2020年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 | 15Axx 剟， 2 |23Bx xx，则(AB ) A |35xx B| 15|xx 剟 C |1x x 或3x DR 2 （5 分）已知复数z满足(3)1izi ，则z的虚部为( ) Ai Bi C1 D1 3 （5 分）已知函数 3 (1) ,1

2、 ( ) ,1 xx f x lnx x ，若f（a）f（b） ，则下列不等关系正确的是( ) A 22 11 11ab B 33 ab C 2 aab D 22 (1)(1)ln aln b 4（5分） 国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019 年 9 月份共 12 个月的中国制造业采购经理指数()PMI如下图所示 则下列结论中错误的是( ) A12 个月的PMI值不低于50%的频率为 1 3 B12 个月的PMI值的平均值低于50% C12 个月的PMI值的众数为49.4% D12 个月的PMI值的中位数为50.3% 5 （5 分）已知函数( )si

3、n(2) 4 f xx 的图象向左平移(0) 个单位后得到函数 第 2 页（共 20 页） ( )sin(2) 4 g xx 的图象，则的最小值为( ) A 4 B 3 8 C 2 D 5 8 6 （5 分）已知数列 n a满足 1 2 nn aa ，且 1 a， 3 a， 4 a成等比数列若 n a的前n项和 为 n S，则 n S的最小值为( ) A10 B14 C18 D20 7 （5 分）已知 2 cos(2019) 3 ，则sin(2 )( 2 ) A 7 9 B 5 9 C 5 9 D 7 9 8 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，

4、过右顶点A且与x轴垂直的 直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为( ) A51 B2 C3 D5 9 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 11，则图中的判断条件可以为( ) A1S ？ B0S ？ C1S ？ D0S ？ 10 （5 分）过抛物线 2 :2(0)E xpy p的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛 物线上的一动点，(1,2)Q若 111 |4ABCD ，则|PFPQ的最小值是( ) A1 B2 C3 D4 11 （5 分）已知函数 3 ( )1f xxax，以下结论正确的个数为( ) 当0a 时，函数( )f x的图象的

5、对称中心为(0, 1)； 当3a时，函数( )f x在( 1,1)上为单调递减函数； 第 3 页（共 20 页） 若函数( )f x在( 1,1)上不单调，则03a； 当12a 时，( )f x在 4，5上的最大值为 15 A1 B2 C3 D4 12 （5 分） 已知四棱锥EABCD，底面ABCD是边长为 1 的正方形，1ED ，平面ECD 平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为( ) A 2 6 B 1 3 C 2 3 D1 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量(1,1)a ，|3

6、b ，(2)2ab a，则|ab 14 （5 分）为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三 5 个班进行班级 间的拔河比赛每两班之间只比赛 1 场，目前（一)班已赛了 4 场， （二)班已赛了 3 场， （三 )班已赛了 2 场， （四)班已赛了 1 场则目前（五)班已经参加比赛的场次为 15 （5 分）将底面直径为 4，高为3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的 最大值为 16 （5 分）如图，已知圆内接四边形ABCD，其中6AB ，3BC ，4CD ，5AD ， 则 22 sinsinAB 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

7、第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知数列 n a的各项都为正数， 1 2a ，且 1 1 2 1 nn nn aa aa （）求数列 n a的通项公式； （）设 2 (log) nn blga，其中 x表示不超过x的最大整数，如0.90，991lg，求 数列 n b的前 2020 项和 18（12 分） 如图， 在斜三棱柱 111 ABCABC中， 平面ABC

8、 平面 11 A ACC， 1 2CC ，ABC， 第 4 页（共 20 页） 1 ACC，均为正三角形，E为AB的中点 （）证明： 1/ / AC平面 1 BCE； （）求斜三棱柱 111 ABCABC截去三棱锥 1 BCBE后剩余部分的体积 19 （12 分）近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种 露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益根据资料显示，产出的新奇水 果的箱数x（单位：十箱）与成本y（单位：千元）的关系如下： x 1 3 4 6 7 y 5 6.5 7 7.5 8 y与x可用回归方程 yblgxa（其中 a ， b为常数）进行模拟 （

