2020年湖南省a佳教育湖湘名校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年湖南省年湖南省 A 佳教育湖湘名校高考数学模拟试卷（理科） （佳教育湖湘名校高考数学模拟试卷（理科） （3 月份）月份） 一、选择题：共一、选择题：共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）若集合 |1Ax x，则满足ABA的集合B可以是( ) A |0x x B |2x x C |0x x D |2x x 2 （5 分）若(4)() 0mi mi ，其中i为虚数单位，则实数m的值为( ) A2 B4 C4

2、D2 3 （5 分）已知向量(2,2)AB ，(1, )ACa，若| 1BC ，则(AB AC ) A2 B4 C6 D8 4 （5 分）已知函数( )2sin(1)f xx，若对于任意的xR，都有 12 ()( )()f xf xf x剟成立， 则 12 |xx的最小值为( ) A2 B1 C4 D 1 2 5（5 分） 在圆 22 :4410M xyxy 中， 过点(0,1)E的最长弦和最短弦分别为AC和BD， 则四边形ABCD的面积为( ) A6 B12 C24 D36 6 （5 分） “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理” 三国时期，吴国的数学家赵爽创 制了一幅“勾股圆方图” ，用

3、数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾 股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形 中较小的锐角 12 ，现在向该正方形区域内随机地投掷 100 枚飞镖，则估计飞镖落在区 域 1 的枚数最有可能是( ) A30 B40 C50 D60 7 （5 分）已知抛物线 2 4xy 的准线与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线围成一 第 2 页（共 20 页） 个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是( ) A5 B5 C2 D2 8 （5 分） 已知二进制数 (2) 1010化为十进制数为n， 若()nxa的展开式中， 7

4、x的系数为 15， 则实数a的值为( ) A 1 2 B 1 5 C1 D2 9 （5 分）若两个等差数列 n a， n b的前n项和分别为 n A、 n B，且满足 21 31 n n An Bn ，则 3711 59 aaa bb 的值为( ) A 39 44 B 5 8 C 15 16 D 13 22 10 （5 分） 已知倾斜角为的直线过定点(0, 2)， 且与圆 22 (1)1xy相切， 则 1cos2 cos() 2 的值为( ) A 4 2 3 B 4 2 3 C 2 3 D 4 24 2 33 或 11 （5 分）已知四棱锥SABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方

5、形且和球 心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于22 3，则球O的体积 等于( ) A 4 3 B 8 3 C16 3 D 22 3 12 （5 分） 已知函数( )f xaxlnx，1x， e的最小值为 3， 若存在 1 x， 2 1 n xx， e， 使得 121 ()()()() nn f xf xf xf x ，则正整数n的最大值为( ) A2 B3 C4 D5 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，满分分，满分 20 分分. 13（5 分） 已知实数x，y满足不等式组 1 0 24 0 0 xy xy y ， 则 2 l o g(

6、1 )zx y 的最大值为 14 （5 分）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积” ， 设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公 式为 222 222 1 () 42 acb Sa c ，若 2 sin5sinaCA， 22 ()16acb则用“三斜求积” 第 3 页（共 20 页） 公式求得ABC的面积为 15 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则xy的 最大值为 16 （5 分）已知曲线 1: ( )2 x Cf xex ，曲线 2: ( ) cosCg xaxx， （1）若曲线 1

7、C在0x 处的切线与 2 C在 2 x 处的切线平行，则实数a （2） 若曲线 1 C上任意一点处的切线为 1 l， 总存在 2 C上一点处的切线 2 l， 使得 12 ll则实数a 的取值范围为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：60 分分 17 （12 分）设数列 n a满足： 1 1a ，且 11 2(2) nnn

8、aaan ， 34 12aa （1）求 n a的通项公式； （2）求数列 2 1 nn a a 的前n项和 18 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为直角梯形，/ /ABCD，ABAD， PA 平面ABCD，E是棱PC上的一点 （1）证明：平面ADE 平面PAB； （2） 若P EE C，F是PB的中点，3AD ，22ABAPCD， 且二面角FADE 的正弦值为 10 10 ，求的值 第 4 页（共 20 页） 19 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，直线:20l xy与以原 点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相

