2020年福建省泉州市高考数学一模试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 22 页） 2020 年福建省泉州市高考数学一模试卷（理科）年福建省泉州市高考数学一模试卷（理科） 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 2 |30Ax xx， |2 0Bx x ，则()( R AB ) A |02xx B |02xx C |23xx D |03xx 2 （5 分）设复数 2 (1) 12 i z i ，则| (z ) A 10 5 B 2 5 C 2 5 5 D 4

2、 3 3 （5 分）如图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度(/)mg ml的变化情况，其中点 i A的横 坐标表示服用第i种药后血药浓度达峰（最高浓度）时间，其它点的横坐标分别表示服用三 种新药后血药浓度首次降到峰值一半时所用的时间（单位：)h，点 i A的纵坐标表示第i种药 的血药浓度的峰值(1i ，2，3)记 i V为服用第i种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提 高的平均速度，记 i T为服用第i种药后血药浓度从峰值首次降到峰值的一半所用的时间，则 1 V， 2 V， 3 V中最小的， 1 T， 2 T， 3 T中最大的分别是( ) A 2 V， 3 T B 2 V， 2 T C 1 V，

3、 3 T D 1 V， 2 T 4 （5 分）已知 n a是公差为 3 的等差数列若 1 a， 2 a， 4 a成等比数列，则 n a的前 10 项 和 10 (S ) A165 B138 C60 D30 5 （5 分）若 52345 012345 (21)(1)(1)(1)(1)(1)xaa xa xa xa xa x，则 4 (a ) A10 B10 C80 D80 6 （5 分）已知函数( )f x满足(2)()fxfx，且当1x 时， 3 ( )f xx，则( )f x的图象在 第 2 页（共 22 页） (0，(0)f处的切线方程为( ) A128yx B128yx C128yx D

4、128yx 7 （5 分）已知函数 | 2,0, ( ) 32 ,0 x xbx f x b x 若( )f x在实数集上为增函数，则常数b满足( ) A0b B0b C01b剟 D1b 8 （5 分）如图，网格纸上每个小正方形的边长均为 1，粗线画出的是某棱锥的三视图，则 该棱锥的体积为( ) A 3 2 B3 C 2 3 D 4 3 9 （5 分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公 式：设ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积” 公式为 222 222 1 () 42 acb Sa c 若 2 sin sin5 Cc A

5、 ，且()()40abc abc ，则利用 “三斜求积”公式可得ABC的面积(S ) A 3 2 B2 C4 D3 10 （5 分）已知双曲线 22 22 :1( ,0) xy Ea b ab ，斜率为 1 8 的直线与E的左右两支分别交于 A，B两点， 点P的坐标为( 1,2)， 直线AP交E于另一点C， 直线BP交E于另一点D 若 直线CD的斜率为 1 8 ，则E的离心率为( ) A 6 2 B 3 2 C 5 2 D 5 2 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多

6、项符合题目要求不选或选出的选项中含有错误选项得多项符合题目要求不选或选出的选项中含有错误选项得 0 分，只选出部分正确选项得分，只选出部分正确选项得 3 第 3 页（共 22 页） 分，选出全部正确选项得分，选出全部正确选项得 5 分分 11 （5 分）如图，一个水轮的半径为6m，水轮轴心O距离水面的高度为3m，已知水轮按 逆时针匀速转动，每分钟转动 5 圈，当水轮上点P从水中浮现时的起始（图中点 0) P开始计 时，记( )f t为点P距离水面的高度关于时间( )t s的函数，则下列结论正确的是( ) Af（3）9 Bf（1）f（7） C若( ) 6f t ，则2 12tk，5 12 ()k

7、 kN D不论t为何值，( )(4)(8)f tf tf t是定值 12 （5 分）已知( )f x是定义在R上的奇函数，(1)(1)fxfx若f（1）1，则( ) A( )f x是周期函数 B当n为偶数时，( )0f n Cf（1） 2 2 f（2） 2 3 f（3） 2 6 f（6）1 Df（1） 2 2 f（2） 2 3 f（3） 22 (42)(42)881nfnnn 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.将答案填在答题卡的相应位置将答案填在答题卡的相应位置 13 （5 分）已知向量(1,1)a ，(2,1)b ，若()(

