2020年湖南省郴州市高考数学一模试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 21 页） 2020 年湖南省郴州市高考数学一模试卷（理科）年湖南省郴州市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.每小题有且只有一项是符合题目要每小题有且只有一项是符合题目要 求的求的. 1 （5 分）设集合 1 |22 2 x Ax， |0Bx lnx，则(AB ) A 1 (0, ) 2 B 1，0) C 1 ,1) 2 D 1，1 2 （5 分）若复数1 1 a Z i 为纯虚数，则实数(a ) A2 B1 C1 D2 3 （5 分）下列结论中正确的个数是( ) 在ABC中，若si

2、n2sin2AB，则ABC是等腰三角形； 在ABC中，若sinsinAB，则AB； 两个向量,a b共线的充要条件是存在实数，使ba； 等差数列的前n项和公式是常数项为 0 的二次函数 A0 B1 C2 D3 4 （5 分）已知向量(2,3)a ，(3,)bm，且ab，则向量a在ab方向上的投影为( ) A 26 2 B13 C 26 2 D13 5 （5 分）郴州市某校高一(10)班到井冈山研学旅行，决定对甲、乙、丙、丁这四个景馆进 行研学体验， 但由于是高峰期， 景馆为高一(10)班调整了路线， 规定不能最先去甲景馆研学， 不能最后去乙景馆和丁景馆研学， 如果你是该班同学， 你能为这次愉快

3、的研学旅行设计多少 条路线( ) A24 B18 C16 D10 6 （5 分）函数cosyxx的大致图象是( ) A B 第 2 页（共 21 页） C D 7 （5 分）我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个 节气晷()gui长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长） 二十 四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个晷长的变化量相同，周而复始若冬至晷长一丈四 尺五寸，夏至晷长二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸） ，则夏至之后的第三个节气（立 秋）晷长是( ) A五寸 B二尺五寸 C五尺五寸 D四尺五寸 8 （5 分）已知x，y满足约束条件 34

4、 4 2 xy y xy ，若(0)Zaxy a的最大值是 16，则a的 值为( ) A2 B 1 2 C4 D 1 4 9 （5 分）已知双曲线 2 2 1 3 y x 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，圆 22 1xy上的点到直线 360xy的距离最小值为m，若双曲线上一点P，使 21 12 sin sin PF F m PFF ，则 221 F P F F的 值为( ) A3 B2 C3 D2 10 （5 分）丹麦数学家琴生()Jensen是 19 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在 第 3 页（共 21 页） 函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果 设函数( )f x

5、在( , )a b上的导函数为( )f x， ( )fx在( , )a b上的导函数为( )fx，若在( , )a b上( )0fx恒成立，则称函数( )fx在( , )a b上 为“凸函数已知 2 ( ) 2 x m f xexlnxx在(1,4)上为“凸函数” ，则实数m的取值范围是( ) A(，21e B1e，) C 4 1 ,) 4 e D( ,)e 11（5 分） 已知函数( )sinf xxx， 若正实数a，b满足 12 ( )(1)0ff ab ， 则 34 12 ab ab 的最小值为( ) A7 B74 3 C54 3 D72 3 12 （5 分） 在边长为2 3的菱形ABC

6、D中，60BAD， 沿对角线BD对折， 使得A到 A ， 且3 3A C，则四面体A BCD外接球表面积为( ) A34 B32 C17 D28 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填写在答题卡相应位置上把答案填写在答题卡相应位置上. 13 （5 分）在 6 1 ()x x 的展开式中，常数项是 （用数字作答） 14（5 分） 设等差数列 n a满足 1 3a ， 4 24S ， 1 1 n nn b a a ， 则数列 n b的前n项和为 15 （5 分）如图，B是AC上一点，以AB，BC，AC为直径作半圆过B作BDAC

7、， 与半圆相交于D，8AC ，15BD ，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部 分的概率是 16 （5 分）已知直线:210l kxyk 与椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 交于A、B两点， 与圆 22 2:( 2)(1)1Cxy交于C、D两点若存在 3 2 k ，1，使得ACDB，则椭 圆 1 C的离心率的取值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17 题题-21 题为必考题题为必考题.22 第 4 页（共 21 页） 题、题、23 题为选考题题为选考题. 17 （12 分

