2020年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷（理科）年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷（理科） 一、单选题一、单选题 1 （3 分）已知全集1U ，2，3，4，集合1A，2，2B ，3，则()( U AB ) A1 B2，3 C1，2，4 D2，3，4 2 （3 分）已知复数z满足z izi，则z在复平面上对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （3 分）已知x，y满足不等式组 22 0 21 0 0 xy xy x ，则点( , )P x y所在区域的面积是( ) A1 B2 C 5 4 D 4 5 4 （3 分）已知a，bR，则“

2、0ab”是“|1| |1|ab”的什么条件( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5 （3 分）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县 区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为( ) A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 6 （3 分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形， 侧视图是边长为 2 的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为( ) A2 2 B4 C2 3 D2 6 第 2 页（共 18 页） 7 （3 分）等差数列 n a中，

3、 1 a与 4037 a是( )4 m f xxlnx x 的两个极值点，则 2019 2 log(a ) A1 B2 C0 D 1 2 8 （3 分） 525 0125 (21)(1)(1)(1)xaa xa xa x则 3 (a ) A40 B40 C80 D80 9 （3 分）已知i为虚数单位，执行如图所示的程序框图，则输出的A值为( ) A9 B9i C8 D8 10 （3 分）已知向量a，b满足| 4a ，b在a上投影为2，则|3 |ab的最小值为( ) A12 B10 C10 D2 11 （3 分）已知P为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 上一点， 1 F，

4、2 F为双曲线C的左、右 焦点，若 112 | |PFFF，且直线 2 PF与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为( ) A 4 3 yx B 3 4 yx C 3 5 yx D 5 3 yx 12 （3 分）已知函数( )f xx， 2 ( )g xaxx，其中0a ，若 1 1x，2， 2 1x，2， 使得 1212 () ()() ()f xf xg x g x成立，则(a ) A1 B 1 2 C 2 3 D 3 2 二、填空题二、填空题 13 （3 分）若施化肥量x与小麦产量y之间的回归方程为2504yx（单位：)kg，当施 第 3 页（共 18 页） 化肥量为50kg时，预

5、计小麦产量为 kg 14 （3 分）函数 x yaxe的图象在0x 处的切线与直线yx 互相垂直，则a 15 （3 分）已知正四棱锥的底边边长为 2，侧棱长为5，现要在该四棱锥中放入一个可以 任意旋转的正方体，则该正方体的体积最大值是 16（3 分） 设( )P n表示正整数n的个位数字， 记 32 ( )()()nP nP n，M是 ( )n的前 4038 项的和，函数 1 ( )1f xlnx x ，若函数( )g x满足 2 2 8 ( )2 MxMx f g x MxMx ，则数列 ( )g n 的前 2020 项的和为 三、解答题三、解答题 17已知函数 2 ( )3sin22cos

6、1()f xxxxR （1）求( )f x的单调递增区间； （2）当, 6 4 x 时，求( )f x的值域 18 如图， 在直三棱柱 111 ABCABC中，ABC是等腰直角三角形，1ACBC， 1 2AA ， 点D是侧棱 1 AA的上一点 （1）证明：当点D是 1 AA的中点时， 1 DC 平面BCD； （2）若二面角 1 DBCC的余弦值为 3 29 29 ，求AD的长 19已知点(0,2)P，点A，B分别为椭圆 22 22 :1(0 xy Cab ab 的左右顶点，直线BP交C 于点Q，ABP是等腰直角三角形，且 3 5 PQPB （1）求C的方程； （2）设过点P的动直线l与C相交于

7、M，N两点，O为坐标原点当MON为直角时， 求直线l的斜率 第 4 页（共 18 页） 20 某高校为增加应届毕业生就业机会， 每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生 进行综合评估，已知某年度参与评估的毕业生共有 2000 名其评估成绩Z近似的服从正态 分布 2 ( ,)N 现随机抽取了 100 名毕业生的评估成绩作为样本， 并把样本数据进行了分组， 绘制了如下频率分布直方图： （1）求样本平均数x和样本方差 2 s（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； （2）若学校规定评估成绩超过 82.7 分的毕业生可参加A、B、C三家公司的面试 用样本平均数x作为的估计值， 用样本标准差s

