2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 24 页） 2020 年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）设集合|2AxNx， 2 |1By yx ，则AB的子集个数为( ) A2 B4 C8 D16 2 （5 分）若复数z满足 1i z i （其中i为虚数单位） ，则z在复平面的对应点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）某城

2、市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图 根据该折线图，下列结论错误的是( ) A月接待游客量逐月增加 B年接待游客量逐年增加 C各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月 D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 4 （5 分）定义在R上的函数 | 1 ( )( )2 3 x m f x 为偶函数， 2 1 (log) 2 af， 1 3 1 ( ) ) 2 bf， ( )cf m，则( ) Acab Bacb Cabc

3、Dbac 5 （5 分） “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝， “火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火 纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为 3 的正方形将其包含在内，并向该正方 形内随机投掷 2000 个点， 已知恰有 800 个点落在阴影部分， 据此可估计阴影部分的面积是( ) 第 2 页（共 24 页） A 16 5 B 18 5 C10 D 32 5 6 （5 分）已知向量a，b的夹角为 3 ，且| 1a ，|2|3ab，则| (b ) A1 B2 C3 D2 7 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长 一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而

4、长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人 的a，b分别为 3，1，则输出的n等于( ) A5 B4 C3 D2 8 （5 分）函数 21 ( )cos 21 x x f xx 的图象大致是( ) 第 3 页（共 24 页） A B C D 9 （5 分）第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安 排 3 名志愿者完成 5 项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式 共有多少种( ) A60 B90 C120 D150 10 （5 分）已知抛物线 2 2yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交 于M，N两点，若3PFMF，则|

5、 (MN ) A 16 3 B 8 3 C2 D 8 3 3 11 （5 分）已知三棱锥PABC内接于球O，PA 平面ABC，ABC为等边三角形，且 边长为3，球O的表面积为16，则直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为( ) A 15 7 B 15 5 C 15 2 D 15 10 12 （5 分） 2 |21|,1 ( ) log (1),1 xx f x xx ， 32 515 ( )2 44 g xxxm，若( ( )yf g xm有 9 个 零点，则m的取值范围是( ) A(0,1) B(0,3) C 5 (1, ) 3 D 5 ( ,3) 3 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题

6、共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）曲线 2 21 x yxex在点(0,1)处的切线方程为 14 （5 分）记 n S为等差数列 n a的前n项和若 1 0a ， 21 3aa，则 10 5 S S 15 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做 第 4 页（共 24 页） 圆，圆A与双曲线C的一条渐近线相交于M，N两点，若 3 ( 2 OMON O为坐标原点） ，则 双曲线C的离心率为 16（5 分） 已知数列 n a满足： 对任意 * nN均有 1 22( nn apapp 为常

7、数，0p 且1)p ， 若 2 a， 3 a， 4 a， 5 18a ，6，2，6，11，30，则 1 a的所有可能取值的集合是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答，第题，每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知ABC外接圆半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c， 设 22 2 (sinsin)()sinR

8、ABacC （）求角B； （）若12b ，8c ，求sin A的值 18 （12 分） 已知三棱锥MABC中，2 2MAMBMCAC，2ABBC，O为AC 的中点，点N在校BC上，且 2 3 BNBC （1）证明：BO 平面AMC； （2）求二面角NAMC的正弦值 19 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) yx Eab ab 的离心率为 2 2 ，且过点(1,0)C （1）求椭圆E的方程； （2）若过点 1 ( 3 ，0)的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求 证，恒有| 2|ABCM 20 （12 分）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，

9、努力提高 污水收集处理水平， 其污水处理程序如下： 原始污水必先经过A系统处理， 处理后的污水(A 第 5 页（共 24 页） 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为(01)pp经化验检测，若确认达标便可直 接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放 某厂现有 4 个标准水量的A级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个 化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的 化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达 标，则原水池的污水直接排放 现有以下四种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：平均分成两组化验；