8、）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且向量(2,cos)nacC 与向量( ,cos )mbB共线 （）求角B的大小； （）若2BDDC，且1CD ，7AD ，求三角形ABC的面积 18 （12 分）如图，在五棱锥PABCDE中，PA 平面ABCDE，/ /ABCD，/ /ACED， / /AEBC，45ABC，2 2AB ，24BCAE，PAB是等腰三角形 （）求证：CD 平面PAC； （）求由平面PAC与平面PED构成的锐二面角的余弦值 19 （12 分）郴州某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶 6 元，售 价每瓶 8 元，未售出的饮料降价处理，以每瓶

9、3 元的价格当天全部处理完根据往年销售经 验，每天需求量与当天最高气温（单位：C) 有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的 频数分布表： 最高气温 10，15) 15，20) 20，25) 25，30) 30，35) 35，40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 （）求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：瓶）的分布列； （）设六月份一天销售这种饮料的利

10、润为Y（单位：元） ，当六月份这种饮料一天的进货 量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 20 （12 分）已知点 2 (1,) 2 M在椭圆上 22 22 :1(0) xy Eab ab ，点( 2 ,2 )Nab为平面上一 第 5 页（共 21 页） 点，0 为坐标原点 （）当|ON取最小值时，求椭圆E的方程； （）对（1）中的椭圆E，P为其上一点，若过点(2,0)Q的直线l与椭圆E相交于不同的 两点S和T，且满足(0)OSOTtOP t，求实数t的取值范围 21 （12 分）设函数( ) x f xxlnxae， 2 1 ( ) 2 xmxx，其中aR，e是自然对数的底数 （

11、）若( )f x在(0,)上存在两个极值点，求a的取值范围； （） 当 1 ( )0f e ， 设( )( )( )F xf xx，mR， 若( )F x在(0,)上存在两个极值点 1 x， 2 x，且 12 xx，求证： 2 12 x xe 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.选修选修 4-4：坐标系：坐标系 与参数方程与参数方程 22（10分） 在平面直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 1cos ( sin x y 为参数， 且0， ，以原点 0 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l

12、的极坐标方程为 sin()2 6 （）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程； （）设点M在曲线C上，求点M到直线l距离的最小值与最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设( ) |21| 2f xx，( ) |2 |1|g xxax （）求不等式( ) |4|f xx的解集； （）若对任意的 1 x， 2 xR，使得 12 ()()f xg x，求实数a的取值范围 第 6 页（共 21 页） 2020 年湖南省郴州市高考数学一模试卷（理科）年湖南省郴州市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题

13、小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.每小题有且只有一项是符合题目要每小题有且只有一项是符合题目要 求的求的. 1 （5 分）设集合 1 |22 2 x Ax， |0Bx lnx，则(AB ) A 1 (0, ) 2 B 1，0) C 1 ,1) 2 D 1，1 【解答】解：集合 11 |22 | 1 22 x Axxx剟 |0 |01Bx lnxxx剟， 则 11 |0(0, ) 22 ABxx 故选：A 2 （5 分）若复数1 1 a Z i 为纯虚数，则实数(a ) A2 B1 C1 D2 【解答】解： (1) 111 1(1)(1)22 aaiaa Zi iii 为纯虚数， 10

14、 2 a ，即2a 故选：D 3 （5 分）下列结论中正确的个数是( ) 在ABC中，若sin2sin2AB，则ABC是等腰三角形； 在ABC中，若sinsinAB，则AB； 两个向量,a b共线的充要条件是存在实数，使ba； 等差数列的前n项和公式是常数项为 0 的二次函数 A0 B1 C2 D3 【解答】解：对于在ABC中，0A，022A，同理022B， 若sin2sin2AB，则22AB或22AB， 即AB，或 2 AB ， 所以ABC是等腰三角形或直角三角形错误 对于在ABC中，由正弦定理可得sinsinABabAB，故正确 第 7 页（共 21 页） 对于当0a ，而0b 时，不存在

15、实数，使ba；故错误 对于，当等差数列是常数列时，例如2 n a ，前n项和为2 n Sn，不是二次函数，故错 误 所以正确的是， 故选：B 4 （5 分）已知向量(2,3)a ，(3,)bm，且ab，则向量a在ab方向上的投影为( ) A 26 2 B13 C 26 2 D13 【解答】解：ab，0a b ，2330m ，2m ； (3, 2)b ，(5,1)ab，|26ab，()13a ab； 则向量a在ab方向上的投影为： ()1326 2|26 a ab ab 故选：C 5 （5 分）郴州市某校高一(10)班到井冈山研学旅行，决定对甲、乙、丙、丁这四个景馆进 行研学体验， 但由于是高峰

