2020年广西南宁市高考数学一模试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年广西南宁市高考数学一模试卷（理科）年广西南宁市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 2A ，1，0，1，2， 2 |450Bx xx，则(AB ) A 2，1，0 B 1，0，1，2 C 1，0，1 D0，1，2 2 （5 分）若复数z满足 2 (13 )(1)i zi，则| (z ) A 5 4 B 5 5 C 10 2 D 1

2、0 5 3 （5 分）某校 8 位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出 50 分，则以该 8 位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是( ) A方差 B中位数 C众数 D平均数 4 （5 分）若 26 () a x x 的展开式中 6 x的系数为 150，则 2 (a ) A20 B15 C10 D25 5 （5 分）设递增的等比数列 n a的前n项和为 n S，已知 4 40 3 S ， 432 31030aaa，则 4 (a ) A9 B27 C81 D 8 3 6 （5 分）已知函数( )f xlnxaxb的图象在点(1,)ab处的切线方程是32yx，则

3、 (ab ) A2 B3 C2 D3 7 （5 分）函数 1 ( ) xx f xee x 的部分图象大致为( ) A B 第 2 页（共 19 页） C D 8 （5 分） 如图，PA 平面ABCD，ABCD为正方形， 且PAAD，E，F分别是线段PA， CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为( ) A 2 6 B 3 3 C 3 6 D 2 3 9 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的 3 10 S ，则处应填写( ) A3k ？ B3k？ C5k？ D5k ？ 10 （5 分）已知点 2 F为双曲线 22 2 :1(0) 4 xy Ca a 的右焦点，直线ykx与双曲线交

4、于两 第 3 页（共 19 页） 点，若 2 2 3 AF B ，则 2 AF B的面积为( ) A2 2 B2 3 C4 2 D4 3 11 （5 分）已知函数 2 2 11 ( )log (1)3 | f x xx ，则不等式()3f lgx 的解集为( ) A 1 (10，10) B(， 1 )(10 10 ，) C(1,10) D 1 (10，1)(1，10) 12 （5 分）已知 1 3 ，函数( )sin(2) 3 f xx 在区间( ,2 )内没有最值给出下列四个 结论： ( )f x在( ,2 )上单调递增； 5 12， 11 24 ； ( )f x在0，上没有零点； ( )f

5、 x在0，上只有一个零点 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上. 13 （5 分）已知两个单位向量满足| |aba，则向量a与b的夹角 14 （5 分） 设 n S是公差不为 0 的等差数列 n a的前n项和， 且 71 2aa ， 则 9 54 S Sa 15 （5 分）已知 1 F， 2 F是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点，过左焦点 1 F的直线 与椭圆C交于A，B两点，且 11 | 3|AFBF

6、， 2 | |ABBF，则椭圆C的离心率为 16 （5 分）如图，在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 1,3ADDDAB，E，F，G分别 为AB，BC， 11 C D的中点点P在平面ABCD内，若直线 1 / /D P平面EFG，则线段 1 D P长 度的最小值是 ? 第 4 页（共 19 页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）

7、必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件， 根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图若尺寸落在区间，(2xs，2 )xs之 外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中x，s分别为样本平均数和样本标准差，计算 可得15s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （1）求样本平均数的大小； （2）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件 18 （12 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中，1ACBC，2AB ， 1 1BC ， 1 BC 平 面ABC （1）证明：平面 11

8、A ACC 平面 11 BCC B （2）求二面角 1 AB BC的余弦值 19（12 分）a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边， 已知(sin4sin )8sinaABA （1）若1b ， 6 A ，求sin B； （2）已知 3 C ，当ABC的面积取得最大值时，求ABC的周长 第 5 页（共 19 页） 20 （12 分）已知函数 32 ( )21f xxmxm （1）讨论( )f x的单调性； （2）若函数( )f x在区间0，)上的最小值为3，求m的值 21（12 分） 如图， 已知抛物线 2 :4E yx与圆 222 :(3)(0)Mxyrr相交于A，B，C， D四个点 （