10、方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：四个样本混在一起化验 化验次数的期望值越小，则方案越“优“ （1）若 2 2 3 p ，求 2 个A级水样本混合化验结果不达标的概率； （2）若 2 2 3 p ，现有 4 个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优 “？ 若“方案三”比“方案四“更“优” ，求p的取值范围 21 （12 分）已知函数( ) x e f xxlnx x （1）求( )f x的最大值； （2）若 1 ( )()1 x f xxebx x 恒成立，求实数b的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22，2

11、3 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第题记分第题记分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点 3 (1,) 2 P，其参数方程 cos ( 3sin xa y 为参数） ，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线E的极坐标方程； （2）若直线l交E于点A，B，且OAOB，求证： 22 11 |OAOB 为定值，并求出这个 定值 选修选修 4-5 不等式选讲不等式选讲（10 分）分） 第 6 页（共 24 页） 23已知函数( ) |1|21|f xxxm

12、 （1）求不等式( )f xm的解集； （2）若恰好存在 4 个不同的整数n，使得( ) 0f n ，求m的取值范围 第 7 页（共 24 页） 2020 年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）设集合|2AxNx， 2 |1By yx ，则AB的子集个数为( ) A2 B4 C8 D16 【解答】

13、解：| 220AxNx剟，1，2， |1By y， 0AB，1， AB的子集个数为 2 24个 故选：B 2 （5 分）若复数z满足 1i z i （其中i为虚数单位） ，则z在复平面的对应点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解： 2 1(1)() 1 iii zi ii ， z在复平面的对应点的坐标为(1, 1)，在第四象限 故选：D 3 （5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图 根据该折线图，下列结论错误的是( ) A月接待

14、游客量逐月增加 B年接待游客量逐年增加 C各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月 D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 第 8 页（共 24 页） 【解答】解：由已有中 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数 据可得： 月接待游客量逐月有增有减，故A错误； 年接待游客量逐年增加，故B正确； 各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月，故C正确； 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳，故D正 确； 故选：A 4 （5 分）定义在R上的函数 | 1

15、 ( )( )2 3 x m f x 为偶函数， 2 1 (log) 2 af， 1 3 1 ( ) ) 2 bf， ( )cf m，则( ) Acab Bacb Cabc Dbac 【解答】解：定义在R上的函数 | 1 ( )( )2 3 x m f x 为偶函数， 则()( )fxf x，即 | 11 ( )2( )2 33 x mx m ； 所以0m ， 所以 | | 1 ( )( )2 3 x f x ，且在0，)上是单调减函数； 又 2 1 log1 2 ， 1 3 11 0( ) 22 ，0m ； 所以 1 3 2 11 (log)( ) )(0) 22 fff， 即abc 故选：

16、C 5 （5 分） “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝， “火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火 纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为 3 的正方形将其包含在内，并向该正方 形内随机投掷 2000 个点， 已知恰有 800 个点落在阴影部分， 据此可估计阴影部分的面积是( ) 第 9 页（共 24 页） A 16 5 B 18 5 C10 D 32 5 【解答】解：根据题意，设阴影部分的面积为S，则正方形的面积为 9， 向正方形内随机投掷 2000 个点，已知恰有 800 个点落在阴影部分内， 则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率 8002 20005 P ； 而 9 s P

17、 ，则 2 95 s ， 解可得， 18 5 S ； 故选：B 6 （5 分）已知向量a，b的夹角为 3 ，且| 1a ，|2|3ab，则| (b ) A1 B2 C3 D2 【解答】解：由|2|3ab， 得 2222 |2|(2)4|4|3ababaa bb， 又向量a，b的夹角为60，且| 1a ， 22 4 14 1 |cos60|3bb ， 整理得： 2 |2| 10bb ，解得| 1b 故选：A 7 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长 一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人 的a，b分别为 3，1，则