9、切 （1）求椭圆C的方程； （ 2 ） 是 否 存 在 直 线 与 椭 圆C交 于A，B两 点 ， 交y轴 于 点(0,)Mm， 使 |2|2|O AO BO AO B成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由 20 （12 分）甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答 题环节” ，第二轮为“轮流坐庄答题环节” 首先进行第一轮“选题答题环节” ，答题规则 是：每位同学各自从备选的 5 道不同题中随机抽出 3 道题进行答题，答对一题加 10 分，答 错一题（不答视为答错）减 5 分，已知甲能答对备选 5 道题中的每道题的概率都是 2 3 ，乙 恰能答对备

10、选 5 道题中的其中 3 道题： 第一轮答题完毕后进行第二轮 “轮流坐庄答题环节” ， 答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题，直到答错，则换人（换庄） 答下一题以此类推例如若甲首先坐庄，则他答第 1 题，若答对继续答第 2 题，如果第 2 题也答对，继续答第 3 题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，直到乙答错再换成 甲坐庄答题，依此类推当两人共计答完 20 道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期 望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第n道题也由该同学（最先答题的同学）作 答的概率为(120) n Pn剟，其中 1 1P ，已知供甲乙回答的 20 道题中，甲，乙两人答对其

11、中 每道题的概率都是 1 3 ，如果某位同学有机会答第n道题且回答正确则该同学加 10 分，答错 （不答视为答错）则减 5 分，甲乙答题相互独立：两轮答题完毕总得分高者胜出回答下列 问题 （1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由 （2）求第二轮答题中 2 P， 3 P； 求证 1 2 n P 为等比数列，并求(120) n Pn剟的表达式 第 5 页（共 20 页） 21 （ 12分 ） 已 知 对 数 函 数( )f x过 定 点 1 (, ) 2 Pe（ 其 中2.71828)e 函 数 ()()()g xnm fxfx（其中( )fx为( )f x的导函数，n，m为常数） （1）

12、讨论( )g x的单调性 （2）若对(0,)x 有( )g xnm恒成立，且( )( )2h xg xxn在 1 xx， 212 ()x xx处 的导数相等，求证： 12 ( )()72 2h xh xln （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线 12cos :( 2sin x C y 为参数） ，以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立

13、极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()2 4 （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）已知点( 2,0)P ，直线 1 交曲线C于A，B两点，求 11 |PAPB 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |4|1|f xxx，xR （1）解不等式：( ) 5f x ； （2）记( )f x的最小值为M，若实数ab满足 22 abM，试证明： 22 112 213ab 第 6 页（共 20 页） 2020 年湖南省年湖南省 A 佳教育湖湘名校高考数学模拟试卷（理科） （佳教育湖湘名校高考数学模拟试卷（理科） （3 月份）月份） 参考答

14、案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：共一、选择题：共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）若集合 |1Ax x，则满足ABA的集合B可以是( ) A |0x x B |2x x C |0x x D |2x x 【解答】解：满足ABA，AB， 根据选项，B成立， 故选：B 2 （5 分）若(4)() 0mi mi ，其中i为虚数单位，则实数m的值为( ) A2 B4 C4 D2 【解答】解： 2 (4)()5(4)0mi mimm i， 2

15、0 40 m m ，即2m 故选：D 3 （5 分）已知向量(2,2)AB ，(1, )ACa，若| 1BC ，则(AB AC ) A2 B4 C6 D8 【解答】解：( 1,2)BCACABa ， 由| 1BC ，可得 22 ( 1)(2)1a，可得2a 则2 1226AB AC 故选：C 4 （5 分）已知函数( )2sin(1)f xx，若对于任意的xR，都有 12 ()( )()f xf xf x剟成立， 则 12 |xx的最小值为( ) A2 B1 C4 D 1 2 【解答】解：由于函数( )2sin(1)f xx的周期为 2 2 ， 第 7 页（共 20 页） 对于任意xR，都有

