2020年海南省新高考数学模拟试卷（3月份）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年海南省新高考数学模拟试卷（年海南省新高考数学模拟试卷（3 月份）月份） 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 | 34Axx ， | 46Bxx ，则()( RA B ) A |46xx B | 43 |46xxxx C |46xx D | 43 |46xxxx 剟 2 （5 分）若复数z的虚部小于0,|5z ，且4zz，则(iz ) A13i B2i C12i

2、 D12i 3 （5 分） “游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）已知函数 2 ( )5f xxmx在(2,)上单调递增，则m的取值范围为( ) A4，) B2，) C(，4 D(，2 5 （5 分） 6 3 1 (2) 4 x x 的展开式的中间项为( ) A40 B 2 40x C40 D 2 40x 6 （5 分）现将五本相同的作文本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得三本的概 率是( ) A 1 6 B 1 3 C 1 12 D 2 9 7 （5 分）如图，在等腰直角ABC中，D，E分

3、别为斜边BC的三等分点(D靠近点)B， 过E作AD的垂线，垂足为F，则(AF ) A 31 55 ABAC B 21 55 ABAC C 48 1515 ABAC D 84 1515 ABAC 第 2 页（共 20 页） 8 （5 分）已知函数 2 41,0 ( ) 22 ,0, x xxx f x x 若关于x的方程( ( )1)( ( )0f xf xm恰有 5 个不同的实根，则m的取值范围为( ) A(1,2) B(1,5) C(2,3) D(2,5) 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每

4、小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求的全部选对的得多项符合题目要求的全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）如图所示的曲线图是 2020 年 1 月 25 日至 2020 年 2 月 12 日陕西省及西安市新冠 肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是( ) A1 月 31 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了 1 3 B1 月 25 日至 2 月 12 日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势 C2 月 2 日后到 2 月 10 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了 97 例 D2 月 8 日到

5、2 月 10 日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于 2 月 6 日到 2 月 8 日的增长率 10 （5 分）已知函数( )sin2sin(2) 3 f xxx ，则( ) A( )f x的最小正周期为 B曲线( )yf x关于(,0) 3 对称 C( )f x的最大值为3 D曲线( )yf x关于 6 x 对称 11 （5 分）已知P是椭圆 2 2 :1 6 x Cy上的动点，Q是圆 22 1 :(1) 5 Dxy上的动点，则 ( ) AC的焦距为5 BC的离心率为 30 6 第 3 页（共 20 页） C圆D在C的内部 D|PQ的最小值为 2 5 5 12 （5 分）如图，在正四棱柱

6、1111 ABCDABC D中， 1 2ABAA，E，F分别为AB，BC 的中点，异面直 1 AB与 1 C F所成角的余弦值为m，则( ) A 3 3 m B直线 1 AE与直线 1 C F共面 C 2 3 m D直线 1 AE与直线 1 C F异面 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若0lgxlgy，则49xy的最小值为 14 （5 分）已知P为双曲线 2 2 :1 4 y C x 右支上一点， 1 F， 2 F分别为C的左、右焦点，且 线段 12 A A， 12 B B分别为C的实轴与虚轴 若 12 |A

7、A， 12 |B B， 1 |PF成等比数列， 则 2 |PF 15（5 分） 四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直， 且1AB ， 2AC ，3AD ，则四面体ABCD的体积为 ，球O的表面积为 16（5 分） 若曲线(1) 1 x m yxex x 存在两条垂直于y轴的切线， 则m的取值范围为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在 3 cos 5 A ， 2 5 cos 5 C ，sinsinsincCAbB，60B ，2c

8、， 1 cos 8 A 三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若3a ， ， 求ABC的面积S 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18（12 分） 如图， 四棱锥PABCD的底面是正方形，E为AB的中点，PDCE，1AE ， 3PD ，13PC （1）证明：AD 平面PCD （2）求DA与平面PCE所成角的正弦值 第 4 页（共 20 页） 19 （12 分）某土特产超市为预估 2020 年元旦期间游客购买土特产的情况，对 2019 年元旦 期间的 90 位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表 购买金额 （元) 0