8、作为的估计值 请利用估计值判断这 2000 名毕业生中，能够参加三家公司面试的人数； 附 ：1 6 11 2 . 7若 随 机 变 量 2 (,)ZN ， 则()0 . 6 8 2 6PZ， (22 )0.9544PZ 21已知函数 2 ( )(1)2 x f xxekx （1）若0k ，求( )f x的极值； （2）若0x ，)，都有( ) 1f x 成立，求k的取值范围 22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos ( sin x y 为参数） ，在以坐标原 点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为 3 (2 2,) 4 ，直线l的极 坐标方程为sin()2

9、 20 4 （1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程； （2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值 23已知函数( ) |2|f xax，不等式( ) 4f x 的解集为 | 26xx 剟 （1）求实数a的值； （2）设( )( )(3)g xf xf x，若存在xR，使( )2g xtx成立，求实数t的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2020 年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷（理科）年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题一、单选题 1 （3 分）已知全集1U ，2，3，4，集合1A，2，2B

10、 ，3，则()( U AB ) A1 B2，3 C1，2，4 D2，3，4 【解答】解：2B ，3， 1 UB ，4， 则()1 U AB ，2，4， 故选：C 2 （3 分）已知复数z满足z izi，则z在复平面上对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】 解： 设( ,)zabi a bR， 由zi z i得：()(1)abi iabi， 即(1 )a i b abi ， 由复数相等可得，则 11 22 zi， 11 22 zi，则z在复平面对应的点的坐标为 1 1 ( , ) 2 2 ，在第一象限 故选：A 3 （3 分）已知x，y满足不等式组 22 0

11、21 0 0 xy xy x ，则点( , )P x y所在区域的面积是( ) A1 B2 C 5 4 D 4 5 【解答】解：不等式表示的平面区域如图： 直线220xy的斜率为2，直线21xy的斜率为 1 2 ， 所以两直线垂直， 故BCD为直角三角形， 易得(1,0)B， 1 (0,) 2 D，(0,2)C， 5 | 2 BD ，|5BC ； 所以阴影部分面积 1155 | |5 2224 BCD SBDBC 故选：C 第 6 页（共 18 页） 4 （3 分）已知a，bR，则“0ab”是“|1| |1|ab”的什么条件( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分

12、也不必要条件 【解答】解：充分性：0|1| |1|abab，充分性成立； 必要性：当2a ，1b 时，|1| |1|ab成立，但0ab，故必要性不成立； 所以“0ab”是“|1| |1|ab”的充分不必要条件 故选：A 5 （3 分）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县 区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为( ) A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 【解答】解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研， 每个县区至少派一位专家， 基本事件总数 23 43 36nC A， 甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的

13、基本事件个数 212 232 6mC C A， 甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为 61 366 m p n 故选：A 6 （3 分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形， 侧视图是边长为 2 的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为( ) 第 7 页（共 18 页） A2 2 B4 C2 3 D2 6 【解答】 解： 由三视图知该几何体为棱锥SABD， 其中SC 平面ABCD； 四面体SABD 的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2 2的等边三角形， 所以此四面体的四个面中面积最大的为 3 82 3 4 故选：C 7 （3 分）等差数列

14、n a中， 1 a与 4037 a是( )4 m f xxlnx x 的两个极值点，则 2019 2 log(a ) A1 B2 C0 D 1 2 【解答】解： 2 22 44 ( )1 mxxm fx xxx ， 因为 1 a与 4037 a是( )4 m f xxlnx x 的两个极值点， 令 2 ( )4g xxxm，所以 1 a与 4037 a是方程 2 40xxm的两个根， 即 14037 4aa，也即 2019 24a，所以 2019 2a， 则 20192 2 log2log 22a 第 8 页（共 18 页） 故选：B 8 （3 分） 525 0125 (21)(1)(1)(1

15、)xaa xa xa x则 3 (a ) A40 B40 C80 D80 【解答】解： 525 0125 (21)(1)(1)(1)xaa xaxa x，令1xt ，则1xt ， 525 0125 (21)taata ta t 5 (21)t 展开式的通项为： 5 15(2 ) 1 rr r TCt r ， 令53r，求得2r ，所以， 233 35(2 ) 80TCtx，即 3 80a ， 故选：C 9 （3 分）已知i为虚数单位，执行如图所示的程序框图，则输出的A值为( ) A9 B9i C8 D8 【解答】解：模拟执行程序框图，得： 当1n 时，Ai； 当2n 时，2A ； 当8n 时，