16、12 ()( )()f xf xf x剟成立， 可知 1 ()f x是函数的最小值， 2 ()f x是函数的最大值， 12 |xx的最小值就是函数的半周期 2 1 2 ， 故选：B 5（5 分） 在圆 22 :4410M xyxy 中， 过点(0,1)E的最长弦和最短弦分别为AC和BD， 则四边形ABCD的面积为( ) A6 B12 C24 D36 【解答】 解： 根据题意， 圆 22 :4410M xyxy 即 22 (2)(2)9xy， 其圆心为(2,2)， 半径3r ， 过点(0,1)E的最长弦AC为圆M的直径，则| 6AC ， 最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，且 22 |(20)(2

17、 1)5ME 则有 22 | 2|4BDrME， 又由ACBD， 则四边形ABCD的面积 1 22()12 2 ABC SSACBE ； 故选：B 6 （5 分） “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理” 三国时期，吴国的数学家赵爽创 制了一幅“勾股圆方图” ，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾 股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形 中较小的锐角 12 ，现在向该正方形区域内随机地投掷 100 枚飞镖，则估计飞镖落在区 域 1 的枚数最有可能是( ) A30 B40 C50 D60 【解答】解：观察这个图可知： 设大正方形的边长

18、为 1， 总面积为 1， 区域 2 的直角三角形的边长分别为a，b，c；()abc 第 8 页（共 20 页） 则1 sin 12 a ，1 cos12b ； 中间小正方形的边长为cossin 1212 ba ； 中间小正方形的面积为： 2 (cossin)12sincos1sin0.5 121212126 ； 小正方形的面积与大正方形的面积之比为： 0.51 12 ； 现在向该正方形区域内随机地投掷 100 枚飞镖，则估计飞镖落在区域 1 的枚数最有可能是 1 10050 2 ； 故选：C 7 （5 分）已知抛物线 2 4xy 的准线与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两

19、条渐近线围成一 个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是( ) A5 B5 C2 D2 【解答】 解： 因为抛物线 2 4xy 的准线与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线围成 一个等腰直角三角形， 所以双曲线的两条渐近线互相垂直， 双曲线的渐近线为 b yx a ()1 bb aa 即 22 ab， 22 2caba 2 c e a 故选：C 8 （5 分） 已知二进制数 (2) 1010化为十进制数为n， 若()nxa的展开式中， 7 x的系数为 15， 则实数a的值为( ) A 1 2 B 1 5 C1 D2 【解答】解：根据二进制的数转化为十进制的方法可得：

20、31 (2) 10101 21 210 ， 10 ()xa的展开式的通项公式为 10 110 rrr r TCxa ， 第 9 页（共 20 页） 令107r，求得3r ，可得 7 x的系数为 333 10 12015a Ca， 可得： 1 2 a 故选：A 9 （5 分）若两个等差数列 n a， n b的前n项和分别为 n A、 n B，且满足 21 31 n n An Bn ，则 3711 59 aaa bb 的值为( ) A 39 44 B 5 8 C 15 16 D 13 22 【解答】解： 113 3711713 113 59713 13() 33332 13 115 2 13()

21、22223 13 116 2 aa aaaaA bb bbbB 故选：C 10 （5 分） 已知倾斜角为的直线过定点(0, 2)， 且与圆 22 (1)1xy相切， 则 1cos2 cos() 2 的值为( ) A 4 2 3 B 4 2 3 C 2 3 D 4 24 2 33 或 【解答】解：由题意知90，则直线斜率tank， 直线方程为2ykx，即20kxy， 圆心坐标(0,1)，圆心到直线的距离 22 | 12|3 1 11 d kk ， 即 2 91k ，得 2 8k ，即 2 tan8，则 22 2 222 88 sin 1189 sintan sincostan ， 则 82 2

22、sin 93 ， 22 1cos21(12)24 2 2sin sinsin3 cos() 2 sinsin ， 故选：D 11 （5 分）已知四棱锥SABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球 心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于22 3，则球O的体积 等于( ) A 4 3 B 8 3 C16 3 D 22 3 第 10 页（共 20 页） 【解答】解：由题意，当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥， 该四棱锥的表面积等于22 3， 设球O的半径为R，则2ACR，SOR，如图， 该四棱锥的底面边长为2ABR， 则有 222 12 ( 2 )42