16、期， 景馆为高一(10)班调整了路线， 规定不能最先去甲景馆研学， 不能最后去乙景馆和丁景馆研学， 如果你是该班同学， 你能为这次愉快的研学旅行设计多少 条路线( ) A24 B18 C16 D10 【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论： ，最后去甲景馆研学，可以将其他 3 人景馆安排在前 3 个位置，有 33 6A种情况， ，不安排最后去甲景馆研学，则甲景馆有 2 种安排方法，则乙景馆和丁景馆不能安排在最 后，有 2 种安排方法，最后丁景馆值域一种安排方法， 则此时有22 14 种安排方法； 故一共有6410种安排方法； 故选：D 6 （5 分）函数cosyxx的大致图象是( ) 第 8

17、 页（共 21 页） A B C D 【解答】解：由于( )cosf xxx， ()cosfxxx ， ()( )fxf x，且()( )fxf x ， 故此函数是非奇非偶函数，排除A、C； 又当 2 x 时，cosxxx， 即( )f x的图象与直线yx的交点中有一个点的横坐标为 2 ，排除D 故选：B 7 （5 分）我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个 节气晷()gui长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长） 二十 四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个晷长的变化量相同，周而复始若冬至晷长一丈四 尺五寸，夏至晷长二尺五寸（一丈等于十尺，一

18、尺等于十寸） ，则夏至之后的第三个节气（立 秋）晷长是( ) 第 9 页（共 21 页） A五寸 B二尺五寸 C五尺五寸 D四尺五寸 【解答】解：设晷影长为等差数列 n a，公差为d， 1 145a ， 13 25a， 则1451225d，解得10d 所以 10 145 10 955a， 所以夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是五尺五寸 故选：C 8 （5 分）已知x，y满足约束条件 34 4 2 xy y xy ，若(0)Zaxy a的最大值是 16，则a的 值为( ) A2 B 1 2 C4 D 1 4 【解答】 解： 画出x，y满足约束条件 34 4 2 xy y xy ， 的可行域， 如

19、图： 目标函数(0)zaxy a 最大值为 18， 即目标函数(0)zaxy a 在 4 2 y xy 的交点(6,3)M处， 目标函数z最大值为 16， 所以6416a ，所以2a 故选：A 第 10 页（共 21 页） 9 （5 分）已知双曲线 2 2 1 3 y x 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，圆 22 1xy上的点到直线 360xy的距离最小值为m，若双曲线上一点P，使 21 12 sin sin PF F m PFF ，则 221 F P F F的 值为( ) A3 B2 C3 D2 【解答】解：双曲线 2 2 1 3 y x 的1a ，3b ，2c ， 圆 22 1xy的

20、圆心(0,0)到直线360xy的距离为 6 3 13 d ， 圆上的点到直线360xy的距离的最小值为312m ， 设 1 |PFs， 2 |PFt，且P在双曲线的右支上，可得22sta ， 又 21 12 sin 2 sin PF F m PFF ，由正弦定理可得 121 212 |sin 2 |sin PFPF Fs tPFPFF ， 解得4s ，2t ， 由余弦定理可得 222 21 2441 cos 2244 PF F ， 则 221 1 242 4 F P F F 故选：B 10 （5 分）丹麦数学家琴生()Jensen是 19 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在 函数的凹凸

21、性与不等式方面留下了很多宝贵的成果 设函数( )f x在( , )a b上的导函数为( )f x， ( )fx在( , )a b上的导函数为( )fx，若在( , )a b上( )0fx恒成立，则称函数( )fx在( , )a b上 为“凸函数已知 2 ( ) 2 x m f xexlnxx在(1,4)上为“凸函数” ，则实数m的取值范围是( ) 第 11 页（共 21 页） A(，21e B1e，) C 4 1 ,) 4 e D( ,)e 【解答】解： 2 ( ) 2 x m f xexlnxx在(1,4)上为“凸函数， ( )1 x fxelnxmx ， 1 ( )0 x fxem x 在