18、输出的n等于( ) 第 10 页（共 24 页） A5 B4 C3 D2 【解答】解：模拟程序的运行，可得 3a ，1b 1n 9 2 a ，2b 不满足条件a b，执行循环体，2n ， 27 4 a ，4b 不满足条件a b，执行循环体，3n ， 81 8 a ，8b 不满足条件a b，执行循环体，4n ， 243 16 a ，16b 此时，满足条件a b，退出循环，输出n的值为 4 故选：B 8 （5 分）函数 21 ( )cos 21 x x f xx 的图象大致是( ) A B 第 11 页（共 24 页） C D 【解答】解：由题意， 21 ()cos()( ) 21 x x fxx

19、f x ，函数是奇函数，排除A，B； 0x ，( )f x ，排除D 故选：C 9 （5 分）第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安 排 3 名志愿者完成 5 项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式 共有多少种( ) A60 B90 C120 D150 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析 、将 5 项工作分成 3 组 若分成 1、1、3 的三组，有 311 521 2 2 10 C C C A 种分组方法， 若分成 1、2、2 的三组，有 221 531 2 2 15 C C C A 种分组方法， 则将 5 项工作分成 3 组，有1

20、01525种分组方法； 、将分好的三组全排列，对应 3 名志愿者，有 33 6A种情况； 所以不同的安排方式则有256150种， 故选：D 10 （5 分）已知抛物线 2 2yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交 于M，N两点，若3PFMF，则| (MN ) A 16 3 B 8 3 C2 D 8 3 3 【解答】 解： 抛物线 2 :2C yx的焦点为 1 (2F，0)， 准线为 1 : 2 l x ， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，M，N到准线的距离分别为 M d， N d， 第 12 页（共 24 页） 由 抛 物 线 的 定 义 可 知

21、1 1 | 2 M MFdx， 2 1 | 2 N NFdx， 于 是 12 | |1MNMFNFxx 3PFMF， 直线MN的斜率为3， 1 (2F，0)， 直线PF的方程为 1 3() 2 yx ， 将 1 3() 2 yx ， 代入方程 2 2yx，并化简得 2 122030xx， 12 5 3 xx，于是 12 58 | |11 33 MNMFNFxx 故选：B 11 （5 分）已知三棱锥PABC内接于球O，PA 平面ABC，ABC为等边三角形，且 边长为3，球O的表面积为16，则直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为( ) A 15 7 B 15 5 C 15 2 D 15 10 【

22、解答】解：设三棱锥外接球的球心为O，半径为R，则 2 416SR 球 ，故2R ， 设M为ABC的中心，N为AB的中点，则OM 平面ABC，且2OC ， 由ABC为等边三角形，且边长为3，求得 3 2 NC ，1MC ， 22 3OMOCOM， PA 平面ABC，故22 3PAOM，且PACN， 51 2 PN，又CNAB，ABPAA， 第 13 页（共 24 页） CN平面PAB，则15PC ， 3 15 2 sin 1015 NC NPC PC 故选：D 12 （5 分） 2 |21|,1 ( ) log (1),1 xx f x xx ， 32 515 ( )2 44 g xxxm，若(

23、 ( )yf g xm有 9 个 零点，则m的取值范围是( ) A(0,1) B(0,3) C 5 (1, ) 3 D 5 ( ,3) 3 【解答】解：令( )tg x， 32 515 ( )2 44 g xxxm， 22 15151515 ( )(2 )(2) 4244 g xxxxxx x， 当(,0)x ，(2,)时，函数( )g x递增，当(0,2)x时，函数( )g x递减， 函数( )g x有极大值(0)2gm，极小值g（2）3m， 若( ( )yf g xm有 9 个零点， 画出图象如下：观察函数( )yf t与ym的交点， 第 14 页（共 24 页） 当0m 时，1t ，此时