9、）若该农户产出的该新奇水果的价格为 150 元/箱，试预测该新奇水果 100 箱的利润是 多少元| （）据统计，10 月份的连续 16 天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的频率分 布直方图如图 ( ) i若从箱数在40，120)内的天数中随机抽取 2 天，估计恰有 1 天的水果箱数在80，120) 内的概率； （） 求这 16 天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值 （每组用该组区间的 中点值作代表） 参考数据与公式：设tlgx，则 t y 5 1 ()() ii i ttyy 5 2 1 () i i tt 0.54 6.8 1.53 0.45 线性回归直线 yblgxa中

10、， 1 2 1 ()() () n ii i n i i ttyy b tt ， a ybt 第 5 页（共 20 页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F， 12 | 2FF ，M 是椭圆E上的一个动点，且 12 MFF的面积的最大值为3 （）求椭圆E的标准方程； （）若( ,0)A a，(0, )Bb，四边形ABCD内接于椭圆E，/ /ABCD，记直线AD，BC的 斜率分别为 1 k， 2 k，求证： 12 k k为定值 21 （12 分）已知直线1yx是曲线( )f xalnx的切线 （）求函数( )f x的解析式

11、； （）若34 2tln，证明：对于任意0m ，( )( )h xmxxf xt有且仅有一个零点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点，x轴的正半轴为极轴已知曲线 1 C的极坐标方程为4cos8sin，P是 1 C上一动点，2OPOQ，Q的轨迹为 2 C （）求曲线 2 C的极坐标方程，并化为直角坐标方程； （）若点(0,1)M，直线l的参数方程

12、为 cos ( 1sin xt t yt 为参数） ，直线l与曲线 2 C的交点 为A，B，当|MAMB取最小值时，求直线l的普通方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知a，b，cR，xR ，不等式|1|2|xxabc恒成立 （）求证： 222 1 3 abc （）求证： 222222 2abbcca 第 6 页（共 20 页） 2020 年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的

13、四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 | 15Axx 剟， 2 |23Bx xx，则(AB ) A |35xx B| 15|xx 剟 C |1x x 或3x DR 【解答】解：由题意 |1Bx x 或3x ， 所以 |35ABxx ， 故选：A 2 （5 分）已知复数z满足(3)1izi ，则z的虚部为( ) Ai Bi C1 D1 【解答】解(3)1izi ， 1 31 i zi i ， 2zi ， 复数z的虚部为1 故选：C 3 （5 分）已知函数 3 (1) ,1 ( ) ,1 xx f x lnx x ，若f

14、（a）f（b） ，则下列不等关系正确的是( ) A 22 11 11ab B 33 ab C 2 aab D 22 (1)(1)ln aln b 【解答】解：易知( )f x在R上单调递增，故ab 因为a，b的符号无法判断，故 2 a与 2 b， 2 a与ab的大小不确定， 所以A，C，D不一定正确；B中 33 ab正确 故选：B 4（5分） 国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019 年 9 月份共 12 个月的中国制造业采购经理指数()PMI如下图所示 则下列结论中错误的是( ) 第 7 页（共 20 页） A12 个月的PMI值不低于50%的频率为

15、1 3 B12 个月的PMI值的平均值低于50% C12 个月的PMI值的众数为49.4% D12 个月的PMI值的中位数为50.3% 【解答】解：从图中数据变化看，PMI值不低于50%的月份有 4 个， 所以 12 个月的PMI值不低于50%的频率为 41 123 ，所以A正确； 由图可以看出，PMI值的平均值低于50%，所以B正确； 12 个月的PMI值的众数为49.4%，所以C正确； 12 个月的PMI值的中位数为49.6%，所以D错误 故选：D 5 （5 分）已知函数( )sin(2) 4 f xx 的图象向左平移(0) 个单位后得到函数 ( )sin(2) 4 g xx 的图象，则的