9、1）求r的取值范围； （2）设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系中，已知圆 222 :()(1)1Mxaya，以原点为极点，x轴正 半轴为极轴建立极坐标系，已知直线sin()2 4 平分圆M的周长 （1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程； （2）过原点作两条互相垂直的直线 1 l， 2 l，其中 1

10、 l与圆M交于O，A两点， 2 l与圆M交于 O，B两点，求OAB面积的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知正实数a，b满足4ab （1）求 14 ab 的最小值 （2）证明： 22 1125 ()() 2 ab ab 第 6 页（共 19 页） 2020 年广西南宁市高考数学一模试卷（理科）年广西南宁市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求

11、的. 1 （5 分）已知集合 2A ，1，0，1，2， 2 |450Bx xx，则(AB ) A 2，1，0 B 1，0，1，2 C 1，0，1 D0，1，2 【解答】解： 2A ，1，0，1，2， | 15Bxx ， 0AB，1，2 故选：D 2 （5 分）若复数z满足 2 (13 )(1)i zi，则| (z ) A 5 4 B 5 5 C 10 2 D 10 5 【解答】解：由 2 (13 )(1)2i zii， 得 22 (13 )6231 13(13 )(13 )1055 iiii zi iii ， 22 3110 |( )( ) 555 z 故选：D 3 （5 分）某校 8 位学生

12、的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出 50 分，则以该 8 位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是( ) A方差 B中位数 C众数 D平均数 【解答】解：由题意知，本次和上次的月考成绩的平均数、中位数、众数都相差 50， 根据方差公式知方差不变 故选：A 4 （5 分）若 26 () a x x 的展开式中 6 x的系数为 150，则 2 (a ) A20 B15 C10 D25 【解答】解： 26 () a x x 的展开式的通项公式为 12 3 16 rrr r TC a x ，令1236r，求得2r ， 可得展开式中 6 x的系数为 22 6 150Ca

13、，则 2 10a ， 故选：C 第 7 页（共 19 页） 5 （5 分）设递增的等比数列 n a的前n项和为 n S，已知 4 40 3 S ， 432 31030aaa，则 4 (a ) A9 B27 C81 D 8 3 【解答】解：根据题意，设等比数列 n a的公比为q， 若 432 31030aaa，则 2 222 31030a qa qa，即有 2 31030qq， 解可得3q 或 1 3 ， 又由数列 n a为递增的等比数列，则3q ， 若 4 40 3 S ，则 4 1 41 (1)40 40 13 aq Sa q ，解可得 1 1 3 a ， 则 3 41 9aa q， 故选：

14、A 6 （5 分）已知函数( )f xlnxaxb的图象在点(1,)ab处的切线方程是32yx，则 (ab ) A2 B3 C2 D3 【解答】解：由( )f xlnxaxb，得 1 ( )fxa x ， (1)13 3 121 fa ab ，解得 2 1 a b 则3ab 故选：B 7 （5 分）函数 1 ( ) xx f xee x 的部分图象大致为( ) A B 第 8 页（共 19 页） C D 【解答】解：根据题意，函数 1 ( ) xx f xee x ，其定义域为 |0x x ， 又由 11 ()()( ) xxxx fxeeeef x xx ，则( )f x为奇函数，排除C、D

15、； 在(0,)上，当0x 时，( )f x ，排除B， 故选：A 8 （5 分） 如图，PA 平面ABCD，ABCD为正方形， 且PAAD，E，F分别是线段PA， CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为( ) A 2 6 B 3 3 C 3 6 D 2 3 【解答】解：如图，取BC的中点G，连结FG，EG，则/ /BDFG， 通过异面直线所成角的性质可知EFG是异面直线EF与BD所成的角， 设2AD ，则 22 6EFEAAF， 同理可得6EG ，又 1 2 2 FGBD， 在EFG中， 222 3 cos 26 EFFGEG EFG EF FG ， 异面直线EF与BD所成角的余弦值