16、8A ， 当9n 时，满足条件8n ，循环结束，输出结果A的值为 8 故选：D 10 （3 分）已知向量a，b满足| 4a ，b在a上投影为2，则|3 |ab的最小值为( ) A12 B10 C10 D2 第 9 页（共 18 页） 【解答】解：由b在a上投影为2， 所以|cos2 | a b b a ， 所以8a b ， 又|cos2b ， 所以|2b ， 则 2222 |3 |69649649210abaa bbb ， 即|3 |ab的最小值为 10， 故选：B 11 （3 分）已知P为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 上一点， 1 F， 2 F为双曲线C的左、右 焦

17、点，若 112 | |PFFF，且直线 2 PF与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为( ) A 4 3 yx B 3 4 yx C 3 5 yx D 5 3 yx 【解答】解：设直线 2 PF与圆 222 xya相切于点M， 则|OMa， 2 OMPF， 取 2 PF的中点N，连接 2 NF， 由于 112 | | 2PFFFc，则 12 NFPF， 2 | |NPNF， 由 1 | 2| 2NFOMa， 则 22 |442NPcab， 即有 2 | 4PFb， 由双曲线的定义可得 21 | 2PFPFa， 即422bca，即2bca， 2222 44bababa，4()caca，即

18、34ba， 则 4 3 b a 则C的渐近线方程为： 4 3 yx 故选：A 第 10 页（共 18 页） 12 （3 分）已知函数( )f xx， 2 ( )g xaxx，其中0a ，若 1 1x，2， 2 1x，2， 使得 1212 () ()() ()f xf xg x g x成立，则(a ) A1 B 1 2 C 2 3 D 3 2 【解答】解：由( )f xx， 2 ( )g xaxx，0a ， 且 1212 () ()() ()f xf xg x g x， 可得 22 121122 ()()x xaxxaxx，则 121212 ()0ax x ax xxx， 故 1212 ax x

19、xx， 则 12 1212 11xx a x xxx ，故 12 111 ,1 2 aM xx ，而 1 11 1, 2 aaaN x ， 因为 1 1x，2， 2 1x，2，使得 1212 () ()() ()f xf xg x g x成立，即NM， 可得 11 11 22 aa 剟，即 3 2 a且 3 2 a， 解得 3 2 a ， 故选：D 二、填空题二、填空题 13 （3 分）若施化肥量x与小麦产量y之间的回归方程为2504yx（单位：)kg，当施 化肥量为50kg时，预计小麦产量为 450 kg 【解答】解：根据回归方程为2504yx，当施化肥量为50kg，即50xkg时， 250

20、4250200450yxkg 故答案为：450 第 11 页（共 18 页） 14 （3 分）函数 x yaxe的图象在0x 处的切线与直线yx 互相垂直，则a 1 【解答】解：函数 x yaxe在0x 处的切线与直线yx 垂直， 函数 x yaxe在0x 处的切线斜率1k ， ( ) xx fxaeaxe， (0)1fa ， 得1a ， 故答案为：1 15 （3 分）已知正四棱锥的底边边长为 2，侧棱长为5，现要在该四棱锥中放入一个可以 任意旋转的正方体，则该正方体的体积最大值是 8 27 【解答】解：设此正方体外接球半径为R，体积最大的球应与四棱锥各个面都相切， 设球心为S，连SA、SB、

21、SC、SD、SE，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R， 由已知求得四棱锥的高为3，四个侧面三角形的底为 2，高为 2， A BCDES BCDESABCSABESADESACD VVVVVV ， 即 1111 22322422 3332 RR ， 3 3 R ， 正方体的体对角线是其外接球直径，故其体对角线为 2 3 2 3 R ，棱长为 2 3 ， 正方体体积的最大值为 8 27 V 故答案为： 8 27 16（3 分） 设( )P n表示正整数n的个位数字， 记 32 ( )()()nP nP n，M是 ( )n的前 4038 第 12 页（共 18 页） 项的和，函数 1 ( )1