16、最小值为( ) A 4 B 3 8 C 2 D 5 8 【解答】解：把函数( )sin(2) 4 f xx 的图象向左平移(0) 个单位后得到函数 sin(22) 4 yx 的图象，即得到( )sin(2) 4 g xx 的图象， 22 44 k ，kZ，的最小值为 4 ， 故选：A 6 （5 分）已知数列 n a满足 1 2 nn aa ，且 1 a， 3 a， 4 a成等比数列若 n a的前n项和 为 n S，则 n S的最小值为( ) 第 8 页（共 20 页） A10 B14 C18 D20 【解答】解：根据题意，可知 n a为等差数列，公差2d 由 1 a， 3 a， 4 a成等比数

17、列，可得 2 111 (4)(6)aa a，解得 1 8a 所以 2 (1)981 82() 224 n n n Snn 根据单调性，可知当4n 或 5 时， n S取到最小值，最小值为20 故选：D 7 （5 分）已知 2 cos(2019) 3 ，则sin(2 )( 2 ) A 7 9 B 5 9 C 5 9 D 7 9 【解答】解：由 2 cos(2019) 3 ， 可得 2 cos() 3 ， 2 cos 3 ， 2 25 sin(2 )cos22cos121 299 故选：C 8 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂

18、直的 直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为( ) A51 B2 C3 D5 【解答】解：双曲线 22 22 :1 xy C ab ，0a ，0b 的右顶点为( ,0)A a，右焦点为( ,0)A c， M所在直线为xa，不妨设( , )M a b， MF的中点坐标为( 2 ac ，) 2 b 代入方程可得 22 22 ()( ) 22 1 acb ab ， 2 2 ()5 44 ac a ， 2 240ee，51e （负值舍去） 故选：A 第 9 页（共 20 页） 9 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 11，则图中的判断条件可以为( )

19、A1S ？ B0S ？ C1S ？ D0S ？ 【解答】解：1i ，1S 运行第一次， 1 1130 3 Slglg ，3i ，不成立； 运行第二次， 13 1150 35 Slglglg ，5i ，不成立； 运行第三次， 135 1170 357 Slglglglg ，7i ，不成立； 运行第四次， 1357 1190 3579 Slglglglglg ，9i ，不成立； 运行第五次， 13579 11110 357911 Slglglglglglg ，11i ，成立， 输出i的值为 11，结束， 故选：B 10 （5 分）过抛物线 2 :2(0)E xpy p的焦点F作两条互相垂直的弦AB

20、，CD，设P为抛 物线上的一动点，(1,2)Q若 111 |4ABCD ，则|PFPQ的最小值是( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解：显然直线AB的斜率存在且不为 0，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程 为 2 p ykx， 联立方程 2 2 2 p ykx xpy ，消去y得： 22 20xpkxp， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 12 2xxpk， 第 10 页（共 20 页） 2 1212 ()2yyk xxppkp， 由抛物线的性质可知： 2 12 |22AByyppkp， ABCD，直线CD的斜率为： 1 k ， 2 2 22 1222 | 2

21、 ()22 pppk CDppp kkk ， 22 222 11111 |2222224 kk ABCDpkpppkppk ， 22 2244ppkk， 2p， 抛物线方程为： 2 4xy，准线方程为：1y ， 设点P到准线1y 的距离为d，由抛物线的性质可知：|PFPQdPQ， 而当QP垂直于x轴时，|dPQ的值最小，最小值为213 ，如图所示： |PFPQ的最小值为 3， 故选：C 11 （5 分）已知函数 3 ( )1f xxax，以下结论正确的个数为( ) 当0a 时，函数( )f x的图象的对称中心为(0, 1)； 当3a时，函数( )f x在( 1,1)上为单调递减函数； 若函数(

22、 )f x在( 1,1)上不单调，则03a； 当12a 时，( )f x在 4，5上的最大值为 15 第 11 页（共 20 页） A1 B2 C3 D4 【解答】解：幂函数 3 yx为奇函数，其图象的对称中心为原点， 根据平移知识，当0a 时，函数 3 ( )1f xx的图象的对称中心为(0, 1)，即正确 由题意知， 2 ( )3fxxa 当11x 时， 2 33x ， 又3a，所以( )0fx在( 1,1)上恒成立， 所以函数( )f x在( 1,1)上单调递减，即正确 由题意知， 2 ( )3fxxa， 当0a时，( ) 0fx，此时( )f x在(,) 上为增函数，不合题意，故0a