16、为 3 6 故选：C 第 9 页（共 19 页） 9 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的 3 10 S ，则处应填写( ) A3k ？ B3k？ C5k？ D5k ？ 【解答】解：模拟程序的运行，可得 1k ，0S 2k ， 2 11 0 226 S ， 满足判断框内的条件，执行循环体，3k ， 2 111 6334 S ， 满足判断框内的条件，执行循环体，4k ， 2 113 44410 S 由题意，此时应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为 3 10 故则处应填写3k？ 故选：B 10 （5 分）已知点 2 F为双曲线 22 2 :1(0) 4 xy Ca a 的右焦点，

17、直线ykx与双曲线交于两 点，若 2 2 3 AF B ，则 2 AF B的面积为( ) 第 10 页（共 19 页） A2 2 B2 3 C4 2 D4 3 【解答】解：设双曲线C的左焦点为 1 F，连接 1 AF， 1 BF，由对称性可知四边形 12 AFBF是 平行四边形， 1 22 AF FAF B SS， 12 3 F AF ， 设 11 |AFr， 22 |AFr，则 222 121 2 42cos 3 crrrr ， 又 12 | 2rra，故 2 1 2 416rrb 1 2 1 2 1 sin4 3 23 AF F Srr 则 2 AF B的面积为4 3 故选：D 11 （5

18、 分）已知函数 2 2 11 ( )log (1)3 | f x xx ，则不等式()3f lgx 的解集为( ) A 1 (10，10) B(， 1 )(10 10 ，) C(1,10) D 1 (10，1)(1，10) 【解答】解：函数 2 2 11 ( )log (1)3 | f x xx ，是定义域为(，0)(0，)上的偶函 数， 且在(0,)上是单调递减函数； 又f（1） 2 log 243， 所以不等式()3f lgx 可化为0 | 1lgx， 即11lgx ，且0lgx ， 解得 1 10 10 x，且1x ； 第 11 页（共 19 页） 所以所求不等式的解集为 1 (10，1

19、)(1，10) 故选：D 12 （5 分）已知 1 3 ，函数( )sin(2) 3 f xx 在区间( ,2 )内没有最值给出下列四个 结论： ( )f x在( ,2 )上单调递增； 5 12， 11 24 ； ( )f x在0，上没有零点； ( )f x在0，上只有一个零点 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D 【解答】解：由函数( )sin(2) 3 f xx 在区间( ,2 )内没有最值， 则2242 2332 kk 剟， 或 3 2242 2332 kk 剟，kZ； 解得 15 12224 k k剟，或 511 12224 k k剟，kZ； 又 2 2T ，且 1 3 ，所

20、以 1 1 3 ； 令0k ，可得 5 12， 11 24 ，且( )f x在( ,2 )上单调递减；所以错误，正确； 当0x，时，2 33 x ，2 3 ，且2 32 ， 7 12 ， 所以( )f x在0，上只有一个零点，所以错误，正确； 综上知，所有正确结论的编号是 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上. 13 （5 分）已知两个单位向量满足| |aba，则向量a与b的夹角 2 3 【解答】解：两个单位向量满足| |aba， | | 1ab， 2 |221aba

21、b， 解得21a b ， 1 2 a b ， 1 cos, 2 a b ， 第 12 页（共 19 页） 向量a与b的夹角为 2 3 故答案为： 2 3 14（5 分） 设 n S是公差不为 0 的等差数列 n a的前n项和， 且 71 2aa ， 则 9 54 S Sa 18 【解答】解：设等差数列 n a的公差为d， 71 2aa ， 11 62ada ， 1 2ad 则 19 95 15 5434 4 9() 99( 24 ) 2 18 5() 55( 22 )23 2 aa Sadd aa Saaadddd a 故答案为：18 15 （5 分）已知 1 F， 2 F是椭圆 22 22

22、:1(0) xy Cab ab 的左、右焦点，过左焦点 1 F的直线 与椭圆C交于A，B两点， 且 11 | 3|AFBF， 2 | |ABBF， 则椭圆C的离心率为 10 5 【解答】解：设 1 |BFk，则 1 | 3AFk， 2 | 4BFk，由 1212 | | 2BFBFAFAFa， 得25ak， 2 | 2AFk，如图：在 2 ABF中， 2 1 cos 4 BAF， 又在 12 AFF中， 222 12 (3 )(2 )(2 )1 cos 2324 kkc F AF kk ，得210ck， 故离心率 10 5 c e a ， 故答案为： 10 5 16 （5 分）如图，在长方体