24、函数( )yf t与ym最多由 3 个交点，故不成立， 当0m 时， 1 1 2 t ， 2 2t ，(0)2g，g（2）3 ， 1 ( )g xt，有三个解，( )2g x 有 2 个解，共 5 个解不成立； 当3m 时，显然不成立； 故要使函数有 9 个零点，03m，根据图象，每个yt最多与( )yg x有三个交点，要 有 9 个交点，只能每个t都要有 3 个交点， 当03m，( )yf t与ym的交点， 1 1 2 2 t ， 2 1 1 2 t， 3 1t ， (0)2(2gm ，5)，g（2）3( 3,0)m ， 显然 3 ( )g xt，有三个解， 2 ( )g xt，要有三个解

25、1 3 2 m ，即 5 2 m ， 1 ( )g xt有三个解32m ，即1m ， 综上，(0,1)m， 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）曲线 2 21 x yxex在点(0,1)处的切线方程为 1yx 【解答】解：求导函数可得，(1)4 x yx ex 当0x 时，1y 曲线 2 21 x yxex在点(0,1)处的切线方程为1yx ，即1yx 故答案为：1yx 第 15 页（共 24 页） 14 （5 分）记 n S为等差数列 n a的前n项和若 1 0a ， 21 3aa，则 10 5 S

26、S 4 【解答】解：设等差数列 n a的公差为d，则 由 1 0a ， 21 3aa可得， 1 2da， 10110 515 10() 5() Saa Saa 1 1 2(29 ) 24 ad ad 11 11 2(218 ) 4 28 aa aa ， 故答案为：4 15 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做 圆，圆A与双曲线C的一条渐近线相交于M，N两点，若 3 ( 2 OMON O为坐标原点） ，则 双曲线C的离心率为 30 5 【解答】解：双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右顶点为( ,0)A

27、a， 以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点 则点A到渐近线0bxay的距离为 22 | ab AB ba ， rb， 222 2 2 | a bb BNb cc ， 3 2 OMON， 2 5 | 5| b OBBN c ， |OAa， 422 2 22 25ba b a cc ， 22422 25a cba b， 2224 ()25a cbb， 2222 555abca， 即 22 65ac， 即65ac， 第 16 页（共 24 页） 30 5 c e a ， 故答案为： 30 5 16（5 分） 已知数列 n a满足： 对任意 * nN均有 1 22( n

28、n apapp 为常数，0p 且1)p ， 若 2 a， 3 a， 4 a， 5 18a ，6，2，6，11，30，则 1 a的所有可能取值的集合是 0， 2，66 【解答】解：由题意，对任意 * nN，均有 1 2(2) nn ap a ， 构造数列 n b：令2 nn ba，则 1nn bpb 故数列 n b是一个以p为公比的等比数列 2 a， 3 a， 4 a， 5 18a ，6，2，6，11，30， 2 b， 3 b， 4 b， 5 16b ，4，0，8，13，32 当 2345 0bbbb时，p可取不为 0 或 1 的任意值，满足题意 此时， 2345 2aaaa ， 1 2a ；

29、当 2 4b ， 3 8b ， 4 16b ， 5 32b 时，2p 此时， 2 1 4 2 2 b b p ， 11 2220ab； 当 2 32b ， 3 16b ， 4 8b ， 5 4b 时， 1 2 p 此时， 2 1 32 64 1 2 b b p ， 11 264266ab 第 17 页（共 24 页） 1 a的所有可能取值的集合是0，2，66 故答案为：0，2，66 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答，第题，每个试题考生都必须作答

30、，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知ABC外接圆半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c， 设 22 2 (sinsin)()sinRABacC （）求角B； （）若12b ，8c ，求sin A的值 【解答】解：( 22 )2 (sinsin)()sinIRABacC， 22 22 (sinsin)()sin2RRABacCR， 即： 222 acbac， 222 1 cos 22 acb B ac 因为0B，所以 3 B ， ()II若12b ，8c ， 由正弦定理，