23、令( )0fx，解得 3 3 a x 因为( )f x在( 1,1)上不单调，所以( )0fx在( 1,1)上有解， 所以 3 01 3 a ，解得03a，即正确 令 2 ( )3120fxx，得2x 当 4x ，5时，( )f x在 4，2和2，5上单调递增，在( 2,2)上单调递减，所以 ( )( 2) max f xf或f（5） ， 因为( 2)15f ，f（5）64，所以最大值为 64，即错误 故选：C 12 （5 分） 已知四棱锥EABCD，底面ABCD是边长为 1 的正方形，1ED ，平面ECD 平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为( ) A 2 6 B

24、1 3 C 2 3 D1 【解答】解：如图所示， 由题意可得：ED 平面ABCD时，ADE的面积最大，可得点C即点D到平面ABE的距 离最大 此时该四棱锥的体积 2 11 11 33 故选：B 第 12 页（共 20 页） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量(1,1)a ，|3b ，(2)2ab a，则|ab 3 【解答】解：由题意可得 2 |2,(2)24aab aa baa b， 42a b ，解得2a b ， 22 |23abaa bb 故答案为：3 14 （5 分）为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言

25、放弃的精神，某校高三 5 个班进行班级 间的拔河比赛每两班之间只比赛 1 场，目前（一)班已赛了 4 场， （二)班已赛了 3 场， （三 )班已赛了 2 场， （四)班已赛了 1 场则目前（五)班已经参加比赛的场次为 2 【解答】解：根据题意，画图如下， 由图可知，目前（五)班已经赛了 2 场， 故答案为：2 15 （5 分）将底面直径为 4，高为3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的 最大值为 3 【解答】 解： 欲使圆柱侧面积最大， 需使圆柱内接于圆锥 设圆柱的高为h， 底面半径为r， 则 3 23 hr ，解得 3 3 2 hr 第 13 页（共 20 页） 故 2 32 2

26、23323 ()3 22 rr Srhrrrr 侧 当1r 时，S侧的最大值为3 故答案为：3 16 （5 分）如图，已知圆内接四边形ABCD，其中6AB ，3BC ，4CD ，5AD ， 则 22 sinsinAB 4 10 3 【解答】解：由圆内接四边形的性质可得CA，DB 连接BD，在ABD中，有 222 2cosBDABADAB ADA 在BCD中， 222 2cosBDBCCDBC CDC， 所以， 2222 2cos2cosABADAB ADABCCDBC CDA， 22222222 65343 cos 2()2(6 53 4)7 ABADBCCD A AB ADBC CD ， 所

27、以 22 32 10 sin11( ) 77 Acos A， 连接AC，同理可得 22222222 63541 cos 2()2(6 354)19 ABBCADCD B AB BCAD CD ， 所以 22 16 10 sin11() 1919 Bcos B 所以 22142 194 10 sinsin32 106 10AB 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考

28、题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知数列 n a的各项都为正数， 1 2a ，且 1 1 2 1 nn nn aa aa （）求数列 n a的通项公式； （）设 2 (log) nn blga，其中 x表示不超过x的最大整数，如0.90，991lg，求 第 14 页（共 20 页） 数列 n b的前 2020 项和 【解答】解：( ) I由题意，且 1 1 2 1 nn nn aa aa ，即 22 11 20 nnnn aaaa ， 整理，得 11 ()(2)0 nnnn aaaa 数列 n a的各项都为正数， 1 20 nn aa ，即 1 2 n

29、n aa 数列 n a是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 2n n a （）由( ) I知， 22 (log)(log 2 nn blgalg) n lgn， 故 0,110 1,10100 2,1001000 3,10002020 n n n b n n ，*nN 数列 n b的前 2020 项的和为1 9029003 10214953 18（12 分） 如图， 在斜三棱柱 111 ABCABC中， 平面ABC 平面 11 A ACC， 1 2CC ，ABC， 1 ACC，均为正三角形，E为AB的中点 （）证明： 1/ / AC平面 1 BCE； （）求斜三棱柱 111 ABCABC截

