2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）.docx

1、 第 1 页（共 22 页） 2020 年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合1A，2，3，4，5，0B ，2，4，6，则集合AB的子集共有( ) A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 2 （5 分）若复数 2 1 ai z i 的实部为 0，其中a为实数，则| (z ) A2 B2 C1 D 2 2 3 （5 分）已知向量(

2、1, )OAk ，(1,2)OB ，(2,0)OCk，且实数0k ，若A、B、C 三点共线，则(k ) A0 B1 C2 D3 4 （5 分）意大利数学家斐波那契的算经中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个 月可以生一对兔子， 而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子 假如没有发生死亡现象， 那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，这就是著名的 斐波那契数列，它的递推公式是 * 12( 3,) nnn aaannN ，其中 1 1a ， 2 1a 若从该数 列的前 100 项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为( ) A 1 3 B 33 10

3、0 C 1 2 D 67 100 5 （5 分）设 2 0.3a ， 0.3 ( 2)b ， 0.3 log2c ，则下列正确的是( ) Aabc Bacb Ccab Dbac 6 （5 分）如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各 6 名队员某场比赛的得分数据（单 位：分） 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值为( ) A2 和 6 B4 和 6 C2 和 7 D4 和 7 第 2 页（共 22 页） 7 （5 分）若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦距为2 5，且渐近线经过点(1, 2)，则此双 曲线的方程为( ) A 2 2 1 4 x y B 2

4、 2 1 4 y x C 22 1 416 xy D 22 1 164 xy 8 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三 棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为( ) A12 B16 C24 D32 9 （5 分）已知函数( )sin()(0) 3 f xAxb A 的最大值、最小值分别为 3 和1，关于函 数( )f x有如下四个结论： 2A ，1b ； 函数( )f x的图象C关于直线 5 6 x 对称； 函数( )f x的图象C关于点 2 (,0) 3 对称； 函数( )f x在区间 5 (,) 66 内是减函数 其中，正确的结论个数是( ) A1

5、B2 C3 D4 10 （5 分）函数 2 ( )cos(1)f xx lnxx 的图象大致为( ) 第 3 页（共 22 页） A B C D 11 （5 分）已知直三棱柱 111 ABCABC，90ABC， 1 2ABBCAA， 1 BB和 11 BC的 中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为( ) A 3 5 B 2 5 C 4 5 D 15 5 12 （ 5 分 ） 函 数( )f x是 定 义 在(0,)上 的 可 导 函 数 ，( )fx为 其 导 函 数 ， 若 ( )( )(1) x xfxf xx e，且f（2）0，则( )0f x 的解集为( ) A(0,1) B(0

6、,2) C(1,2) D(1,4) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 第 4 页（共 22 页） 13 （5 分）已知 1 sin() 43 ，则sin2 14 （ 5分 ） 在ABC中 ， 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c， 若 () ( s i ns i n)() s i nabABacC，2b ，则ABC的外接圆面积为 15 （5 分）已知一圆柱内接于一个半径为3的球内，则该圆柱的最大体积为 16 （5 分）设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，其焦距为2c

7、，O为 坐标原点，点P满足| 2OPa，点A是椭圆C上的动点，且 112 |3|PAAFFF恒成立， 则椭圆C离心率的取值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知数列 n a， 1 4a ， * 1 (1)4(1)() nn nanannN （1）求数列 n a的通项公式； （2）

8、若 1 1 n nn b a a ，求数列 n b前n项和为 n T 18 （12 分）某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y（单位：万 件）与月销售单价x（单位：元/件）之间的关系，对近 6 个月的月销售量 i y和月销售单价 (1 i x i ，2，3，6)数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示： 月销售单价x（元/件） 4 5 6 7 8 9 月销售量y（万件） 89 83 82 79 74 67 （1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直 线方程分别为：4105yx ，453yx和3104yx ，其中有且仅有一位实习员工的