22、(1,4)上恒成立， 1 ( ) x fxem x 在(1,4)上单调递增， 4 1 ( ) 4 fxem ， ( )0fx恒成立， 4 1 0 4 em， 4 1 4 m e 故选：C 11（5 分） 已知函数( )sinf xxx， 若正实数a，b满足 12 ( )(1)0ff ab ， 则 34 12 ab ab 的最小值为( ) A7 B74 3 C54 3 D72 3 【解答】解：( )sinf xxx， ()sin( )fxxxf x ，即( )()0f xfx， 正实数a，b满足 12 ( )(1)0ff ab ， 12 1 ab ， 2 0 1 a b a ， 1a， 则 34

23、38 7 1212 ab abab ， 38 7 2 1 2 1 a a a ， 3 74(1) 74 3 1 a a ， 当且仅当 3 4(1) 1 a a 即 3 1 2 a 时取等号，此时取得最小值74 3 第 12 页（共 21 页） 故选：B 12 （5 分） 在边长为2 3的菱形ABCD中，60BAD， 沿对角线BD对折， 使得A到 A ， 且3 3A C，则四面体A BCD外接球表面积为( ) A34 B32 C17 D28 【解答】解：如图所示： 在边长为2 3的菱形ABCD中，60BAD， 沿对角线BD对折， 使得A到 A ， 且3 3A C， 利用余弦定理解得120AMC

24、取BD的中点M，CBD和ABD的外接圆的半径为 12 2rr， 且CBD和ABD的外心 1 O和 2 O，且 1 O和 2 O到弦BD的距离 12 1dd 所以四边形 12 OO MO的外接圆的直径2OM ， 进一步利用正弦定理的应用，求出球的半径7R 所以 2 4 ( 7)28S 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填写在答题卡相应位置上把答案填写在答题卡相应位置上. 13 （5 分）在 6 1 ()x x 的展开式中，常数项是 15 （用数字作答） 【解答】解：在 6 1 ()x x 的展开式的通项公式为 3

25、 6 2 16 ( 1) r rr r TCx ， 令 3 60 2 r ，求得4r ，故 6 1 ()x x 的展开式中的常数项是 5 故答案为：15 14 （5 分）设等差数列 n a满足 1 3a ， 4 24S ， 1 1 n nn b a a ，则数列 n b的前n项和为 第 13 页（共 21 页） 11 646n 【解答】解：等差数列 n a满足 1 3a ， 4 43 2412 2 Sd ，解得2d ， 所以32(1)21 n ann， 1 11111 () (21)(23)2 2123 n nn b a annnn ， 数列 n b的前n项和为： 1 11111111111

26、() 2 355721232323646nnnn ， 故答案为： 11 646n 15 （5 分）如图，B是AC上一点，以AB，BC，AC为直径作半圆过B作BDAC， 与半圆相交于D，8AC ，15BD ，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部 分的概率是 15 32 【解答】解：整个图形为半圆，半径为 4，面积为：8； 设AC的中点为O， 则4OB ， 则在直角三角形OBD中， 22 16151BOODDB， 则3AB ，5BC ， 图形白色部分为两个半圆，半径分别为： 3 5 , 2 2 ，则白色部分面积为 92517 884 ， 则阴影部分面积为： 1715 8 44 ， 则在整个

27、图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率： 15 15 4 832 ， 故答案为： 15 32 第 14 页（共 21 页） 16 （5 分）已知直线:210l kxyk 与椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 交于A、B两点， 与圆 22 2:( 2)(1)1Cxy交于C、D两点若存在 3 2 k ，1，使得ACDB，则椭 圆 1 C的离心率的取值范围是 1 2 ， 2 2 【解答】解：直线:210l kxyk ，可化为(2)1k xy，直线l恒过定点(2,1)， 又圆 22 2:( 2)(1)1Cxy，圆心坐标为(2,1)， 直线l恒过圆 2 C的圆心，又ACDB，

28、圆心 2 C是线段AB的中点， 设点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 22 11 22 1 xy ab ， 22 22 22 1 xy ab ， 得： 2222 1212 22 0 xxyy ab ，即 12121212 22 ()()()() 0 xxxxyyyy ab ， 12 4xx， 12 2yy， 1212 22 4()2() 0 xxyy ab ， 2 12 2 12 2yyb k xxa ， 3 2 k ，1， 2 2 13 24 b a 剟， 2 2 2 1 b e a ， 2 11 42 e剟， 12 22 e剟， 故答案为： 1 2 ， 2 2 三、