9、，15) 15，30) 30，45) 45，60) 60，75) 75，90 人数 10 15 20 15 20 10 （1） 根据以上数据完成22列联表， 并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的情况下认为 购买金额是否少于 60 元与性别有关 不少于 60 元 少于 60 元 合计 男 40 女 18 合计 （2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于 60 元可抽奖 3 次，每次中奖 概率为p（每次抽奖互不影响， 且p的值等于人数分布表中购买金额不少于 60 元的频率） ， 中奖 1 次减 5 元， 中奖 2 次减 10 元， 中奖 3 次减 15 元 若游客甲计划购买

10、80 元的土特产， 请列出实际付款数X（元)的分布列并求其数学期望 附参考公式和数据： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd 附表： 0 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 2 0 ()P Kk 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 20（12 分） 在数列 n a， n b中， 11 1ab， 1 331 nnn aabn ， 1 331 nnn bban 等 差数列 n c的前两项依次为 2 a， 2 b 第 5 页（共 20 页） （1）求 n c的通项公式； （2）求数列() nnn a

11、b c的前n项和 n S 21 （12 分）如图，已知点F为抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点，过点F的动直线l与抛物 线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45时，| 16MN （1）求抛物线C的方程 （2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 22 （12 分）已知函数( )2 (1)sin1f xln xx，函数( )1(g xaxblnx a ，bR，0)ab （1）讨论( )g x的单调性； （2）证明：当0x时，( ) 31f xx （3）证明：当1x 时， 2sin ( )(22) x f xxxe

12、第 6 页（共 20 页） 2020 年海南省新高考数学模拟试卷（年海南省新高考数学模拟试卷（3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 | 34Axx ， | 46Bxx ，则()( RA B ) A |46xx B | 43 |46xxxx C |46xx D | 43 |46xxxx 剟 【解答】解：根据题意，集合 | 34Axx ，则() |3

13、RA x x或4x， 又由|46Bxx，则()|43 RA Bxx或 46 | 43 |46xxxxx 剟?； 故选：D 2 （5 分）若复数z的虚部小于0,|5z ，且4zz，则(iz ) A13i B2i C12i D12i 【解答】解：设(zabi a，bR，0)b ， 由已知可得 22 5 24 ab a ，解得 2 1(0) a bb ， (2)12iziii 故选：C 3 （5 分） “游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由于三亚市在海南省， 故“游客甲在三亚市”一定推出“游客甲在海南省”

14、 ， 反之， “游客甲在海南省”推不出“游客甲在三亚市” ； 根据充分必要条件定义， “游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的必要不充分条件； 故选：B 4 （5 分）已知函数 2 ( )5f xxmx在(2,)上单调递增，则m的取值范围为( ) 第 7 页（共 20 页） A4，) B2，) C(，4 D(，2 【解答】解：函数 2 ( )5f xxmx的对称轴为 2 m x ， 函数( )f x在区间(2,)上单调递增， 2 2 m ，解得4m， 故选：C 5 （5 分） 6 3 1 (2) 4 x x 的展开式的中间项为( ) A40 B 2 40x C40 D 2 40x 【解答】解：

15、 6 3 1 (2) 4 x x 的展开式的中间项为 3332 6 3 1 (2 ) ()40 4 Cxx x 故选：B 6 （5 分）现将五本相同的作文本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得三本的概 率是( ) A 1 6 B 1 3 C 1 12 D 2 9 【解答】解：现将五本相同的作文本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本， 先每人分一本，还有 2 本相同的作文本，分给甲、乙丙三人， 基本事件总数 12 33 6nCC， 甲分得三本包含的基本数件个数1m ， 甲分得三本的概率是 1 6 m p n 故选：A 7 （5 分）如图，在等腰直角ABC中，D，E分别为斜边BC的三等分点(D靠

16、近点)B， 过E作AD的垂线，垂足为F，则(AF ) A 31 55 ABAC B 21 55 ABAC C 48 1515 ABAC D 84 1515 ABAC 【解答】解：设6BC ，则2DE ，10ADAE， 第 8 页（共 20 页） 101044 cos 2 105 DAE ， 所以 4 5 AFAF ADAE ，所以 4 5 AFAD； 因为 1121 () 3333 ADABBCABACABABAC， 所以 42184 () 5331515 AFABACABAC 故选：D 8 （5 分）已知函数 2 41,0 ( ) 22 ,0, x xxx f x x 若关于x的方程( (