9、 计算结果是正确的请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并 说明理由； （ 2 ） 若 用 2 yaxbxc模 型 拟 合y与x之 间 的 关 系 ， 可 得 回 归 方 程 为 2 0.3750.87590.25yxx ， 经计算该模型和 （1） 中正确的线性回归模型的相关指数 2 R分 别为 0.9702 和 0.9524，请用 2 R说明哪个回归模型的拟合效果更好； （3）已知该商品的月销售额为z（单位：万元） ，利用（2）中的结果回答问题：当月销售 第 5 页（共 22 页） 单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01) 参考数据：654780.91

10、 19 （12 分）如图，四边形ABCD为长方形，24ABBC，E、F分别为AB、CD的中 点，将ADF沿AF折到AD F的位置，将BCE沿CE折到B CE的位置，使得平面 AD F底面AECF，平面B CE底面AECF，连接B D （1）求证：/ /B D 平面AECF； （2）求三棱锥BAD F的体积 20 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，过点(2,0)F的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直 径，设点P的轨迹为曲线C （1）求曲线C的方程； （2）过点(2,4)A的任意直线l与曲线C交于点M，B为AM的中点，过点B作x轴的平行 线交曲线C于点D，B关于点D的对称点为N，除M以外，直线M

11、N与C是否有其它公共 点？说明理由 21 （12 分）已知函数 2 ( )(1)(1)1f xxlnxaxa x （1）当1a 时，判断函数的单调性； （2）讨论( )f x零点的个数 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定两题中任选一题作答注意：只能做所选定 的题目如果多做，则按所做的第一题计分，的题目如果多做，则按所做的第一题计分，选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线 1 C的参数方程为 2 3cos ,( sin , xt t yt 为参数，为 倾斜角

12、） ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 4sin （1）求 2 C的直角坐标方程； 第 6 页（共 22 页） （2）直线 1 C与 2 C相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为(2 3, )，若 2 | |EFPEPF，求直线 1 C的普通方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c为正数，且满足1abc证明： （1） 111 9 abc ； （2） 8 27 acbcababc 第 7 页（共 22 页） 2020 年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试

13、题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合1A，2，3，4，5，0B ，2，4，6，则集合AB的子集共有( ) A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 【解答】解：已知集合1A，2，3，4，5，0B ，2，4，6， 则集合2AB ，4 则子集共有2，4，2，4，4 个 故选：B 2 （5 分）若复数 2 1 ai z i 的实部为 0，其中a为实数，则| (z ) A2 B2 C1 D 2 2 【解答】

14、解： 2(2 )(1)22 1(1)(1)22 aiaiiaa zi iii 的实部为 0， 2a， 则2zi，则| 2z 故选：A 3 （5 分）已知向量( 1, )OAk ，(1,2)OB ，(2,0)OCk，且实数0k ，若A、B、C 三点共线，则(k ) A0 B1 C2 D3 【解答】解：向量( 1, )OAk ，(1,2)OB ，(2,0)OCk，且实数0k ， (2,2)ABOBOAk，(1, 2)BCOCOBk， A、B、C三点共线，/ /ABBC， 12 22 k k ， 由0k ，解得3k 故选：D 第 8 页（共 22 页） 4 （5 分）意大利数学家斐波那契的算经中记载

15、了一个有趣的问题：已知一对兔子每个 月可以生一对兔子， 而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子 假如没有发生死亡现象， 那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，这就是著名的 斐波那契数列，它的递推公式是 * 12( 3,) nnn aaannN ，其中 1 1a ， 2 1a 若从该数 列的前 100 项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为( ) A 1 3 B 33 100 C 1 2 D 67 100 【解答】解：从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， 可得：每三个数中有一个偶数，可得：从该数列的前

16、100 项中随机地抽取一个数，则这个数 是偶数的概率 33 100 故选：B 5 （5 分）设 2 0.3a ， 0.3 ( 2)b ， 0.3 log2c ，则下列正确的是( ) Aabc Bacb Ccab Dbac 【解答】解：10bac ， bac， 故选：D 6 （5 分）如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各 6 名队员某场比赛的得分数据（单 位：分） 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值为( ) A2 和 6 B4 和 6 C2 和 7 D4 和 7 【解答】解：由所有选项可知0x ，9y ， 再由茎叶图可知： 甲队的数据中位数为：16 20 18 2 ， 乙