8、)abab，则实数的值为 14 （5 分）已知数列 n a的各项均为正数，且 2 *1 1 6() n nn n a aanN a ，则 47 25 aa aa 15 （5 分）已知 2 :2(0)C ypx p的准线l与x轴交于点A，点B，P在C上，ABF是面 积为 2 的等腰直角三角形，则C的方程为 ， | | PF PA 的最小值为 16（5 分） 已知三棱锥PABC中， 平面PAB 平面ABC，30PAB，6AB ，3 3PA ， 10CACB设直线PC与平面ABC所成的角为，则tan的最大值为 第 4 页（共 22 页） 四、解答题：共四、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明

9、过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）如图，已知在平面四边形ABCD中，CAB，ABC，ACB，且 cos (sinsin )sin (2coscos ) （1）证明：2CACBAB； （2）若CACB，21DADC，求四边形ABCD的面积的取值范围 18 （12 分） 如图， 正三棱柱 111 ABCABC的所有棱长都为 4，D是AC的中点，E在 1

10、1 AC边 上， 11 3ECAE （1）证明：平面 1 BC D 平面 11 ACC A； （2）设侧面 11 ABB A上的动点F，满足/ /EF平面 1 BC D 在图形中作出点F的轨迹草图，并指出该轨迹的形状（不需要说明理由） ； 求二面角 1 CBDF的余弦值的最大值 19 （12 分）设椭圆 22 :1 43 xy C的右焦点为F，过F的直线l与C相交于A，B两点 （1）若2AFFB，求l的方程； （2） 设过点A作x轴的垂线交C于另一点P， 若M是PAB的外心， 证明：| | | AB MF 为定值 20 （12 分）某游戏棋盘上标有第 0，1，2，100 站，棋子开始位于第 0

11、 站，选手抛掷 第 5 页（共 22 页） 均匀骰子进行游戏，若掷出骰子向上的点数不大于 4，棋子向前跳出一站；否则，棋子向前 跳出两站，直到跳到第 99 站或第 100 站时，游戏结束设游戏过程中棋子出现在第n站的 概率为 n P （1） 当游戏开始时， 若抛掷均匀骰子 3 次后， 求棋子所走站数之和X的分布列与数学期望； （2）证明： 11 11 (198) 33 nnnn PPPPn 剟； （3） 若最终棋子落在第 99 站， 则记选手落败， 若最终棋子落在第 100 站， 则记选手获胜 请 分析这个游戏是否公平 21 （12 分）已知函数( ) x ax f xxlnx e （1）当1

12、a时，讨论( )f x的极值点个数； （2）若0x 时，( )f xe，求a的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线 1 l的参数方程为 4,(xt t ykt 为参数） ，直线 2 l的 普通方程为 1 yx k ，设 1 l与 2 l的交点为P，当k变化时，记点P的轨迹为曲线C以O为 极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求C的极坐标方程；

13、 （2）已知点A，B在C上， 4 AOB ，求AOB的面积的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知关于x的不等式|2|32|1|xxa x的解集为R （1）求a的最大值m； （2）在（1）的条件下，若1p ，且22pqpqm，求pq的最小值 第 6 页（共 22 页） 2020 年福建省泉州市高考数学一模试卷（理科）年福建省泉州市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项

14、是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 2 |30Ax xx， |2 0Bx x ，则()( R AB ) A |02xx B |02xx C |23xx D |03xx 【解答】解： 2 |30(0,3)Ax xx， (,2) RB ， 则()(0 R AB ，2)， 故选：B 2 （5 分）设复数 2 (1) 12 i z i ，则| (z ) A 10 5 B 2 5 C 2 5 5 D 4 3 【解答】解：复数 22 (1)1222 (12 )4242 121212(12 )(12 )555 iiiiiii zi iiiii ， 22 422 5 |()( )

15、555 z ， 故选：C 3 （5 分）如图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度(/)mg ml的变化情况，其中点 i A的横 坐标表示服用第i种药后血药浓度达峰（最高浓度）时间，其它点的横坐标分别表示服用三 种新药后血药浓度首次降到峰值一半时所用的时间（单位：)h，点 i A的纵坐标表示第i种药 的血药浓度的峰值(1i ，2，3)记 i V为服用第i种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提 高的平均速度，记 i T为服用第i种药后血药浓度从峰值首次降到峰值的一半所用的时间，则 1 V， 2 V， 3 V中最小的， 1 T， 2 T， 3 T中最大的分别是( ) 第 7 页（共 22 页） A 2