31、sinsin bc BC ， 3 sin 3 C ， 由bc，故C为锐角， 6 cos 3 C ， 36133 23 sinsin()sin() 323236 ABCC 18 （12 分） 已知三棱锥MABC中，2 2MAMBMCAC，2ABBC，O为AC 的中点，点N在校BC上，且 2 3 BNBC （1）证明：BO 平面AMC； （2）求二面角NAMC的正弦值 第 18 页（共 24 页） 【解答】解：(1)如图所示： 连接OM，AC，OM相交于O， 在ABC中：2,2 2ABBCAC，则90 ,2ABCBO，OBAC 在MAC中：2 2MAMCAC，O为AC的中点，则OMAC，且6OM

32、在MOB中：2,6,2 2BOOMMB，满足： 222 BOOMMB 根据勾股定理逆定理得到OBOM， 故OB 平面AMC； （2）因为OB，OC，OM两两垂直，建立空间直角坐标系Oxyz如图所示 因为2 2MAMBMCAC，2ABBC 第 19 页（共 24 页） 则(0,2,0), ( 2,0,0),(0, 2,0),(0,0, 6)ABCM， 由 2 3 BNBC所以， 2 2 2 (,0) 33 N 设平面MAN的法向量为( , , )mx y z，则 2 5 225 2 (,0) ( , , )0, 3333 (0, 2, 6) ( , , )260 AN nx y zxy AM n

33、x y zyz 令3y ，得( 5 3, 3, 1)m ， 因为BO 平面AMC，所以( 2,0,0)OB 为平面AMC的法向量， 所以( 5 3, 3, 1)m 与( 2,0,0)OB 所成角的余弦为 5 65 3 cos, 79 279 m OB 所以二面角的正弦值为 2 5 322 79 |sin,|1() 797979 m OB 19 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) yx Eab ab 的离心率为 2 2 ，且过点(1,0)C （1）求椭圆E的方程； （2）若过点 1 ( 3 ，0)的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求 证，恒有| 2|ABCM 【解

34、答】解：() I由题意知1b ， 2 2 c a ， 又因为 222 abc解得，2a ， 所以椭圆方程为 2 2 1 2 y x （）设过点 1 (,0) 3 直线为 1 3 xty，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y 由 2 2 1 3 1 2 xty y x 得 22 (918 )12160tyty，且0 则 12 2 12 2 12 , 918 16 , 918 t yy t y y t 又因为 11 (1,)CAxy， 22 (1,)CBxy， 22 121212121212 22 444161641216 (1)(1)()()(1)()(1)0 3339918

35、3 9189 tt CA CBxxy ytytyy yty yt yyt tt 第 20 页（共 24 页） ， 所以CACB 因为线段AB的中点为M，所以| 2|ABCM 20 （12 分）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高 污水收集处理水平， 其污水处理程序如下： 原始污水必先经过A系统处理， 处理后的污水(A 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为(01)pp经化验检测，若确认达标便可直 接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放 某厂现有 4 个标准水量的A级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个 化验，也可以将若干个样本混合在一起化

36、验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的 化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达 标，则原水池的污水直接排放 现有以下四种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：平均分成两组化验； 方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：四个样本混在一起化验 化验次数的期望值越小，则方案越“优“ （1）若 2 2 3 p ，求 2 个A级水样本混合化验结果不达标的概率； （2）若 2 2 3 p ，现有 4 个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优 “？ 若“方案三”比“方案四“更“优” ，求p的取值范围 【解答】解：(1)该混合样本

37、达标的概率是 2 2 28 () 39 ， 所以根据对立事件原理，不达标的概率为 81 1 99 (2)() i方案一：逐个检测，检测次数为 4 方案二：由（1）知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为 1，概率为 8 9 ；若不达标 则检测次数为 3，概率为 1 9 故方案二的检测次数记为 2 ， 2 的可能取值为 2，4，6 其分布列如下， 第 21 页（共 24 页） 2 2 4 6 p 64 81 16 81 1 81 可求得方案二的期望为 2 6416119822 ()246 818181819 E 方案四：混在一起检测，记检测次数为 4 ， 4 可取 1，5 其分布列如下， 4