17、队的数据中位数为：19 10 2 y ， 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等， 第 9 页（共 22 页） 即 1910 16 2 y ，解得7y ， 1 71216202031 6 xx 甲 ， 1 8919172728 6 x 乙 ， xx 乙甲 ，解得2x ， 故选：C 7 （5 分）若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦距为2 5，且渐近线经过点(1, 2)，则此双 曲线的方程为( ) A 2 2 1 4 x y B 2 2 1 4 y x C 22 1 416 xy D 22 1 164 xy 【解答】解：依题意可得 222 5abc， 渐近线经过点(1,

18、2)，(1, 2)在直线 b yx a 上 2ba 由可得 1 2 a b ， 则此双曲线的方程为： 2 2 1 4 y x 故选：B 8 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三 棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为( ) A12 B16 C24 D32 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：请旋转一下角度再看 第 10 页（共 22 页） 所以 11 344434416 32 V 故选：B 9 （5 分）已知函数( )sin()(0) 3 f xAxb A 的最大值、最小值分别为 3 和1，关于函 数( )f x有如下四个结论： 2

19、A ，1b ； 函数( )f x的图象C关于直线 5 6 x 对称； 函数( )f x的图象C关于点 2 (,0) 3 对称； 函数( )f x在区间 5 (,) 66 内是减函数 其中，正确的结论个数是( ) A1 B2 C3 D4 【解答】 解： 由于函数( )sin() 3 f xAxb 的最大值为 3， 最小值为1， 可得 3 1 Ab Ab ； 2A，1b ，故( )2sin()1 3 f xx 故正确； 直线 5 6 x 代入 32 x ，故函数( )f x的图象C关于直线 5 6 x 对称；正确； 点 2 (,0) 3 代入，得()2sin11 3 f x ；故函数( )f x的

20、图象C不关于点 2 (,0) 3 对称； 不正确； 当 5 (,) 66 x 时，( 32 x ， 7 ) 6 故函数( )f x在区间 5 (,) 66 内是减函数正确； 正确的结论个数是：3 个； 故选：C 10 （5 分）函数 2 ( )cos(1)f xx lnxx 的图象大致为( ) 第 11 页（共 22 页） A B C D 【解答】解： 22 ()cos()(1)cos(1)( )fxx lnxxx lnxxf x ， 函数( )f x为奇函数，其图象关于原点对称，故排除AD； 当x时， 22 ( )cos(1)(1)0flnln ，故排除C 故选：B 11 （5 分）已知直三

21、棱柱 111 ABCABC，90ABC， 1 2ABBCAA， 1 BB和 11 BC的 中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为( ) A 3 5 B 2 5 C 4 5 D 15 5 第 12 页（共 22 页） 【解答】解：分别以直线BA，BC， 1 BB为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则： (2A，0，0)，(0E，0，1)，(0C，2，0)，(0F，1，2)， ( 2,0,1),(0, 1,2)AECF ， 22 cos, 5|55 AE CF AE CF AE CF ， AE与CF夹角的余弦值为 2 5 故选：B 12 （ 5 分 ） 函 数( )f x是 定

22、义 在(0,)上 的 可 导 函 数 ，( )fx为 其 导 函 数 ， 若 ( )( )(1) x xfxf xx e，且f（2）0，则( )0f x 的解集为( ) A(0,1) B(0,2) C(1,2) D(1,4) 【解答】解：令( )( )g xxf x，则( )( )( )(1) x g xxfxf xx e， 当(0,1)x时，( )0g x，( )g x单调递增，当(1,)x时，( )0g x，函数单调递减， 又因为f（2）0，所以g（2）2f（2）0，(0)0g， 由( )0f x 可得，( )0xf x 即( )0g x ， 所以02x 故选：B 二、填空题：本大题共二、

23、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 1 sin() 43 ，则sin2 7 9 第 13 页（共 22 页） 【解答】解： 1 sin() 43 ， 2 7 sin2cos(2)cos2()2sin ()1 2449 ， 故答案为 7 9 14 （ 5分 ） 在ABC中 ， 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c， 若 () ( s i ns i n)() s i nabABacC，2b ，则ABC的外接圆面积为 4 3 【解答】解：ABC中，由()(sinsin )()sin0abABacC， 利用正弦定理可得：()()(