16、V， 3 T B 2 V， 2 T C 1 V， 3 T D 1 V， 2 T 【解答】解：由图可知，第一种新药在最短时间内达到峰值，且峰值最大， 则服用第一种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度 1 V最大； 服用第三种新药后血药浓度达到峰所有时间最长， 则服用第 3 种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间 3 T最大 故选：C 4 （5 分）已知 n a是公差为 3 的等差数列若 1 a， 2 a， 4 a成等比数列，则 n a的前 10 项 和 10 (S ) A165 B138 C60 D30 【解答】解： n a是公差d为 3 的等差数列，若 1 a， 2 a， 4

17、a成等比数列， 则 2 142 a aa，即 2 111 (9)(3)a aa， 解得 1 3a ， 又3d ，可得 101 1 1010930453165 2 Sad 故选：A 5 （5 分）若 52345 012345 (21)(1)(1)(1)(1)(1)xaa xa xa xa xa x，则 4 (a ) A10 B10 C80 D80 【解答】解： 55345 01245 (21) 12(1)(1)(1)(1)(1)xxaa xa xa xa x ， 则 44 45 280a ， 故选：D 6 （5 分）已知函数( )f x满足(2)()fxfx，且当1x 时， 3 ( )f xx，

18、则( )f x的图象在 (0，(0)f处的切线方程为( ) A128yx B128yx C128yx D128yx 【解答】解：由题意，可知 当1x 时，21x，令21tx，则2xt， 第 8 页（共 22 页） 3 ( )(2)(2)f xftt， 3 ( )(2)(2)f tftt， 当1x 时， 3 ( )(2)f xx 2 ( )3(2)fxx 则 3 (0)(20)8f， 2 (0)3(20)12f ( )f x的图象在(0，(0)f处的切线方程为812yx ， 即128yx 故选：B 7 （5 分）已知函数 | 2,0, ( ) 32 ,0 x xbx f x b x 若( )f

19、x在实数集上为增函数，则常数b满足( ) A0b B0b C01b剟 D1b 【解答】解：函数 | 2,0, ( ) 32 ,0 x xbx f x b x ， 若( )f x在实数集上为增函数， 可得 0 0 232 b bb ，解得0b，1 故选：C 8 （5 分）如图，网格纸上每个小正方形的边长均为 1，粗线画出的是某棱锥的三视图，则 该棱锥的体积为( ) A 3 2 B3 C 2 3 D 4 3 第 9 页（共 22 页） 【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥PABC， 把该三棱锥放入棱长为 3 的正方体中，如图所示； 则该三棱锥的体积为 1113 1 3 3 3322 ABC

20、VSh 故选：A 9 （5 分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公 式：设ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积” 公式为 222 222 1 () 42 acb Sa c 若 2 sin sin5 Cc A ，且()()40abc abc ，则利用 “三斜求积”公式可得ABC的面积(S ) A 3 2 B2 C4 D3 【解答】解：由 2 sin sin5 Cc A ，结合正弦定理可得， 2 5 cc a 即5ac ， ()()40abc abc， 整理可得， 222 240acbac即 222 6acb， 则利用“三斜求

21、积”公式可得ABC的面积 222 222 11 () 2592 422 acb Sa c 故选：B 10 （5 分）已知双曲线 22 22 :1( ,0) xy Ea b ab ，斜率为 1 8 的直线与E的左右两支分别交于 A，B两点， 点P的坐标为( 1,2)， 直线AP交E于另一点C， 直线BP交E于另一点D 若 直线CD的斜率为 1 8 ，则E的离心率为( ) A 6 2 B 3 2 C 5 2 D 5 2 第 10 页（共 22 页） 【解答】解：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 线段AB的中点( M M x，) M y，则 22 11 22 22 22 2

22、2 1 1 xy ab xy ab ， 两式相减得： 222 1212 222 1212 18 8 M MM M yyxxxbbb yx xxayyaya 设 3 (C x， 3) y， 4 (D x， 4) y，线段CD的中点( N N x，) N y， 同理可得 2 2 8 NN b yx a 易知P，M，N三点共线， 22 11 NM MN yy xx ， 代入得 22 22 88 22 11 MN MN bb xx aa xx ， 即 2 2 4 () (1)0 MN b xx a ， 22 4ab， 5 2 e 故选：C 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题