23、()22 3 22 R RRR， 1R，得球O的体积是 3 44 1 33 故选：A 12 （5 分） 已知函数( )f xaxlnx，1x， e的最小值为 3， 若存在 1 x， 2 1 n xx， e， 使得 121 ()()()() nn f xf xf xf x ，则正整数n的最大值为( ) A2 B3 C4 D5 【解答】解：求导， 11 ( ) ax fxa xx ， 当0a或 1 0a e 时，( )0fx在1x， e恒成立， 从而( )f x在1， e单调递减，( )minf xf（e）13ae ， 解得 41 (, a ee ，不合题意， 当 1 1a e 时，易得( )f

24、x在 1 (1,) a 单调递减，在 1 ( , ) e a 单调递增， 11 ( )( )13 min f xfln aa ，解得 2 1 ( ,1)ae e 不合题意， 当1a 时，( )f x在1， e单调递增，所以( )minf xf（1）31a，满足题意， 所以3a ， 所以( )3f xxlnx，1x， e，所以( )minf xf（1）3，( )maxf xf（e）31e， 第 11 页（共 20 页） 依题意有(1) ( )( ) minmax nf xf x，即(1)3 31ne，得 2 3 n e，又因为*nN， 所以3n，所以n的最大值为 3， 故选：B 二、填空题：本题

25、共二、填空题：本题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，满分分，满分 20 分分. 13（5 分） 已知实数x，y满足不等式组 1 0 24 0 0 xy xy y ， 则 2 l o g(1 )zx y 的最大值为 2 【解答】解：作出 1 0 24 0 0 xy xy y 所对应的可行域（如图阴影） ， 令1txy可得1yxt ，作出直线yx ， 经平移直线知，当直线过点C时，1txy取最大值， 由 10 240 xy xy 1 2 x y ； (1,2)C 故1txy的最大值为：4； 2 log (1)zxy 的最大值为： 2 log 42 故答案为：2 14 （5 分）我国南宋著名数学

26、家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积” ， 设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公 式为 222 222 1 () 42 acb Sa c ，若 2 sin5sinaCA， 22 ()16acb则用“三斜求积” 公式求得ABC的面积为 2 第 12 页（共 20 页） 【解答】解： 2 sin5sinaCA， 2 5a ca，即5ac 又 22 ()16acb， 222 6acb 用“三斜求积”公式求得ABC的面积 22 16 5( ) 2 42 S 故答案为：2 15 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形

27、，则xy的 最大值为 16 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 所以： 22 28100xy，整理得 22 128xy， 故 222 ()2()256xyxy， 解得16xy ，当且仅当8xy时等号成立 故答案为：16 16 （5 分）已知曲线 1: ( )2 x Cf xex ，曲线 2: ( ) cosCg xaxx， （1）若曲线 1 C在0x 处的切线与 2 C在 2 x 处的切线平行，则实数a 2 （2） 若曲线 1 C上任意一点处的切线为 1 l， 总存在 2 C上一点处的切线 2 l， 使得 12 ll则实数a 的取值范围为 【解答】解： （1）( )2

28、x fxe ，曲线 1 C在0x 处的切线的斜率 1 (0)3kf ， 第 13 页（共 20 页） ( )sing xax，曲线 2 C在 2 x 处的切线的斜率 2 ()1 2 kga ， 由题意，2a ； （2）曲线 1 C上任意一点处的切线的斜率 1 ( )2 x kfxe ， 则与 1 l垂直的直线的斜率为 11 (0, ) 22 x e ， 而过曲线 2 C上任意一点处的切线的斜率 2 ( )sin1kg xaxa，1a ， 由题意， 1 0 1 1 2 a a ，解得 1 1 2 a剟 故答案为： （1）2； （2） 1 1 2 a剟 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应

29、写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：60 分分 17 （12 分）设数列 n a满足： 1 1a ，且 11 2(2) nnn aaan ， 34 12aa （1）求 n a的通项公式； （2）求数列 2 1 nn a a 的前n项和 【解答】解： （1）依题意，由 11 2(2) nnn aaan 可知数列 n a是等差数列 设等差数列 n a的公差为d，则 341

