 这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系， 也可以用这个关系去加强对公式的记忆.每个公 式都有相应的连乘形式和阶乘形式，连乘形式多用于数字计算，阶乘形式多用于对含有字母的

12、排列数或者 组合数进行变形或证明. 典例典例 2 求下列方程中的 值. （1） : . （2） 8 4 9 ; . 【解析】（1）由 : 得 ( )( ) ( ) ( ). 且 , ( )( ) ( ) ( )， 化简整理得 ， 6 解得 (舍去). . （2）由 8 4 9 ; 得 3 8!4 9! 8!10!xx ， 即 3 8!4 9 8! 8!1098!xxxx ，化简得 , 解得 . 且 , 原方程的解是 . 【名师点睛】在解与排列数有关的方程或不等式时，应先求出未知数的取值范围，再利用排列数公式化简 方程或不等式，最后得出问题的解. 2计算： （1） 2973 100100101

13、CCA； （2） 333 3410 CCC. 3（1）解方程： 23 99 CC xx x N（）； （2）解不等式： 1 99 A6A xx x N（）. 考向考向三三 排列问题的求解排列问题的求解 解决排列问题的主要方法有： （1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特 殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置. （2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆 绑元素的内部排列. （3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再

14、将不相邻的元素插在前面 元素排列的空当中. 7 （4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列. （5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”. 典例典例 3 有8本互不相同的书，其中数学书3本，英语书3本，语文书2本，若将这些书排成一列放在书架 上，则数学书恰好排在一起，英语书也恰好排在一起的排法共有_种.（用数值回答） 【答案】864 【解析】由于数学书恰好排在一起，英语书也恰好排在一起，则将数学书捆绑成一个大元素，英语书也捆 绑成一个大元素，与两本语文书形成四个元素， 因此，所有的排法种数为 433 433 A A A864种. 故答案为8

15、64. 4用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数有 A144 个 B120 个 C96 个 D72 个 5来自高一、高二、高三的铅球裁判员各两名，执行一号、二号和三号场地的铅球裁判工作，每个场地由 两名来自不同年级的裁判组成，则不同的安排方案共有_种. 考向考向四四 组合问题的求解组合问题的求解 组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可用 间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少”“至多”等 关键词的含义，做到不重不漏. 典例典例 4 某学校为了迎接市春季

16、运动会，从 5 名男生和 4 名女生组成的田径运动队中选出 4 人参加比赛，要 求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为 8 A85 B86 C91 D90 【答案】B 【解析】方法一（直接法）:由题意，可分三类考虑： 第 1 类，男生甲入选,女生乙不入选: 12213 34343 C CC CC31; 第 2 类，男生甲不入选,女生乙入选: 12213 43434 C CC CC34. 第 3 类，男生甲入选,女生乙入选: 2112 3434 CC CC21. 男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为 31+34+21=86. 方法二（间接法）:从 5 名男生和 4

17、 名女生中任意选出 4 人，男、女生都有的选法有 444 954 CCC120 种； 男、女生都有，且男生甲与女生乙都没有入选的方法有 44 74 CC34种， 男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为 12034=86. 故选 B. 6教育部选派 3 名中文教师到外国任教中文，有 4 个国家可供选择，每名教师随机选择一个国家，则恰有 2 名教师选择同一个国家的概率为 A 3 8 B 4 9 C 9 16 D 9 32 7某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘 2 名，乙单位招聘 2 名，丙单位招聘 1 名，并且 甲单位要至少招聘一名男生，现有 3 男 3 女参加三所单位的招聘，

18、则不同的录取方案种数为 A36 B72 C108 D144 考向考向五五 排列与组合的综合应用排列与组合的综合应用 先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需要用三步即可完成. 第一步：选元素，即选出符合条件的元素; 9 第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列; 第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数. 典例典例 5 有甲、乙、丙 3 项任务，任务甲需要 2 人承担，任务乙、丙各需要 1 人承担，从 10 人中选派 4 人承 担这 3 项任务，不同的选法共有_种(用数字作答). 【答案】2520 【解析】方法一：先从 10