23、小题，每小题 5 分，共分，共 10 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求不选或选出的选项中含有错误选项得多项符合题目要求不选或选出的选项中含有错误选项得 0 分，只选出部分正确选项得分，只选出部分正确选项得 3 分，选出全部正确选项得分，选出全部正确选项得 5 分分 11 （5 分）如图，一个水轮的半径为6m，水轮轴心O距离水面的高度为3m，已知水轮按 逆时针匀速转动，每分钟转动 5 圈，当水轮上点P从水中浮现时的起始（图中点 0) P开始计 时，记( )f t为点P距离水面的高度关于时间( )t s的函数，则下列结论正确的是( ) 第 11 页（共

24、 22 页） Af（3）9 Bf（1）f（7） C若( ) 6f t ，则2 12tk，5 12 ()k kN D不论t为何值，( )(4)(8)f tf tf t是定值 【解答】解：设( )sin()f tAxB，依题意可知( )f t的最大值为 9，最小为3， 9AB，且3AB ，可得6A ，3B ； OP每秒钟内所转过的角为 52 606 ，得( )6sin()3 6 f tt ， 当0t 时，( )0f t ，得 1 sin 2 ，即 6 ， 故所求的函数解析式为( )6sin()3 66 f tt ， 对于A，f（3）6sin(3)33 33 66 ，即A错误； 对于B，f（1）6s

25、in(1)33 66 ，f（7）6sin(7)33 66 ，即B正确； 对于C，因为( ) 6f t ，所以6sin()3 6 66 t ，即 1 sin() 662 t ， 所以 5 2,2 6666 tkk ，解得2 12tk，6 12 k，kN，即C错误； 对于D， ( )(4)(8)6sin()36sin(4)36sin(8)3 666666 f tf tf tttt 7 6sin()6sin()6sin()9 666266 ttt 6sin()cossin()9 66666 ttt ， 因为 sin()cossin()(sincoscossin)cos(sincoscossin)0

26、66666666666666 tttttttt ， 第 12 页（共 22 页） 所以( )(4)(8)9f tf tf t，即D正确 故选：BD 12 （5 分）已知( )f x是定义在R上的奇函数，(1)(1)fxfx若f（1）1，则( ) A( )f x是周期函数 B当n为偶数时，( )0f n Cf（1） 2 2 f（2） 2 3 f（3） 2 6 f（6）1 Df（1） 2 2 f（2） 2 3 f（3） 22 (42)(42)881nfnnn 【解答】解：由函数( )f x是定义在R上的奇函数，则()( )fxf x ； 又(1)(1)fxfx，则()(2)fxfx， 则有(2)(

27、 )f xf x ，变形可得(4)(2)( )f xf xf x ， 即函数( )f x是周期为 4 的函数，所以A正确； 又(0)0f，f（2）(0)0f ， 所以当n为偶数时，( )0f n ，B正确； 又f（1）1，f（3）f （1）1 ，f（5）f （3）1， 所以f（1） 2 2 f（2） 2 3 f（3） 2 6 f（6） 22 10305017 ，C错误； 又f（1） 2 2 f（2） 2 3 f（3） 2 (42)(42)nfn 222222 1030507090110(41)0n 2 824408(21)(41)nn 22 8(1681)nnn 2 881nn，所以D正确 故

28、选：ABD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.将答案填在答题卡的相应位置将答案填在答题卡的相应位置 13 （5 分）已知向量(1,1)a ，(2,1)b ，若()()abab，则实数的值为 8 5 【解答】解：(2,1),(3,2)abab， ()()abab， 第 13 页（共 22 页） () ()3(2)2(1)0abab，解得 8 5 故答案为： 8 5 14 （5 分） 已知数列 n a的各项均为正数， 且 2 *1 1 6() n nn n a aanN a ， 则 47 25 aa aa 9 【解答】解： 2 *

29、1 1 6() n nn n a aanN a ， 22 11 60 nnnn aa aa ， 11 (3)(2)0 nnnn aaaa ， 数列 n a的各项均为正数， 1 3 nn aa 或 1 2 nn aa （舍去） ， 数列 n a是公比为3q 的等比数列， 2 4725 2525 () 9 aaqaa aaaa ， 故答案为：9 15 （5 分）已知 2 :2(0)C ypx p的准线l与x轴交于点A，点B，P在C上，ABF是面 积为 2 的等腰直角三角形，则C的方程为 2 4yx ， | | PF PA 的最小值为 【解答】解：因为ABF是面积为 2 的等腰直角三角形，所以AFB