30、1 (2 )(3 )2512aaadadd， 解得2d 12(1)21 n ann ，*nN （2）由（1）知， 2 11111 () (21)(23)4 2123 nn a annnn ， 设数列 2 1 nn a a 的前n项和为 n T，则 1324352112 111111 n nnnnnn T a aa aa aaaaaa a 111 111 11111111111 (1)()()()()() 454 374 594 25214 23214 2123nnnnnn 111111111111 (1) 453759252123212123nnnnnn 1111 (1) 432123nn 第

31、 14 页（共 20 页） 11 3(21)(23) n nn 18 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为直角梯形，/ /ABCD，ABAD， PA 平面ABCD，E是棱PC上的一点 （1）证明：平面ADE 平面PAB； （2） 若P EE C，F是PB的中点，3AD ，22ABAPCD， 且二面角FADE 的正弦值为 10 10 ，求的值 【解答】解： （1）证明：由PA 平面ABCD，AD 平面ABCD， 所以PAAD，又ABAD，PAABA，所以AD 平面PAB， 又AD 平面ADE，所以平面ADE 平面PAB； （2）以A为原点，AD，AB，AP分别为x，y，z

32、轴建立空间直角坐标系， 则(0A，0，0)，(0B，2，0)，(0P，0，2)，( 3C，1，0)，( 3D，0，0)，(0F，1， 1)， 由（1）知，ADPB，又PBAF， 故PB 平面ADF，(0PB ，2，2)， PEEC，所以 32 (,) 1111 PEPC ， 所以 32 (,) 111 AEAPPE ， 设平面ADE的法向量为( , , )mx y z， 由 30 32 0 111 m ADx xyz m AE ，得(0,1,) 2 m ， 二面角FADE的正弦值为 10 10 ， 第 15 页（共 20 页） 所以 3 10 |cos,| 10 PB n，即 2 23 10

33、2 21 4 ， 得1或 4 19 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，直线:20l xy与以原 点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切 （1）求椭圆C的方程； （ 2 ） 是 否 存 在 直 线 与 椭 圆C交 于A，B两 点 ， 交y轴 于 点(0,)Mm， 使 |2|2|O AO BO AO B成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）由已知得 222 2 3 2 b c a abc ，解得2 2a ，2b ，6c ， 椭圆C的方程为 22 1 82 xy ； （2）假设存在这样的直线，由已知可知

34、直线的斜率存在，设直线方程为ykxm， 联立 22 1 82 ykxm xy ，得 222 (41)8480kxkmxm 22 16(82)0km， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 12 2 8 41 km xx k ， 2 12 2 48 41 m x x k ， 第 16 页（共 20 页） 22 22 12121212 2 8 ()()() 41 mk y ykxm kxmk x xkm xxm k ， 由|2| |2|OAOBOAOB，得OAOB，即0OA OB ，即 1212 0x xy y， 故 22 858 0km ，代入式解得 2 10 5 m 或

35、 2 10 5 m 20 （12 分）甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答 题环节” ，第二轮为“轮流坐庄答题环节” 首先进行第一轮“选题答题环节” ，答题规则 是：每位同学各自从备选的 5 道不同题中随机抽出 3 道题进行答题，答对一题加 10 分，答 错一题（不答视为答错）减 5 分，已知甲能答对备选 5 道题中的每道题的概率都是 2 3 ，乙 恰能答对备选 5 道题中的其中 3 道题： 第一轮答题完毕后进行第二轮 “轮流坐庄答题环节” ， 答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题，直到答错，则换人（换庄） 答下一题以此类推例如若甲首先坐庄，则他

36、答第 1 题，若答对继续答第 2 题，如果第 2 题也答对，继续答第 3 题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，直到乙答错再换成 甲坐庄答题，依此类推当两人共计答完 20 道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期 望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第n道题也由该同学（最先答题的同学）作 答的概率为(120) n Pn剟，其中 1 1P ，已知供甲乙回答的 20 道题中，甲，乙两人答对其中 每道题的概率都是 1 3 ，如果某位同学有机会答第n道题且回答正确则该同学加 10 分，答错 （不答视为答错）则减 5 分，甲乙答题相互独立：两轮答题完毕总得分高者胜出回答下列 问题 （1）请预测第二轮