29、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17 题题-21 题为必考题题为必考题.22 题、题、23 题为选考题题为选考题. 第 15 页（共 21 页） 17 （12 分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且向量(2,cos)nacC 与向量( ,cos )mbB共线 （）求角B的大小； （）若2BDDC，且1CD ，7AD ，求三角形ABC的面积 【解答】解： （）向量(2,cos)nacC与向量向量( ,cos )mbB共线 (2)coscosacBbC， 由正弦定理可得：(2sinsin)cos

30、sincosACBBC， 2sincossin()sinABBCA， 又sin0A ， 1 cos 2 B ， 又0B， 3 B （）2BDDC，且1CD ，7AD ， 2BD，3BC ， 在ABD中， 由余弦定理得 22 2cosADBDAB BDB， 即 2 74 2A BA B ， 解之得3AB ， 或1AB （舍)， 1139 3 sin3 3 2224 ABC SAB BCB 18 （12 分）如图，在五棱锥PABCDE中，PA 平面ABCDE，/ /ABCD，/ /ACED， / /AEBC，45ABC，2 2AB ，24BCAE，PAB是等腰三角形 （）求证：CD 平面PAC；

31、（）求由平面PAC与平面PED构成的锐二面角的余弦值 第 16 页（共 21 页） 【解答】解： （）在ABC中，45ABC，4,2 2BCAB， 222 2 2cos4581622 248 2 ACABBCAB BC ， 222 BCABAC， 90BAC， ABAC， 由/ /ABCD得，CDAC， 又PA 平面ABCDE，CD 面ABCDE，故PACD， 又PAACA， CD平面PAC； （）以A为原点，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角 坐标系，四边形ACDE为直角梯形，则得： (2,2 2,0),(2, 2,0)DE，(0,0,2 2)P， (2,2 2

32、, 2 2)PD ，(2, 2, 2 2)PE ， 设( , , )mx y z是平面PDE的法向量，则： 0 0 PD m PE m ， 22 22 20 222 20 xyz xyz ， 20 0 xz y ，取1z ，得2x ，0y ， 平面PDE的一个法向量为( 2,0,1)m ， 易知平面PAC的一个法向量为(2 2,0,0)nAB， 第 17 页（共 21 页） 设所求的二面角为，则 |4 22 5 cos |552 2 m n m n 19 （12 分）郴州某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶 6 元，售 价每瓶 8 元，未售出的饮料降价处理，以每瓶 3 元的

33、价格当天全部处理完根据往年销售经 验，每天需求量与当天最高气温（单位：C) 有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的 频数分布表： 最高气温 10，15) 15，20) 20，25) 25，30) 30，35) 35，40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 （）求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：瓶）的分布列； （）设六月份一天销售这种饮料的利润为Y（

34、单位：元） ，当六月份这种饮料一天的进货 量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 【解答】解： （）易知需求量X可取 200，300，500， 2161 (200) 3035 P X ； 362 (300) 3035 P X ； 25742 (500) 3035 P X ； 则分布列为： X 200 300 500 P 1 5 2 5 2 5 （）当200n时，(86)2Ynn，此时400 max Y，当200n 时取得 当200300n 时， 4181000351000 22002(200)(3)200 55555 nn Ynnnn ， 此时500 max Y，当300n 时取到

35、， 当300500n 时， 第 18 页（共 21 页） 12240005 2002(200) ( 3)3002(300) ( 3)2800 5555 n Ynnnn ， 此时500Y 当500n时，易知Y一定小于的情况 综上所述，当300n 时，Y取到最大值为 500 20 （12 分）已知点 2 (1,) 2 M在椭圆上 22 22 :1(0) xy Eab ab ，点( 2 ,2 )Nab为平面上一 点，0 为坐标原点 （）当|ON取最小值时，求椭圆E的方程； （）对（1）中的椭圆E，P为其上一点，若过点(2,0)Q的直线l与椭圆E相交于不同的 两点S和T，且满足(0)OSOTtOP t

36、，求实数t的取值范围 【解答】解： （）由点 2 (1,) 2 M在椭圆E上，可得 22 11 1 2ab ， 22 2222 2222 114 |24(24)()4442 2 2 ba ONabab abab ， 当 且 仅 当 22 2ab时取等号， 由 22 22 11 1 2 2 ab ab ，解得： 2 2a ， 2 1b ， 椭圆E的方程为： 2 2 1 2 x y； （）如图所示： 第 19 页（共 21 页） 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为(2)yk x，设点P的坐标为 0 (x， 0) y， 将直线方程代入椭圆方程得： 2222 (12)8820kxk xk， 由