30、去三棱锥 1 BCBE后剩余部分的体积 【解答】解： （）如图，连接 1 BC，交 1 BC于点M，连接ME，则 1 / /MEAC 因为 1 AC 平面 1 BCE，ME 平面 1 BCE，所以 1/ / AC平面 1 BCE 第 15 页（共 20 页） （）因为 11 BC平面ABC， 所以点 1 B到平面ABC的距离等于点 1 C到平面ABC的距离 如图，设O是AC的中点，连接 1 OC，OB 因为1ACC为正三角形，所以1OCAC， 又平面ABC 平面 11 A ACC，平面ABC平面 11 A ACCAC， 所以 1 OC 平面ABC 所以点 1 C到平面ABC的距离 1 3OC

31、， 故三棱锥 1 BBCE的体积为 1 1111 1133 3322 BBCEBCE VSOC ， 而斜三棱柱 111 ABCABC的体积为 11 11 2333 22 ABC VSOCAB CE OC ， 所以剩余部分的体积为 15 3 22 19 （12 分）近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种 露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益根据资料显示，产出的新奇水 果的箱数x（单位：十箱）与成本y（单位：千元）的关系如下： x 1 3 4 6 7 y 5 6.5 7 7.5 8 y与x可用回归方程 yblgxa（其中 a ， b为常数）进行模拟 （

32、）若该农户产出的该新奇水果的价格为 150 元/箱，试预测该新奇水果 100 箱的利润是 多少元| （）据统计，10 月份的连续 16 天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的频率分 布直方图如图 ( ) i若从箱数在40，120)内的天数中随机抽取 2 天，估计恰有 1 天的水果箱数在80，120) 内的概率； 第 16 页（共 20 页） （） 求这 16 天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值 （每组用该组区间的 中点值作代表） 参考数据与公式：设tlgx，则 t y 5 1 ()() ii i ttyy 5 2 1 () i i tt 0.54 6.8 1.53 0.45

33、 线性回归直线 yblgxa中， 1 2 1 ()() () n ii i n i i ttyy b tt ， a ybt 【解答】解（）根据题意， 1 2 1 ()() 1.53 3.4 0.45 () n ii i n i i ttyy b tt ， 6.83.40.544.964aybt， 3.44.964yt 又tlgx，3.44.964ylgx 10x时，3.44.9648.364y （千元） ， 即该新奇水果 100 箱的成本为 8364 元，故该新奇水果 100 箱的利润1500083646636 （）( ) i根据频率分布直方图，可知水果箱数在40，80)内的天数为 1 40

34、162 320 设这两天分别为a，b，水果箱数在80，120)内的天数为 1 40 164 160 ， 设这四天分别为A，B，C，D 随机抽取 2 天的基本结果为：()AB，()AC，()AD，()Aa，()Ab，()BC，()BD，()Ba， ()Bb， ()CD，()Ca，()Cb，()Da，()Db，()ab共 15 种 满足恰有 1 天的水果箱数在80，120)内的结果为：()Aa，()Ab，()Ba，()Bb，()Ca，()Cb， 第 17 页（共 20 页） ()Da，()Db共 8 种， 所以估计恰有 1 天的水果箱数在80，120)内的概率为 8 15 P （）这 16 天该农

35、户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值为： 1111 6040100401404018040125 32016080320 （箱) 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F， 12 | 2FF ，M 是椭圆E上的一个动点，且 12 MFF的面积的最大值为3 （）求椭圆E的标准方程； （）若( ,0)A a，(0, )Bb，四边形ABCD内接于椭圆E，/ /ABCD，记直线AD，BC的 斜率分别为 1 k， 2 k，求证： 12 k k为定值 【解答】解： （）设椭圆E的半焦距为c，由题意可知， 当M为椭圆E的上顶点或下顶点

36、时， 12 MFF的面积取得最大值3 所以 222 1 1 23 2 c cb abc ，所以2a ，3b ， 故椭圆E的标准方程为 22 1 43 xy （）根据题意可知(2,0)A，(0, 3)B， 3 2 AB k 因为/ /ABCD，设直线CD的方程为 3 2 yxm ， 1 (C x， 1) y， 2 (D x， 2) y 由 22 1 43 3 2 xy yxm ，消去y可得 22 64 34120xmxm， 所以 12 2 3 3 m xx，即 12 2 3 3 m xx 直线AD的斜率 1 1 1 11 3 2 22 xm y k xx ， 直线BC的斜率 2 2 2 3 3