24、)0ab abac c，即 222 acba， 222 1 cos 22 acb B ac ， 3 B 2b ， 设ABC的外接圆半径为R，可得 2 2 sin3 2 b R B ，可得 2 3 3 R ，可得ABC的外接圆 面积 2 4 3 SR 故答案为： 4 3 15 （5 分）已知一圆柱内接于一个半径为3的球内，则该圆柱的最大体积为 4 【解答】解：作出轴截面如右 设圆柱体的底面半径为r， 则球心到底面的距离（即圆柱高的一半）为d， 则 2 3dr， 则圆柱的高为 2 2 3hr， 则圆柱的体积 222 222222223 62 232622(62)2()4 3 rrr Vr hrrr

25、rrrr ， 当且仅当 22 62rr，即2r 时， 第 14 页（共 22 页） 圆柱的体积取最大值，且为4 故答案为：4 16 （5 分）设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，其焦距为2c，O为 坐标原点，点P满足| 2OPa，点A是椭圆C上的动点，且 112 |3|PAAFFF恒成立， 则椭圆C离心率的取值范围是 4 5 ，1) 【解答】解：为使 112 |3|PAAFFF恒成立，只需 121 3|(|)maxFFPAAF恒成立， 由椭圆的定义可得 12 | 2AFAFa， 所以 122 | | 2| 2PAAFPAaAFPFa， 当且

26、仅当P， 2 F，A三点共线时， 取等号， 2 F在线段PA上， 又点P的轨迹是以O圆心，半径为2r的圆上，所以点P到圆内点 2 F的最大距离为半径与 2 |OF的和，即 2 |2PFac， 所以 12 | 2224PAAFPFaacaac剟， 所以64cac，即54ca，所以可得离心率 4 5 c e a ， 又1e ， 所以离心率的范围： 4 5 ，1) 故答案为： 4 5 ，1) 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 2

27、2、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知数列 n a， 1 4a ， * 1 (1)4(1)() nn nanannN （1）求数列 n a的通项公式； 第 15 页（共 22 页） （2）若 1 1 n nn b a a ，求数列 n b前n项和为 n T 【解答】解： （1）依题意，由 * 1 (1)4(1)() nn nanannN ，可得 21 28aa， 32 3212aa， 1 (1)4 nn nanan 各项相加，可得 1 8124 n naan， (44 ) 48124 2 n

28、nn nan ， 22 n an， * nN （2）由（1）知， 1 11111 () (22)(24)412 n nn b a annnn 故 12nn Tbbb 1 111 11111 ()()() 4 234 34412nn 1 111111 () 4 233412nn 1 11 () 4 22n 8(2) n n 18 （12 分）某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y（单位：万 件）与月销售单价x（单位：元/件）之间的关系，对近 6 个月的月销售量 i y和月销售单价 (1 i x i ，2，3，6)数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示： 月销售单价x（元

29、/件） 4 5 6 7 8 9 月销售量y（万件） 89 83 82 79 74 67 （1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直 第 16 页（共 22 页） 线方程分别为：4105yx ，453yx和3104yx ，其中有且仅有一位实习员工的 计算结果是正确的请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并 说明理由； （ 2 ） 若 用 2 yaxbxc模 型 拟 合y与x之 间 的 关 系 ， 可 得 回 归 方 程 为 2 0.3750.87590.25yxx ， 经计算该模型和 （1） 中正确的线性回归模型的相关指数 2 R分 别

30、为 0.9702 和 0.9524，请用 2 R说明哪个回归模型的拟合效果更好； （3）已知该商品的月销售额为z（单位：万元） ，利用（2）中的结果回答问题：当月销售 单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01) 参考数据：654780.91 【解答】解： （1）已知变量x，y具有负相关关系，故乙不对 456789 6.5 6 x ， 898382797467 79 6 y ， 代入甲和丙的回归方程验证甲正确； （2）0.97020.9524，且 2 R越大，残差平方和越小，拟合效果越好， 选用 2 0.3750.87590.25yxx 更好； （3）由题意可知， 32 0.37