37、最先开始作答的是谁？并说明理由 （2）求第二轮答题中 2 P， 3 P； 求证 1 2 n P 为等比数列，并求(120) n Pn剟的表达式 【解答】解： （1）设甲选出的 3 道题答对的道数为，则 2 (3, ) 3 ， 设甲第一轮答题的总得分为x，则105(3)1515x， 2 151515 31515 3 ExE ， 设乙第一轮得分为y，则y的所有可能取值为 30，15，0， 则 3 3 3 5 1 (30) 10 C P y C ， 第 17 页（共 20 页） 21 32 3 5 6 (15) 10 C C P y C ， 12 32 3 5 3 (0) 10 C C P y C

38、， y的分布列为： y 30 15 0 P 1 10 6 10 3 10 163 3015012 101010 Ey ， ExEy，第二轮最先开始答题的是甲 （2）依题意得 1 1P ， 2 1 3 P ， 3 11225 33339 P 证明：依题意有 111 1212 (1)(2) 3333 nnnn PPPPn ， 1 111 () 232 nn PP ，2n， 1 11 22 P ， 1 2 n P是以 1 2 为首项，以 1 3 为公比的等比数列， 1 111 () 223 n n P ， 1 111 () 223 n n P (120)n剟 21 （ 12分 ） 已 知 对 数 函

39、 数( )f x过 定 点 1 (, ) 2 Pe（ 其 中2.71828)e 函 数 ()()()g xnm fxfx（其中( )fx为( )f x的导函数，n，m为常数） （1）讨论( )g x的单调性 （2）若对(0,)x 有( )g xnm恒成立，且( )( )2h xg xxn在 1 xx， 212 ()x xx处 的导数相等，求证： 12 ( )()72 2h xh xln 【解答】解： （1）令( )log(1 a f xx a且1)a ，将 1 (, ) 2 Pe代入得ae， 所以( )f xlnx， 得( ) m g xnlnx x ，求导， 22 1 ( )(0) mmx

40、g xx xxx ， 当0m时，( )0g x在0x 时恒成立，即( )g x在(0,)单调递减； 第 18 页（共 20 页） 当0m 时，( )0g x，则0xm，( )0g x，则xm， 即( )g x在(0,)m单调递增，在( ,)m 单调递减； 综上，当0m时，( )g x在(0,)单调递减； 当0m 时，( )g x在(0,)m单调递增，在( ,)m 单调递减； （2）证明：因为g（1）nm，而(0,)x ，有( )g xnmg（1）恒成立知( )g x当 1x 时有最大值g（1） ，由（1）知必有1m ， 所以 1 ( )g xnlnx x ，所以 1 ( )( )22h xg

41、xxnxlnx x ， 依题意，设 12 ()()h xh xk ，即 2 11 2 22 11 20 11 20 k xx k xx ，所以 12 11 1 xx ， 所以 121212 2xxx xx x，所以 12 4x x ， 所以 1212121212 12 11 ( )()2()()()21h xh xxxlnxlnxx xlnx x xx ， 令 12 4tx x，( )21ttlnt ， 所以 1 ( )20(4)tt t ，所以( ) t在4t 单调递增， 所以( ) t（4）722ln 所以 12 ( )()72 2h xh xln （二）选考题：共（二）选考题：共 10

42、分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线 12cos :( 2sin x C y 为参数） ，以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()2 4 （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）已知点( 2,0)P ，直线 1 交曲线C于A，B两点，求 11 |PAPB 的值 【解答】解： （1）已知曲线 12cos :( 2sin x

43、 C y 为参数） ，转换为直角坐标方程为 22 (1)4xy 第 19 页（共 20 页） 直线l的极坐标方程为sin()2 4 转换为直角坐标方程为 22 2 22 yx，整理得 20xy （2）由于点( 2,0)P 在直线 1 上，所以转换为参数方程为 2 2 2 ( 2 2 xt t yt 为参数） ，代入 22 (1)4xy， 得到： 2 230tt， 所以： 12 2tt， 1 2 3t t ， 所以 12 1 2 |1121214 |33 tt PAPBt t 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |4|1|f xxx，xR （1）解不等式：( ) 5f x ； （2）记( )f x的最小值为M，若实数ab满足 22 abM，试证明： 22 112 213ab 【解答】解： （1） 25,4 ( ) |