37、2 xm k x ， 所以 12 12 12 33 3 22 2 xmxm k k xx ， 第 18 页（共 20 页） 12121 12 333 ()(3) 422 (2) x xm xxxm m xx ， 122 12 332 33 2 3 ()(3) 42323 (2) mm x xmxm m xx ， 122 12 33 3 42 (2)4 x xx xx 故 12 k k为定值 21 （12 分）已知直线1yx是曲线( )f xalnx的切线 （）求函数( )f x的解析式； （）若34 2tln，证明：对于任意0m ，( )( )h xmxxf xt有且仅有一个零点 【解答】解：

38、 （）根据题意，( ) a fx x ，设直线1yx与曲线相切于点 0 (P x， 0) y 根据题意，可得 0 00 1 1 a x alnxx ，解之得 0 1xa，因此( )f xlnx （）由（）可知( )(0)h xmxxlnxt x， 则当0x 时，( )0h x ，当x 时，( )0h x ， 所以( )h x至少有一个零点 2 11111 ( )() 1642 h xmm xxx 1 16 m，则( ) 0h x，( )h x在(0,)上单调递增，所以( )h x有唯一零点 若 1 0 16 m，令( )0h x得( )h x有两个极值点 1 x， 212 ()x xx， 所以

39、 1 11 4x ，即 1 016x 可知( )h x在 1 (0,)x上单调递增，在 1 (x， 2) x上单调递减，在 2 (x，)上单调递增 所以极大值为 1 11111111 1 1 11 ( )()1 22 x h xmxxlnxtxxlnxtlnxt xx ， 又 1 1 11 1 411 ( )0 44 x h x xxx ， 第 19 页（共 20 页） 所以 1 ()h x在(0,16)上单调递增， 则 1 ( )(16)16316334 20h xhlnt lnln，所以( )h x有唯一零点 综上可知，对于任意0m 时，( )h x有且仅有一个零点 （二）选考题：共（二）

40、选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点，x轴的正半轴为极轴已知曲线 1 C的极坐标方程为4cos8sin，P是 1 C上一动点，2OPOQ，Q的轨迹为 2 C （）求曲线 2 C的极坐标方程，并化为直角坐标方程； （）若点(0,1)M，直线l的参数方程为 cos ( 1sin xt t yt 为参数） ，直线l与曲线 2 C的交点 为A，B，当|MAMB取最小值时，求直

41、线l的普通方程 【解答】解： （）根据题意，设点P，Q的极坐标分别为 0 (，)、( , ) ， 则有 0 1 2cos4sin 2 ，故曲线 2 C的极坐标方程为2cos4sin， 变形可得： 2 2 cos4 sin， 故 2 C的直角坐标方程为 22 24xyxy，即 22 (1)(2)5xy； （）设点A，B对应的参数分别为 1 t、 2 t，则 1 |MAt， 2 |MBt， 设直线l的参数方程 cos 1sin xt yt ，(t为参数） ， 代入 2 C的直角坐标方程 22 (1)(2)5xy中， 整理得 2 2(cossin)30tt 由根与系数的关系得 12 2(cossin

42、)tt， 1 2 3t t ， 则 22 1212121 2 | | |()44(cossin)124sin216 2 3MAMBttttttt t ， 当且仅当sin21 时，等号成立， 第 20 页（共 20 页） 此时l的普通方程为10xy 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知a，b，cR，xR ，不等式|1|2|xxabc恒成立 （）求证： 222 1 3 abc （）求证： 222222 2abbcca 【解答】证明： （）|1|2|12| 1xxxx ， 1abc 22 2abab， 22 2bcbc， 22 2caac， 222 222222abcabbcca， 2222222 333222()1abcabcabbccaabc厖， 222 1 3 abc （） 22 2abab， 22222 2()2()abaabbab， 即 2 22 () 2 ab ab 两边开平方得 22 22 |() 22 ababab， 同理可得 2222 22 (),() 22 bcbccaca厖， 三式相加，得 222222 2abbcca