31、50.87590.25zxyxxx ， 即 32 37361 884 zxxx ，则 2 97361 844 zxx 令0z ，解得 65477 9 x （舍去）或 65477 9 x 令 0 65477 9 x ，当 0 (0,)xx时，z单调递增，当 0 (xx，)时，z单调递减 当 0 xx时，商品的月销售额预报值最大， 654780.91，9.77x 当9.77x 时，商品的月销售额最大 19 （12 分）如图，四边形ABCD为长方形，24ABBC，E、F分别为AB、CD的中 点，将ADF沿AF折到AD F的位置，将BCE沿CE折到B CE的位置，使得平面 AD F底面AECF，平面B

32、 CE底面AECF，连接B D （1）求证：/ /B D 平面AECF； （2）求三棱锥BAD F的体积 第 17 页（共 22 页） 【解答】解： （1）证明：作D MAF于M，作B NEC于点N， 2ADD F ，2B CB E，90AD FCB E ， M，N为AF，CE的中点，且2D MB N， 平面AD F底面AECF，平面AD F底面AECFAF， D MAF，D M平面F，D M底面AECF， 同理：B N底面AECF，/ /D MB N， 四边形D B NM 是平行四边形，/ /B DMN ， B D 平面AECF，MN 平面AECF，/ /B D 平面AECF （2）解：设点

33、B到平面AD F的距离为h，连结NF， / /D MB N，D M平面AD F，B N平面AD F， / /B N 平面AD F， B 到平面AD F的距离与点N到平面AD F的距离相等， N为CE中点，2EF ，NFCE， / /AFCE，NFAF， 平面AD F底面AECFAF，NF 底面AECF， NF平面AD F， 点N到平面AD F的距离为2NF ， 点B到平面AD F的距离2h ， 1 222 2 AD F S ， 三棱锥BAD F的体积 112 2 22 333 BAD FAD F VSh 第 18 页（共 22 页） 20 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，过点(2,0)F

34、的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直 径，设点P的轨迹为曲线C （1）求曲线C的方程； （2）过点(2,4)A的任意直线l与曲线C交于点M，B为AM的中点，过点B作x轴的平行 线交曲线C于点D，B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共 点？说明理由 【解答】解： （1）如图，过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线2x 于 P ， 设动圆的圆心为E，半径为r，则E到y轴的距离为r，在梯形OFPH中，由中位线性质可 得22PHr， 所以| 2222PPrr ，又| 2PFr， 所以| |PF PP ， 由抛物线的定义知，点P是以(2,0)F为焦点，以直线2x 为准线的抛物线， 所以曲

35、线C的方程为： 2 8yx； （2）由(2,4)A可得A在求出C上， (i当直线l的斜率存在时，设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 21 )(2)yx ，则 2 11 8yx， 第 19 页（共 22 页） AM的中点 1 2 ( 2 x B ， 1 4) 2 y ，即 1 (1 2 x B， 1 2) 2 y ， 在方程 2 8yx中，令 1 2 2 y y ，得 21 1 (2) 8 2 y x ，所以 21 1 ( (2) 8 2 y D， 1 2) 2 y ， 设 2 (N x， 2) y，由中点坐标公式可得 211 2 21 (2) 4 22 yx x ， 又 2 11

36、8yx，代入化简 1 2 2 y x ， 所以 1 ( 2 y N， 1 2) 2 y ， 直线MN的斜率为： 11 1 2 1 111 1 (2)2 4 22 2 82 yy y y yy y x ， 所以直线MN的方程为： 11 1 4 ()yxxy y ， 将 2 1 1 8 y x 代入化简可得： 1 1 4 2 y yx y ， 将 2 8 y x 代入式整理可得 22 11 20yy yy， 22 11 440yy， 所以直线MN与抛物线相切， 所以除M点外，直线MN与C没有其他的公共点 ( )ii当直线MN的斜率不存在时(2, 4)M，(2,0)B，(0,0)D，( 2,0)N

37、， 直线MN的方程为：2yx 代入抛物线的方程可得 2 440xx， 2 4440 ， 所以除M点外，直线MN与C没有其他的公共点 综上所述，除M点外直线MN与C没有其他的公共点 21 （12 分）已知函数 2 ( )(1)(1)1f xxlnxaxa x （1）当1a 时，判断函数的单调性； 第 20 页（共 22 页） （2）讨论( )f x零点的个数 【解答】解： （1）1a 时， 2 ( )(1)21f xxlnxxx， 1 ( )23fxlnxx x ， 令 1 ( )( )23h xfxlnxx x ，则 22 11(21)(1) ( )2 xx h x xxx ， 易得函数( )