19、人中选出 2 人承担任务甲,再从余下 8 人中选出 1 人承担任务乙,最后从剩下的 7 人中选出 1 人承担任务丙. 根据分步乘法计数原理，不同的选法共有 211 1087 C C C2520种. 方法二：先从 10 人中选出 2 人承担任务甲,再从余下 8 人中选出 2 人分别承担任务乙、丙. 根据分步乘法计数原理，不同的选法共有 22 108 C A2520种. 8某公司有五个不同部门，现有 4 名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门 安排两名，则不同的安排方案种数为 A40 B60 C120 D240 92019 北京世园会期间，安排 5 名志愿者到 3 个展区提

20、供服务，每个展区至少一名志愿者，不同的安排方 案共有_种. 1已知 n， * mN，n m，下面哪一个等式是恒成立的 A ! C ! m n n m B ! ()! Am n n nm 10 C 11 1 CCC mmm nnn D 11 1 CCC mmm nnn 2 四大名著是中国文学史上的经典作品， 是世界宝贵的文化遗产.在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中， 甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著红楼梦 、 三国演义 、 水浒传 、 西 游记 （每种名著至少有 5 本） ，若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为 A 5 4 B 4 5 C 4 5 C D 4 5

21、 A 3有 6 名学生，其中有 3 名会唱歌，2 名会跳舞，1 名既会唱歌又会跳舞，现从中选出 2 名会唱歌的，1 名会跳舞的，去参加文艺演出，则所有不同的选法种数为 A18 B15 C16 D25 4若 22 2 C A42 n ，则 ! 3!4 ! n n 的值为 A60 B70 C120 D140 5如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“伪豹子数”，那么在由1，2，3，4，5五个数 字组成的有重复数字的四位数中，“伪豹子数”共有（ ）个. A16 B12 C28 D20 6某中学从 4 名男生和 4 名女生中推荐 4 人参加社会公益活动，若选出的 4 人中既有男生又有女生，则

22、不 同的选法共有 A68 种 B70 种 C240 种 D280 种 7六安一中高三教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼 25 层的某一层楼上课，则满足且仅有 一人上 5 楼上课，且甲不在 2 楼上课的所有可能的情况有（ ）种. A27 B81 C54 D108 8如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有 5 种颜色 可供使用，则不同的染色方法种数是 11 A420 B210 C70 D35 9 某台小型晚会由 6 个节目组成， 演出顺序有如下要求： 节目甲必须排在前两位， 节目乙不能排在第一位， 节目丙必须排在最后一位该台晚会节目演出顺序的编

23、排方案共有 A36 种 B42 种 C48 种 D54 种 104 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 为 A 8 1 B 8 3 C 8 5 D 8 7 11 年平昌冬奥会期间， 名运动员从左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排 甲，则不同的排法种数为 A B C4 D 4 12将 4 名志愿者分别安排到火车站、轮渡码头、机场工作，要求每一个地方至少安排一名志愿者，其中 甲、乙两名志愿者不安排在同一个地方工作，则不同的安排方法共有 A24 种 B30 种 C32 种 D36 种 13 岳阳高铁站 进站口有 3 个闸机检票

24、通道口， 高考完后某班 3 个同学从该进站口检票进站到外地旅游， 如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不 同的进站方式，那么这 3 个同学的不同进站方式有（ ）种. A24 B36 C42 D60 14从0、1、2、3、4中取3个不同的数组成一个三位数，且这个数大于200，则可组成_个不 同的三位数 12 15某地环保部门召集 6 家企业的负责人座谈，其中甲企业有 2 人到会，其余 5 家企业各有 1 人到会，会 上有 3 人发言，则发言的 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的总数为_ 16在某足球赛现场,从两队的球迷中各选三名,排成一排照

25、相,要求同一队的球迷不能相邻,则不同的排法种 数为_.(用数字作答) 17在我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的数表，表中除 1 以外 的每一个数都等于它“肩上”两个数之和.利用这一性质，C6 _，C7 4 _ （用数字作 答） 18计算： （1） 4 44 7 54 3 5 A 2AA A _； （2）已知 53 13 3 3 CC19 C5 nn n ，则n _ 19生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育 体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开