22、f xlnx x ，若函数( )g x满足 2 2 8 ( )2 MxMx f g x MxMx ，则数列 ( )g n 的前 2020 项的和为 2020 2021 【解答】解：n的个位数为 1 时有：（1） 32 ()()1 10P nP n ， n的个位数为 2 时有：（2） 32 ()()844P nP n， n的个位数为 3 时有：（3） 32 ()()792P nP n ， n的个位数为 4 时有：（4） 32 ()()462P nP n ， n的个位数为 5 时有：（5） 32 ()()550P nP n， 每 5 个一循环，这 5 个数的和为 0， 40385807余 3，余下

23、三个数为：(4036)0，(4037)6 ，(4038)2 ， 数列 ( )n的前 4038 项和等于：(4036)(4037)(4038)8 ， 即有8M ， 又f（1）2， 2 2 8 ( )2(1) MxMx f g xf MxMx ， 可得 2 2 8 ( )1 MxMx g x MxMx ， 则 2 1111 ( )() (1)1 g n nnn nnn ， 则数列 ( )g n的前 2020 项和为， 2020 111112020 (1)()() 2232020202012021 S ， 则数列的前 2020 项和为 2020 2021 故答案为： 2020 2021 三、解答题三

24、、解答题 17已知函数 2 ( )3sin22cos1()f xxxxR （1）求( )f x的单调递增区间； （2）当, 6 4 x 时，求( )f x的值域 【解答】解： （1）函数 2 ( )3sin22cos13sin2cos22sin(2) 6 f xxxxxx ， 令222() 262 kxkkZ 剟， 求得() 63 kx kkZ 剟， 故函数( )f x的增区间为,() 63 kkkZ ； 第 13 页（共 18 页） （2）若, 6 4 x ，则2, 62 3 x ， 故当2 62 x 时， 函数( )f x取得最小值为2； 当2 63 x 时，函数( )f x取得最大值为3

25、， 所以函数的值域为 2, 3 18 如图， 在直三棱柱 111 ABCABC中，ABC是等腰直角三角形，1ACBC， 1 2AA ， 点D是侧棱 1 AA的上一点 （1）证明：当点D是 1 AA的中点时， 1 DC 平面BCD； （2）若二面角 1 DBCC的余弦值为 3 29 29 ，求AD的长 【解答】解： （1）证明：由题意：BCAC且 1 BCCC， 1 ACCCC， BC平面 11 ACC A，则 1 BCDC 又D是 1 AA的中点，ACAD，且90CDA，45ADC， 同理 11 45ADC 1 90C DC，则 1 DCDC， 1 DC平面BCD； （2）以C为坐标原点，分别

26、以CA，CB， 1 CC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 设ADh，则(1D，0，)h，(0B，1，0)， 1(0 C，0，2) 由条件易知CA 平面 1 BCC，故取(1m ，0，0)为平面 1 BCC的法向量 设平面 1 DBC的法向量为(nx，y，) z， 则nBD且 1 nBC， 第 14 页（共 18 页） (1, 1, )BDh， 1 (0, 1,2)BC ， 0 20 xyhz yz ，取1z ，得(2,2,1)nh 由 |3 29 |cos,| | |29 m n m n mn ， 解得 1 2 h ，即 1 2 AD 19已知点(0,2)P，点A，B分别为椭圆 22 22

27、 :1(0 xy Cab ab 的左右顶点，直线BP交C 于点Q，ABP是等腰直角三角形，且 3 5 PQPB （1）求C的方程； （2）设过点P的动直线l与C相交于M，N两点，O为坐标原点当MON为直角时， 求直线l的斜率 【解答】解： （1）由题意ABP是等腰直角三角形，则2a ，(2,0)B， 设点 0 (Q x， 0) y，由 3 5 PQPB， 则 0 6 5 x ， 0 4 5 y ，代入椭圆方程解得 2 1b ， 椭圆方程为 2 2 1 4 x y （2）由题意可知，直线l的斜率存在，令l的方程为2ykx， 则 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 则 2 2

28、2 1 4 ykx x y ，整理可得 2 (14)16120kxkx， 第 15 页（共 18 页） 22 (16 )48 (14)0kk，解得 2 3 4 k ， 12 2 16 14 k xx k ， 12 2 12 14 x x k ， 当MON为直角时，1 OMON kk ， 1212 0x xy y， 则 2 121212121212 (2)(2)(1)2 ()4x xy yx xkxkxkx xk xx 2 22 1216 (1)2 ()40 1414 k kk kk ， 解得 2 4k ，即2k ， 故存在直线l的斜率为2，使得MON为直角 20 某高校为增加应届毕业生就业机会