38、h x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减， 故( )h xh（1）0即( ) 0fx， 所以( )f x在(0,)上单调递减； （2） 由 2 ( ) (1 )( 1)1f xxl n x a xax 可得f（1）0， 即1x 为函数( )f x的一个零点， 设( )1g xlnxax，则( )f x的零点个数即为( )g x的不为 1 的零点个数加上 1， ( ) i当1a 时，由（1）知( )f x单调递减，且1x 是( )f x的零点，故( )f x有且只有 1 个零 点 1； ( )ii当0a时，( )g x单调递增且g（1）0， 2 2(1)(3)1 ( )11 11 xa

39、xax g xlnxaxax xx ，01x， 因为 22 (3)1(4)(3)1(4)1(1)axaxaxaxaxx ， 所以 1 ()0 4 g a ， 综上可知，( )g x在(0,)上有 1 个零点且g（1）9， 所以( )f x有 2 个零点 ()iii又 1 ( ) ax g x x ，所以当10a 时，( )g x在 1 (0,) a 上单调递增，在 1 (,) a 上单调 递减， 故( )g x的最大值 11 ()()0gln aa ， 又 2(1)2(1) ( )110 11 xx g xax xx ，且 1 ( )0 3 g， 1 ( )0 a g ee ， 所以( )g

40、x在 1 (0,) a 上有 1 个零点，在 1 (,) a 上有 1 个零点且0x 也是零点， 此时( )f x共有 3 个零点， ( )iv又 1 ( ) ax g x x ，所以当1a 时，( )g x在 1 (0,) a 上单调递增，在 1 (,) a 上单调递 减， 故( )g x的最大值 11 ()()0gln aa ， 第 21 页（共 22 页） 故( )g x没有零点，此时( )f x只有 1 个零点， 综上可得，当1a时，( )f x有 1 个零点；当10a 时，( )f x有 3 个零点，当0a时， ( )f x有 2 个零点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请

41、考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定两题中任选一题作答注意：只能做所选定 的题目如果多做，则按所做的第一题计分，的题目如果多做，则按所做的第一题计分，选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线 1 C的参数方程为 2 3cos ,( sin , xt t yt 为参数，为 倾斜角） ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 4sin （1）求 2 C的直角坐标方程； （2）直线 1 C与 2 C相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为(2 3, )，若 2 | |EF

42、PEPF，求直线 1 C的普通方程 【解答】解： （1）曲线 2 C的极坐标方程为4sin即 2 4 sin，可得普通方程： 22 4xyy （2）点P的极坐标为(2 3, )，可得直角坐标为( 2 3，0) 把直线 1 C的参数方程为 2 3cos ,( sin , xt t yt 为参数，为倾斜角） ，代入 2 C方程可得： 2 (4 3cos4sin)120tt， 2 (4 3cos4sin)480， 可得： 3 sin() 32 ，或 3 sin() 32 ，由为锐角可得： 3 sin() 32 ，解得： 0 3 则 12 4 3cos4sintt， 1 2 12t t 22 121

43、2 |()44 4()3 3 EFttt tsin ， 1212 | | | 8|sin()| 3 PEPFtttt ， 2 8 4()38|sin()| 33 sin ， 第 22 页（共 22 页） 化为：sin()1 3 ，2 6 k ，kZ 满足0 3 可得 6 直线 1 C的参数方程为： 3 2 3 2 1 2 xt yt ， 可得普通方程：32 30xy 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c为正数，且满足1abc证明： （1） 111 9 abc ； （2） 8 27 acbcababc 【解答】证明：（1） 111111 ()()332229 abcabca bc ab c abc abcabcbaaccbb aa cc b ， 当且仅当 1 3 abc时，等号成立； （2）a，b，c为正数，且满足1abc， 1cab ，10a，10b，10c， 3 (1)(1)(1)8 ()()(