30、Fp，BFAF， 所以 2 1 2 2 AFB Sp ，解得2p ， 所以抛物线的方程为： 2 4yx； 过P作PM垂直于准线交于M点， | cos | PFPM PAF PAPA ， 所以 | | PF PA 的最小值即是cosPAF的最小值， 因为 2 4yx，由于抛物线的对称性设点(P x，2)x在x轴上方，2yx， 1 y x ， 所以在P处的切线斜率 1 x ，又过A点， 所以可得 12 1 x xx ，解得1x ，所以直线PA的斜率1k ，即 4 PAF ， 第 14 页（共 22 页） 所以 2 cos 2 PAF， 所以 | | PF PA 的最小值为 2 2 ； 故答案分别为

31、： 2 4yx， 2 2 16（5 分） 已知三棱锥PABC中， 平面PAB 平面ABC，30PAB，6AB ，3 3PA ， 10CACB设直线PC与平面ABC所成的角为，则tan的最大值为 3 4 【解答】解：作出图形，30PAB，6AB ，3 3PA ， 由余弦定理， 222 2cos309PBPAABPA AB， 显然 222 ABPBPA，故PAPB， 过P作PDAB， 3 3 sin30 2 PDPA， 3 cos30 2 ADPA ， 连接CD，由平面PAB 平面ABC，PD 平面ABC， 所以PCD， 3 3 tan 2 PD CDCD ， 当CD最小时，tan最大， 以AB的

32、中点为原点，以AB为x轴，过中点垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系， 由C到A，B距离和为102a，62ABc，得到C的轨迹为 22 1 2516 xy ， 3 ( ,0) 2 D，设C为( , )m n 由 22 2222 33973925 ()()16(1)3()12 2225254256 mm CDmnmmm， 当 25 5 6 m ，5)时，CD最小值为2 3， 第 15 页（共 22 页） 故tan的最大值为 3 33 42 2 3 四、解答题：共四、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考

33、题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）如图，已知在平面四边形ABCD中，CAB，ABC，ACB，且 cos (sinsin )sin (2coscos ) （1）证明：2CACBAB； （2）若CACB，21DADC，求四边形ABCD的面积的取值范围 【解答】 （1）证明：由cos (sinsin)sin (2coscos)， 得cos sincos sin2sinsin cossin cos， 则sincoscossinsincosco

34、ssin2sin， sin()sin()2sin，则sinsin2sin， 由正弦定理可得：2CACBAB； （2）解：CACB，由（1）可得2CACBAB， CACBAB，ABC为等边三角形， 设ADC，则 11 sinsin 24 ACD SAD DC 222 15 2cos1coscos 44 ACADDCAD DC ， 第 16 页（共 22 页） 5 cos 4 AC，则 13 5 sin60(cos ) 244 ABC SAC AB 35 35 311 60 4416216 ABCACDABCD SSSsincossin 四边形 0180 ，6060120 ， 则 3 sin(60

35、 ) 1 2 ABCD S 四边形 的取值范围为 3 ( 16 ， 85 3 16 18 （12 分） 如图， 正三棱柱 111 ABCABC的所有棱长都为 4，D是AC的中点，E在 11 AC边 上， 11 3ECAE （1）证明：平面 1 BC D 平面 11 ACC A； （2）设侧面 11 ABB A上的动点F，满足/ /EF平面 1 BC D 在图形中作出点F的轨迹草图，并指出该轨迹的形状（不需要说明理由） ； 求二面角 1 CBDF的余弦值的最大值 【解答】解： （1）证明：正三棱柱 111 ABCABC的所有棱长都为 4，D是AC的中点，E 在 11 AC边上， 11 3ECAE

36、 1 AA平面ABC，BD 平面ABC， 1 AABD， 第 17 页（共 22 页） ABC是等边三角形，D是AC中点，BDAC， 1 AAACA，BD平面 11 ACC A， BD 平面 1 BC D，平面 1 BC D 平面 11 ACC A （2）解：取 1 AA中点M， 11 AB中点N，连结MN， 设侧面 11 ABB A上的动点F，满足/ /EF平面 1 BC D 点F的轨迹是线段MN 解：由图知当点F与点N重合时，二面角 1 CBDF的余弦值最大， 以D 为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐 标系， 则(0D，0，0)，(0B，2 3，0

37、)， 1( 2 C ，0，4)，( )(1N F，3，4)， (0DB ，2 3，0)， 1 ( 2DC ，0，4)，(1DF ，3，4)， 设平面 1 DBC的一个法向量(mx，y，) z， 则 1 2 30 240 DB my DC mxz ，取1z ，得(2m ，0，1)， 设平面BDF的一个法向量(na，b，) c， 则 2 30 40 n DBb n DFabc ，取4a ，得(4n ，0，1)， 77 85 cos, | |85517 m n m n mn ， 二面角 1 CBDF的余弦值的最大值为 7 85 85 第 18 页（共 22 页） 19 （12 分）设椭圆 22 :1