26、展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安 排的概率为_. 20 2018 年 6 月份上合峰会在青岛召开,面向高校招募志愿者,中国海洋大学海洋环境学院的 8 名同学符合招 募条件并审核通过,其中大一、大二、大三、大四每个年级各 2 名.若将这 8 名同学分成甲、乙两个小组, 每组 4 名同学,其中大一的两名同学必须分到同一组,则分到乙组的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自于同 一年级的分组方式共有_种 21已知 5 名同学站成一排，要求甲站在中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为m. （1）求m的值； （2）求 3 4

27、2 m x x 的展开式中的常数项. 13 22 （1）若 22 4 A7A nn , * nN,求n的值； （2） 2222 34510 CCCC求的值(用数字作答). 23有 2 名老师，3 名男生，3 名女生站成一排照相留念，在下列情况中，各有多少种不同站法？ （1）3 名男生必须站在一起； （2）2 名老师不能相邻； （3）若 3 名女生身高都不等，从左到右女生必须由高到矮的顺序站 （最终结果用数字表示） 14 24如图，一个正方形花圃被分成 5 份. （1）若给这 5 个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿 4 种颜色 不同的花，求有多少种不同的种植方法

28、? （2）若向这 5 个部分放入 7 个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法? 1（2019 新课标全国理科）我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列 的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该 重卦恰有 3 个阳爻的概率是 15 A 5 16 B 11 32 C 21 32 D 11 16 2（2018 新课标全国理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴 赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723在不超过 30 的素数中，随 机选取两个不同的数，其

29、和等于 30 的概率是 A 1 12 B 1 14 C 1 15 D 1 18 3 （2017 新课标全国理科）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成， 则不同的安排方式共有 A12 种 B18 种 C24 种 D36 种 4(2016 新课标全国理科)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老 年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A24 B18 C12 D9 5（2018 新课标全国理科）从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则 不同的选法共有_

30、种 （用数字填写答案） 6（2018 江苏）某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女 生的概率为 7 （2018 浙江） 从 1， 3， 5， 7， 9 中任取 2 个数字， 从 0， 2， 4， 6 中任取 2 个数字， 一共可以组成_ 个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 8 （2017 浙江理科） 从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人， 副队长 1 人， 普通队员 2 人组成 4 人服务队， 16 要求服务队中至少有 1 名女生，共有_种不同的选法（用数字作答） 9 （2017 天津理科）用数字 1，2，3，4，5，6

31、，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的 四位数，这样的四位数一共有_个 （用数字作答） 1【答案】C 【解析】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有 4 种选择，共有4 4 4 4种情况， 其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有 3 种选择，共有 种方案, 则符合条件的有 4 种. 故选 C 【名师点睛】本题主要考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用问题，合理选择计数原理 是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 2 【解析】 （1）原式 23333 100100101101101 CCACA 3 33 101 1013 3

32、3 A1 A1 A A6 . （2）原式 43333 44510510 4 CCCCCC 433434 6610101011 CCCCCC330. 3 【解析】 （1）因为 23 99 CC xx ，所以23xx或239xx ， 解得3x 或4;x （2） 1 99 A6A xx ， 9!6 9! 9!91 !xx ， 整理得106x，即4x ， 由 1 1 9 x x ，得92x，则24x， 而xN，故2x 或3 故原不等式的解集为2,3 变式拓展变式拓展 17 4【答案】B 【解析】由题意可得,比 40000 大的五位数的万位只能是 4 或 5. 当万位是 4 时,由于该五位数是偶数,个位

33、只能从 0 或 2 中任选一个,有两种情况,其余三位数字从剩下的 四个数中任选三个进行全排列,故有 4 种情况; 当万位是 5 时,由于该五位数是偶数,个位只能从 0、2 或 4 中任选一个,有三种情况,其余三位数字从剩下 的四个数中任选三个进行全排列,故有 4 种情况. 综上,满足题意的数共有 4 4 (个) 故选 B 5 【答案】48 【解析】第一步，将 6 个裁判分为 3 组，由于每个场地的裁判来自不同的年级，只能分为高一，高二； 高一，高三；高二，高三这样三组，共有2 2 28 种分组方法； 第二步，将分好的三组裁判安排到不同的三块场地，共有 3 3 A6种不同的安排方法， 由分步乘法