23、1111 ABCDABC D中， 1 1,3ADDDAB，E，F，G分别 为AB，BC， 11 C D的中点点P在平面ABCD内，若直线 1 / /D P平面EFG，则线段 1 D P长 度的最小值是 7 2 ? 第 13 页（共 19 页） 【解答】解：如图，连结 1 D A，AC， 1 DC， E，F，G分别为AB，BC， 11 C D的中点， / /ACEF，EF 平面 1 ACD，AC 平面 1 ACD， / /EF平面 1 ACD， 1 / /EGAD，EG 平面 1 ACD， 1 AD 平面 1 ACD， / /EG平面 1 ACD， EFEGE，平面/ /EFG平面 1 ACD，

24、 1 / /D P平面EFG， 点P在直线AC上，在 1 ACD中， 1 2AD ，2AC ， 1 2CD ， 1 22 127 22() 222 AD C S， 当 1 D PAC时，线段 1 D P的长度最小，最小值为 7 7 2 1 2 2 2 故答案为： 7 2 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分

25、. 17 （12 分）为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件， 第 14 页（共 19 页） 根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图若尺寸落在区间，(2xs，2 )xs之 外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中x，s分别为样本平均数和样本标准差，计算 可得15s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （1）求样本平均数的大小； （2）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件 【解答】解：（1） 35 100.00545 100.01055 100.01565 100.03075 100.02085 100.01595 100.

26、00566.5x （2）266.53096.5xs， 266.53036.5xs， 10096.5， 该零件属于“不合格”的零件 18 （12 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中，1ACBC，2AB ， 1 1BC ， 1 BC 平 面ABC （1）证明：平面 11 A ACC 平面 11 BCC B （2）求二面角 1 AB BC的余弦值 【解答】 （1）证明：因为 1 BC 平面ABC所 1 BCAC， 第 15 页（共 19 页） 因为1ACBC，2AB ，所以 222 ACBCAB，即ACBC， 又 1 BCBCC，所以AC 平面 11 BCC B， 因为AC 平面 11 A

27、ACC所以平面 11 A ACC 平面 11 BCC B； （2）解：由题可得 1 BC，CA，CB两两垂直， 所以分别以CA，CB， 1 BC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz， 则(1A， 0，0)，(0C， 0，0)，(0B， 1，0)， 1(0 B， 0，1)， 所以 1 (0BB ，1，1)，( 1AB ， 1，0) 设平面 1 ABB的一个法向量为(mx，y，) z， 由 1 0m BB ，0m AB ，得 0, 0, yz xy 令1x ，得(1,1,1)m 又CA 平面 1 CBB，所以平面 1 CBB的一个向量为(1,0,0)CA ， 由 13

28、 cos, 33 m CA， 所以二面角 1 AB BC的余弦值为 3 3 19（12 分）a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边， 已知(sin4sin )8sinaABA （1）若1b ， 6 A ，求sin B； （2）已知 3 C ，当ABC的面积取得最大值时，求ABC的周长 【解答】解： （1）由于1b ， 6 A ， 所以(sin4sin )8sinaABA 转换为(sin4sin )8 sinaABbA， 第 16 页（共 19 页） 利用正弦定理 2 sin4sinsin8sinsinAABAB， 整理得 2 sin4 sinsin 66 B ， 解得 1 sin 8 B

29、 （2）由于 222 2coscababC ab， 当ab时，最大值为 133 224 Sabab， 由于 3 C ，所以ABC为等边三角形 利用正弦定理(sin4sin )8sinaABA，转化为 2 48aaba， 所以48ab，利用基本不等式842 24ababab， 解得4ab， 即4ab时， 1 sin3 2 ABC SabC ， 解得1b ，4a ， 所以 222 2cos1 16413cababC ， 解得13c 所以1413513 ABC labc 20 （12 分）已知函数 32 ( )21f xxmxm （1）讨论( )f x的单调性； （2）若函数( )f x在区间0，)