38、1 5 p 64 81 17 81 可求得方案四的期望为 4 6417149 ()15 818181 E 比较可得 42 ()()4EE，故选择方案四最“优” ()ii方案三：设化验次数为 3 ， 3 可取 2，5 3 2 5 p 3 p 3 1p 333 3 ()25(1)53Eppp； 方案四：设化验次数为 4 ， 4 可取 1，5 4 1 5 p 4 p 4 1p 444 4 ()5(1)54Eppp； 由题意得 34 34 3 ()()5354 4 EEppp 故当 3 0 4 p时，方案三比方案四更“优” 21 （12 分）已知函数( ) x e f xxlnx x （1）求( )f

39、 x的最大值； （2）若 1 ( )()1 x f xxebx x 恒成立，求实数b的取值范围 第 22 页（共 24 页） 【解答】解： （1）( ) x e f xxlnx x ，定义域(0,)， 22 1(1)(1)() ( )1 xx exxxe fx xxx ， 由1 x exx ，( )f x在(0，1增，在(1,)减，( )maxf xf（1）1e （2） 111 ( )()111 0() xxxx xxx min eexelnxxxelnxx f xxebxlnxxxebxlnxxxebxbb xxxxx 厖厖? ， 令 1 ( ) x xelnxx x x ， 2 ( ) x

40、 x elnx x x ， 令 2 ( ) x h xx elnx，( )h x在(0,)单调递增， 0x ，( )h x ，h（1）0 ( )eh x在(0,1)存在零点 0 x， 即 0 2 000 ()0 x h xx elnx， 000 1 20 000 00 1 0()() ln xxx lnx x elnxx elne xx ， 由于 x yxe在(0,)单调递增，故 00 0 1 xlnlnx x ，即 0 0 1 x e x ， ( )x在 0 (0,)x减，在 0 (x，)增， 0 00000 00 111 ( )2 x min x elnxxxx x xx ， 所以2b （

41、二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第题记分第题记分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点 3 (1,) 2 P，其参数方程 cos ( 3sin xa y 为参数） ，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线E的极坐标方程； （2）若直线l交E于点A，B，且OAOB，求证： 22 11 |OAOB 为定值，并求出这个 定值 第 23 页（共 24 页） 【解答】解：() I将

42、点 3 (1, ) 2 P代入曲线E的方程， 得 1cos , 3 3sin, 2 a 解得 2 4a ， 所以曲线E的普通方程为 22 1 43 xy ， 极坐标方程为 222 11 ( cossin)1 43 （）不妨设点A，B的极坐标分别为 1212 (, ), (,),0,0 2 AB ， 则 2222 11 2222 22 11 (cossin)1, 43 11 (cos ()sin ()1, 4232 即 22 2 1 22 2 2 111 cossin, 43 111 sincos, 43 22 12 11117 4312 ，即 22 117 |12OAOB 选修选修 4-5 不

43、等式选讲不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |1|21|f xxxm （1）求不等式( )f xm的解集； （2）若恰好存在 4 个不同的整数n，使得( ) 0f n ，求m的取值范围 【解答】解： （1）由( )f xm，得|1|21| 0xx，即|1| |21|xx， 不等式两边同时平方，得 22 (1)(21)xx， 即 2 20xx，解得20x ， 不等式( )f xm的解集为 | 20xx ； （2）设( ) |1|21|g xxx， 1 2 2 1 ( )31 2 21 xx g xxx xx ， ( 2)(0)0gg，( 3)1g ，( 4)2g ，g（1）3 ， 又恰好存在 4 个不同的整数n，使得( ) 0f n ， 第 24 页（共 24 页） ( 3) 0 ( 4)0 f f ，即 10 20 m m ，解得12m， 故m的取值范围为1，2)