29、， 每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生 进行综合评估，已知某年度参与评估的毕业生共有 2000 名其评估成绩Z近似的服从正态 分布 2 ( ,)N 现随机抽取了 100 名毕业生的评估成绩作为样本， 并把样本数据进行了分组， 绘制了如下频率分布直方图： （1）求样本平均数x和样本方差 2 s（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； （2）若学校规定评估成绩超过 82.7 分的毕业生可参加A、B、C三家公司的面试 用样本平均数x作为的估计值， 用样本标准差s作为的估计值 请利用估计值判断这 2000 名毕业生中，能够参加三家公司面试的人数； 附 ：1 6 11 2 . 7若 随

30、机 变 量 2 (,)ZN ， 则()0 . 6 8 2 6PZ， (22 )0.9544PZ 【解答】解： （1）由所得数据绘制的频率直方图，得： 样本平均数450.05550.18650.28750.26850.17950.0670x ； 样本方差 2222222 (4570)0.05(5570)0.18(6570)0.28(7570)0.26(8570)0.17(9570)0.06161s 第 16 页（共 18 页） ； （2）由（1）可知，70， 2 161，故评估成绩Z服从正态分布(70,161)N， 所以 10.6826 (82.7)()0.1587 2 P ZP Z ， 在这

31、2000 名毕业生中，能参加三家公司面试的估计有20000.1587317人 21已知函数 2 ( )(1)2 x f xxekx （1）若0k ，求( )f x的极值； （2）若0x ，)，都有( ) 1f x 成立，求k的取值范围 【解答】解： （1）0k 时，( )(1)2 x f xxe， ( ) x fxxe， 令( )0 x fxxe，解得0x 0x时，函数( )f x取得极小值，(0)1f；无极大值 （2）对于任意的0x，)，( ) 1f x 恒成立， 2 (1)1 0 x xekx ， 令 2 ( )(1)1 x g xxekx，0x，)， 又(0)0g， 因此函数( )g x

32、在0x，)上单调递增， ( )2(2 ) 0 xx g xxekxx ek ， 2 x e k ，可得 1 2 k k的取值范围是 1 (, 2 22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos ( sin x y 为参数） ，在以坐标原 点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为 3 (2 2,) 4 ，直线l的极 坐标方程为sin()2 20 4 （1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程； （2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值 【解答】 解： （1） 直线l的极坐标方程为sin()2 20 4 ， 即s i nc o

33、s4 0 ， 第 17 页（共 18 页） 由cosx，siny，可得直线l的直角坐标方程为40xy 将曲线C的参数方程为 3cos ( sin x y 为参数）消去参数， 得曲线C的普通方程为 2 2 1 3 x y； （2）设( 3cosN，sin )，0，2 )， 点M的极坐标(2 2， 3 ) 4 化为直角坐标( 2,2)， 则 3 (cos1 2 P， 1 sin1) 2 ， 点P到直线l的距离 31 |sin()6|cossin6| 7 2 322 222 d 当 5 6 时，点M到直线l的距离的最大值为 7 2 2 23已知函数( ) |2|f xax，不等式( ) 4f x 的

34、解集为 | 26xx 剟 （1）求实数a的值； （2）设( )( )(3)g xf xf x，若存在xR，使( )2g xtx成立，求实数t的取值范围 【解答】解： （1）由|2|4ax得42 4ax剟，即26ax 剟， 当0a 时， 26 x aa 剟，所以 2 2 6 6 a a ，解得1a ； 当0a 时， 62 x aa 剟，所以 6 2 2 6 a a ，无解， 所以实数a的值为 1 （2）由已知 21,1 ( )( )(3) |1|2|3,12 21,2 xx g xf xf xxxx xx ， 不等式( )2g xtx，即( )2g xtx， 由题意知( )yg x的图象有一部分在直线2ytx的下方，作出对应图象： 第 18 页（共 18 页） 由图可知，当0t 时， EM t k；当0t 时， FM t k， 又因为1 EM k ， 1 2 FM k， 所以1t，或 1 2 t， 即(t ， 1 1 2 ，)