38、 43 xy C的右焦点为F，过F的直线l与C相交于A，B两点 （1）若2AFFB，求l的方程； （2） 设过点A作x轴的垂线交C于另一点P， 若M是PAB的外心， 证明：| | | AB MF 为定值 【解答】解（1）由题意可得直线l的斜率存在且不为 0，设直线l的方程为：1xmy，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y 直 线 与 椭 圆 联 立 可 得 ： 22 1 34120 xmy xy 整 理 可 得 ： 22 (43)690mymy， 12 2 6 43 m yy m ， 12 2 9 43 y y m ， 由椭圆的方程可得右焦点(1,0)F，由2AFFB， 1

39、 (1x， 12 )2(1yx， 2) y， 可得 12 2yy ，所以 2 2 2 2 2 6 43 9 2 43 m y m y m 解得： 2 4m ， 所以直线AB的方程为：21xy ； （2）设直线l的方程为1xmy，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 直 线 与 椭 圆 联 立 可 得 ： 22 1 34120 xmy xy 整 理 可 得 ： 22 (43)690mymy， 12 2 6 43 m yy m ， 12 2 9 43 y y m ， 2 22 1212 2 12(1) |1|()4 43 m ABmyyy y m ， 由题意可得 1 (P x

40、， 1) y，若M是PAB的外心，则可得M是直线PA，AB的中垂线的交 第 19 页（共 22 页） 点，所以M在x轴上， 设线段AB的中点为E，由 12 2 6 43 m yy m ，可得 2 1212 22 68 ()22 4343 m xxm yy mm ， 所以 2 4 (4 3 E m ， 2 3 ) 43 m m ， 所以线段AB的中垂线的方程为： 22 43 () 4343 m ym x mm ， 令0y 可得 2 1 43 P x m ，即 2 1 (4 3 P m ，0) 所以 2 22 13|1| | |1| 4343 m PF mm ， 所以 2 2 2 2 12(1)

41、| 43 4 3(1)| 43 m AB m mMF m 为定值， 所以可以证得 | | AB MF 为定值 4 20 （12 分）某游戏棋盘上标有第 0，1，2，100 站，棋子开始位于第 0 站，选手抛掷 均匀骰子进行游戏，若掷出骰子向上的点数不大于 4，棋子向前跳出一站；否则，棋子向前 跳出两站，直到跳到第 99 站或第 100 站时，游戏结束设游戏过程中棋子出现在第n站的 概率为 n P （1） 当游戏开始时， 若抛掷均匀骰子 3 次后， 求棋子所走站数之和X的分布列与数学期望； （2）证明： 11 11 (198) 33 nnnn PPPPn 剟； （3） 若最终棋子落在第 99 站

42、， 则记选手落败， 若最终棋子落在第 100 站， 则记选手获胜 请 分析这个游戏是否公平 【解答】解： （1）由题意可知，X的可能取值为 3，4，5，6， 312 3 28214 (3)( ), (4)( ) ( ) 327339 P XP XC， 223 3 2 1211 (5)( )( ), (6)( ) 339327 P XCP X， X的分布列为 X 3 4 5 6 P 8 27 4 9 2 9 1 27 第 20 页（共 22 页） 8421 ()34564 279927 E X ； （2）证明：依题意，当198n剟时，棋子要到第n站有两种情况， 由第n站跳 1 站得到，其概率为

43、2 3 n P；由第(1)n站跳 2 站得到，其概率为 1 1 3 n P， 11 21 33 nnn PPP ， 同时加 1 3 n P得， 111 12111 ()(198) 33333 nnnnnnn PPPPPPPn 剟； （3）依照（2）分析，棋子落到第 99 站的概率为 999897 21 33 PPP， 由于若跳到第 99 站时，自动停止游戏，故有 10098 1 3 PP， 所以 10099 PP，即最终棋子落在第 99 站的概率大于落在第 100 站的概率，故游戏不公平 21 （12 分）已知函数( ) x ax f xxlnx e （1）当1a时，讨论( )f x的极值点个数； （2）若0x 时，( )f xe，求a的取值范围 【解答】解： （1）函数的定义域为(0,)， 2