37、 4222 644(12)(82)1680kkkk ，解得 2 1 2 k ， 设 1 (S x， 1) y， 2 (T x， 2) y，则 2 12 2 8 12 k xx k ， 2 12 2 82 12 k x x k ， 由(0)OSOTtOP t，得 2 012 2 01212 2 8 12 4 (4) 12 k txxx k k tyyyk xx k ， 0t ， 2 0 2 0 2 18 12 14 12 k x tk k y tk ，代入椭圆方程得： 42 222222 3216 1 (12)(12) kk tktk ， 整理得： 2 2 2 16 12 k t k ，由 2

38、1 2 k 知， 2 04t， ( 2t ，0)(0，2) 21 （12 分）设函数( ) x f xxlnxae， 2 1 ( ) 2 xmxx，其中aR，e是自然对数的底数 （）若( )f x在(0,)上存在两个极值点，求a的取值范围； （） 当 1 ( )0f e ， 设( )( )( )F xf xx，mR， 若( )F x在(0,)上存在两个极值点 1 x， 2 x，且 12 xx，求证： 2 12 x xe 【解答】解： （）解： （1）( )1 x fxlnxae ，由题意可知，10 x lnxae 在(0,)上 有两个不同的实数根， 即 1 x lnx a e ，只需函数( )

39、g x和ya图象有两个交点， 1 1 ( ) x lnx x g x e ，易知知 1 ( )1h xlnx x 在(0,)上为减函数，且h（1）0， 当(0,1)x时，( )0g x，( )g x为增函数；当(1,)x时，( )0g x，( )g x为减函数； 所以( )maxg xg（1） 1 e ，所以 1 a e ，又当0x ，( )g x ，x ，( )0g x ， 要使( )f x在(0,)上存在两个极值点，则 1 0a e 故a的取值范围为 1 (0, ) e 第 20 页（共 21 页） （）由 1 ( )0f e ，可得0a ， 则 2 1 ( )( )( )() 2 F x

40、f xxxlnxmxx mR ( )F xlnxmx ( )F x在(0,)上存在两个极值点，不妨设 12 xx， 11 1212 221212 lnxmxlnxlnxlnxlnx m lnxmxxxxx 要证明 2 12 x xe， 只要证明： 12 2lnxlnx， 即证明 22 121211 12 2 12 1 (1) ()() 2 1 xx ln lnxlnxxxxx lnxlnx x xx x 令 2 1 (1) x t t x ，即证明 2(1) 1 t lnt t 构造函数 2(1) ( )(1) 1 t h tlntt t 2 2 (1) ( )0 (1) t h t t t

41、， ( )h t在(1,)上单调递增， ( )h th（1）0， 即( )0h t ， 12 2lnxlnx 2 12 x xe 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.选修选修 4-4：坐标系：坐标系 与参数方程与参数方程 22（10分） 在平面直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 1cos ( sin x y 为参数， 且0， ，以原点 0 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 sin()2 6 （）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程； 第 21 页（共 21 页） （

42、）设点M在曲线C上，求点M到直线l距离的最小值与最大值 【解答】解： （）曲线C的参数方程为 1cos ( sin x y 为参数，且0， 曲线C的普通方程为 22 (1)1xy，(01)y剟， 直线l的极坐标方程为sin()2 6 sincoscos sin2 66 ，即3 sincos40， 直线l的直角坐标方程为340xy （）设点(1cos ,sin )M到直线l的距离为： |2sin()3|32sin() |1cos3sin4| 66 222 d ， 0， 7 , 666 ， 1 sin(),1 62 ， 1 ,2 2 d ， 点M到直线l距离的最小值为 1 2 ，最大值为 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设( ) |21| 2f xx，( ) |2 |1|g xxax （）求不等式( ) |4|f xx的解集； （）若对任意的 1 x， 2 xR，使得 12 ()()f xg x，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）将|21| 2 |4|xx 化为： 1 2 2124 x xx 或 1 4 2 1224 x xx 或 4 1224 x xx ， 解得：3x 或 1 4 3 x 或4x， 解集为 1 | 3 x x 或3x ； （2）因为( )2f x ，( ) |2 |