34、计数原理知，不同的安排方法共4868种. 故答案为 48. 6 【答案】C 【解析】3 名教师每人有 4 种选择，共有 3 4种可能， 恰有 2 人选择同一国家共有 211 343 C C C36种可能， 则所求概率 211 343 3 C C C3 4 39 44 4 416 P ，故选 C. 7 【答案】D 【解析】根据题意，分 3 步进行分析： 单位甲在 6 人中任选 2 人招聘，要求至少招聘一名男生，有 22 63 CC12种情况， 单位乙在剩下的 4 人中任选 2 人招聘，有 2 4 C6种情况， 单位丙在剩下的 2 人中任选 1 人招聘，有 1 2 C2种情况， 则有1262144

35、种不同的招聘方案. 故选 D. 8 【答案】B 【解析】此问题可分为两步求解，第一步将四名大学生分为两组，由于分法为 2，2，考虑到重复一半， 18 故分组方案应为 2 4 1 C 2 种， 第二步将此两组大学生分到 5 个部门中的两个部门中，不同的安排方式有 2 5 A种， 故不同的安排方案有 22 45 1 C A60 2 种 故选 B 9 【答案】150 【解析】第 1 类，5 人分成 3 人一组，其他 2 人各一组，共有分法 3 5 C种，安排到 3 个展区有 33 53 CA60 种； 第 2 类，分成 2 人，2 人，1 人三组，共有分法 22 53 2 2 C C A 种，安排到

36、 3 个展区有 22 3 53 3 2 2 C C A90 A 种， 根据分类加法原理，共有6090150种安排方法.故填 150. 1 【答案】B 【解析】由组合数的定义可知 ! ! C ! m n n m nm ，A 选项错误； 由排列数的定义可知 ! A ! m n n nm ，B 选项正确； 由组合数的性质可知 11 1 CCC rrr nnn ，则 C、D 选项均错误.故选 B 2 【答案】A 【解析】 对于甲来说， 有 4 种借阅可能， 同理每人都有 4 种借阅可能， 根据乘法原理， 故共有 5 4种可能， 答案为 A 3 【答案】B 【解析】4名会唱歌的从中选出两个有 2 4 C

37、6种，3名会跳舞的选出1名有3种选法，但其中既会唱歌又 会跳舞的有一个，两组不能同时用他，共有3 6 315 种，故选 B 4 【答案】D 【解析】 22 2 1 C A422 1 2 n n n ，7n， 考点冲关考点冲关 19 !7!7 6 5 4 140 3!4 !3! 3!3 2 1 n n ，故选 D 5 【答案】A 【解析】相同数不为 1 时，四位数的个位数是 1，其他 3 个相同的数可能是 2,3,4,5，共 4 种； 相同数为 1 时， 四位数的个位数是 1， 在 2,3,4,5 中选一个数放在十位或百位或千位上， 共有 11 43 CC12 种，则共有4+12=16种.故选

38、A. 6 【答案】A 【解析】从 8个人中选 4人共C8 4种选法，只有男生（或女生）的选法有 C44种，所以既有男生又有女生的 选法有C8 4 68种故选 A 7 【答案】B 【解析】甲在五楼有 种情况， 甲不在五楼且不在二楼有C C 4种情况， 由分类加法计数原理知共有 4 种不同的情况. 故选 B 8 【答案】A 【解析】按照SABCD的顺序： 当AC相同时：染色方案为5 4 3 1 3 180 ； 当AC不同时：染色方案为5 4 3 2 2240 . 不同的染色方案为420种. 故答案为 A. 9 【答案】B 【解析】分以下两种情况讨论： 一是甲排在第一位，丙排在最后一位，则乙可在中间

39、四个位置任选一个来放置，有C4 4种； 二是甲排在第二位，丙排在最后一位，则乙可在中间三个位置任选一个来放置，有C 种. 综上所述，由分类计数原理可知，共有 4 4 种编排方案，故选 B 【名师点睛】解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手 (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； 20 (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决 1

40、0【答案】D 【解析】由已知，4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有 4 216种不同的结果， 而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况： （1）一天一人，另一天三人，有 12 42 C A8种不同的结果； （2）周六、周日各 2 人，有 2 4 C6种不同的结果， 故周六、周日都有同学参加公益活动有8614种不同的结果， 所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为14 7 168 ，选 D 11 【答案】C 【解析】根据题意，最左端只能排甲或乙，则分两种情况讨论： 最左边排甲，则剩下 4 人进行全排列，有 4 4 4种安排方法； 最左边排乙，则先在剩下的除最右边的