30、上的最小值为3，求m的值 【解答】解： （1） 32 ( )21f xxmxm， 2 ( )626 () 3 m fxxmxx x ， 当0m 时，( ) 0fx，( )f x在R上递增， 当0m 时，(,0)x ，( ,)m 递增，(0,)xm递减， 当0m 时，(,)xm ，(0,)递增，( ,0)xm递减； （2）由（1）知，当0m 时，( )f x在区间0，)递增， 3 ( )21f xx，( )f x的最小值 为(0)13f ，故不成立； 当0m 时 ，( )f x在 区 间0，)m递 减 ，(,)m 递 增 ， 故( )f m为 最 小 值 ， 由 3 ( )313f mmm ，即

31、 2 (1)(334)0mmm，即10m ，不成立； 第 17 页（共 19 页） 当0m 时，( )f x在区间0，)m递增，故(0)f为最小值，由(0)13fm ，得4m ， 成立； 所以4m 21（12 分） 如图， 已知抛物线 2 :4E yx与圆 222 :(3)(0)Mxyrr相交于A，B，C， D四个点 （1）求r的取值范围； （2）设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标 【解答】 解：（1） 联立抛物线 2 4yx与圆 222 :(3)(0)Mxyrr， 可得 22 290xxr， 由题意可得 2 44(9)0r，且 2 90r，0r ， 解

32、得2 23r； （2）设 22 290xxr的两个根为 1 x， 2 x，且 12 0xx， 可得 12 2xx， 2 12 9x xr， 由抛物线和圆都关于x轴对称，可设 1 (A x， 1 2)x， 1 (B x， 1 2)x， 2 (C x， 2 2)x， 2 (D x， 2 2)x， 则 2 21122112121212 11 (|) ()(44) ()22()4 22 SABCDxxxxxxxxx xxxx x 22 2 22 944(9)rr，可令 2 9(0,1)tr， 设 22 ( )4(22 )(44 )f tStt即 32 ( )32(1)f tttt ， 2 ( )32(

33、321)32(1)(31)f ttttt ， 当 1 0 3 t 时，( )f t递增，在 1 (3，1)递减， 第 18 页（共 19 页） 可得 1 3 t 时，四边形ABCD的面积取得最大值， 由抛物线和圆都关于x轴对称，可设(, 0)P m，由P，A，D三点共线，可 得 211 211 222xxx xxxm ， 解得 2 12 1 9 3 mx xrt ， 所以P的坐标为 1 ( 3 ，0) （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4

34、：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系中，已知圆 222 :()(1)1Mxaya，以原点为极点，x轴正 半轴为极轴建立极坐标系，已知直线sin()2 4 平分圆M的周长 （1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程； （2）过原点作两条互相垂直的直线 1 l， 2 l，其中 1 l与圆M交于O，A两点， 2 l与圆M交于 O，B两点，求OAB面积的最大值 【解答】解： （1）已知直线sin()2 4 转换为直角坐标方程为20xy 由于直线平分圆 222 :()(1)1Mxaya， 所以圆心坐标满足直线的方程， 所以120a ， 解得：1a ， 所以圆的方程为 22 (1

35、)(1)2xy，圆的半径为2 圆M的极坐标方程为2sin2cos （2）设直线 1 l为， 2 l为 2 ， 1 |OA， 2 |OB， 则 1 2sin2cos， 用 2 代替，可得 2 2cos2sin 由于 12 ll， 所以 22 1 | | 2(cossin)2cos22 2 OAB SOAOB ， 故三角形面积的最大值为 2 第 19 页（共 19 页） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知正实数a，b满足4ab （1）求 14 ab 的最小值 （2）证明： 22 1125 ()() 2 ab ab 【解答】解： （1）正实数a，b满足4ab， 141 1414149 ()()(5)(52) 4444 baba ab abababa b ， 当且仅当 4ba ab 且4ab即 4 3 a ， 8 3 b 时取得最小值 9 4 ； （2）证明：4ab， 1111111 ()()(2)(22)1 444 ba ab ababab ， 2 2 11 (4) (41)25 222 ab ， 22 22 1111 ()(4) 1125 ()() 222 ab abab ab ab 厖（当且仅当2ab时取等号）