41、3 个位置选一个安排甲，有 3 种情况， 再将剩下的 3 人全排列，有 种情况，此时有 种安排方法， 则不同的排法种数为 4 4 种.故选 C 12 【答案】B 【解析】先考虑安排4人到三个地方工作，先将4人分为三组，分组有C4 种，再将这三组安排到三个地方 工作，则安排4人到三个地方工作的安排方法数为 C4 种， 当甲、乙两名志愿者安排在同一个地方时，则只有一个分组情况，此时，甲、乙两名志愿者安排在同一 个地方工作的安排方法数为 ， 因此，所求的不同安排方法数为 种，故选 B. 13 【答案】D 【解析】若三名同学从 3 个不同的检票通道口进站，则有 种； 若三名同学从 2 个不同的检票通道

42、口进站，则有C C 种； 若三名同学从 1 个不同的检票通道口进站，则有C 种. 综上，这 3 个同学的不同进站方式有 种，选 D 14 【答案】36 【解析】由于三位数比200大，则三位数首位为2、3、4中的某个数，十位数和个位数没有限制， 因此，符合条件的三位数的个数为 12 34 C A3 1236 ，故答案为36. 21 15 【答案】30 【解析】 （1）当发言的 3 人有来自甲企业，则共有 12 25 CC20种可能情况； （2）当发言的 3 人没有来自甲企业，则共有 3 5 C10种可能情况， 所以可能情况的总数为201030种. 16【答案】72 【解析】由于要求同一队的球迷不

43、能相邻,故可利用插空法求出不同的排法种数. 可分两步: 第一步,同一队的 3 名球迷不同的排法有 =6(种); 第二步,由于要求同一队的球迷不能相邻,所以另一队的 3 名球迷必须插入首、尾中的任一个空以及中间 的两个空中,不同的排法有C =12(种), 由分步乘法计数原理,可得不同的排法种数为 6 12=72. 17 【答案】20，35 【解析】 323434 655766 CCC10 1020,CCC20+15=35. 故填 20，35. 18 【答案】 （1）230； （2）9 【解析】 （1） 4 44 7 54 3 5 A7 6 5 4 2AA2 5 4 3 24 3 2 1230 A

44、5 4 3 （2）由 53 13 3 3 CC19 C5 nn n 可得 5 1 3 3 C19 1 C5 n n ，即 5 1 3 3 C14 C5 n n ，即 53 13 14 CC 5 nn ， 所以 1234534514 5!53! nnnnnnnn ， 化简可得 2 3540nn，解得9n（负值舍去） 19 【答案】 13 60 【解析】由题意，对六艺“礼、乐、射、御、书、数”进行全排列，基本事件的总数为 6 6 A720种， 满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排包含的基本事件个数： 当第一节是“数”，共有 32 34 A A72种不同的排法； 当第二节是“数”，共

45、有 5123 5323 AC A A84种不同的排法， 22 所以满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为 728413 72060 P . 【名师点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答 中合理分类求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 20 【答案】24 【解析】根据题意，第一类：大一的两名同学在乙组，乙组剩下的两个来自不同的年级，从三个年级中 选两个为C 种，然后分别从选择的年级中再选择一个学生为C C 4种，故有 4 种； 第二类： 大一的两名同学不在乙组， 则从剩下的三个年级中选择一个年级的两

46、名同学在乙组， 为C 种， 然后再从剩下的两个年级中分别选择一人为C C 4种，这时共有 4 种. 根据分类计数原理得，共有 4种不同的分组方式. 21 【解析】 （1）所有不同的排法种数 13 23 C A12m . （2）由（1）知， 3 9 4 22 m xx xx ， 9 2 x x 的展开式的通项公式为 9 3 2 19 C2 r rr r Tx ， 令 93 0 2 r ，解得3r=， 展开式中的常数项为 33 9 2C672. 22 【解析】 （1）由题意得(1)7(4)( 5)n nnn，即： 2 331700nn， 解得7n或 10 3 n （舍去） ， 则7n . （2） 2222 34510 CCC