17、)1)( ( )0f xf xm恰有 5 个不同的实根，则m的取值范围为( ) A(1,2) B(1,5) C(2,3) D(2,5) 【解答】解：方程( ( )1)( ( )0f xf xm即为( )1f x ，( )f xm， 当( )1f x 时，即 2 41 1xx ，解得0x ，4x ，或221 x ，解得0x （舍)， 若关于x的方程( ( )1)( ( )0f xf xm恰有 5 个不同的实根， 则( )f xm有 3 个根，即函数( )f x图象与ym有 3 个交点， 作出图象： 由图可知，(1,2)m， 故选：A 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题

18、小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求的全部选对的得多项符合题目要求的全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 第 9 页（共 20 页） 9 （5 分）如图所示的曲线图是 2020 年 1 月 25 日至 2020 年 2 月 12 日陕西省及西安市新冠 肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是( ) A1 月 31 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了 1 3 B1 月 25 日至 2 月 12 日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势

19、C2 月 2 日后到 2 月 10 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了 97 例 D2 月 8 日到 2 月 10 日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于 2 月 6 日到 2 月 8 日的增长率 【解答】解：对于:1A月 31 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比为 321 873 ，故A 正确， 对于:1B月 25 日至 2 月 12 日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势， 故B正 确， 对于:2C月 2 日后到 2 月 10 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了21311697例， 故C 正确， 对于:2D月 8 日到 2 月 10 日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率小

20、于 2 月 6 日到 2 月 8 日的增长率，故D错误， 故选：ABC 10 （5 分）已知函数( )sin2sin(2) 3 f xxx ，则( ) A( )f x的最小正周期为 B曲线( )yf x关于(,0) 3 对称 C( )f x的最大值为3 D曲线( )yf x关于 6 x 对称 第 10 页（共 20 页） 【解答】解： 13 ( )sin2sin(2)sin2sin2cos23sin(2) 3226 f xxxxxxx ， 对于A，由于( )f x的最小正周期 2 2 T ，故正确； 对于B，由于 3 ()3sin(2)0 3362 f ，故错误； 对于C，由于( )3 max

21、 f x，故正确； 对于D，由于()3sin(2)3 666 f ，故正确； 故选：ACD 11 （5 分）已知P是椭圆 2 2 :1 6 x Cy上的动点，Q是圆 22 1 :(1) 5 Dxy上的动点，则 ( ) AC的焦距为5 BC的离心率为 30 6 C圆D在C的内部 D|PQ的最小值为 2 5 5 【解答】解：由椭圆方程可得， 2 6a ， 2 1b ， 222 5cab，所以焦距22 5c ，A 不正确； 离心率 530 66 c e a ，所以B正确； 由1c 可得，圆D的圆心为椭圆的左焦点(5，0)，由椭圆的性质可得距离左焦点最近的 点为左顶点，所以椭圆上距离圆D的圆心的最小值

22、为61ac大于圆的半径 5 5 ，所以 圆D在椭圆的内部，所以C正确； 由题意可得|PQ的最小值为： 55 161 55 a ，所以D不正确 故选：BC 12 （5 分）如图，在正四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 2ABAA，E，F分别为AB，BC 的中点，异面直 1 AB与 1 C F所成角的余弦值为m，则( ) 第 11 页（共 20 页） A 3 3 m B直线 1 AE与直线 1 C F共面 C 2 3 m D直线 1 AE与直线 1 C F异面 【解答】解：如图，连接 1 DC，DF，则 11 / /DCAB， 1 DC F为异面直线 1 AB与 1 C F所成的角， 1

23、 2ABAA， 1111 ABCDABC D为正四棱柱，E，F分别为AB，BC的中点， 设 1 2AA ， 则2AB ， 11 6,3,5C DC FDF， 在 1 DFC中，根据余弦定理， 1 6352 cos 3263 DC F ， 2 3 m ； 连接 11 AC，AC，EF，则 11/ / ACAC，/ /EFAC， 11 / /EFAC， 1 AE与 1 C F共面 故选：BC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若0lgxlgy，则49xy的最小值为 12 第 12 页（共 20 页） 【解答】解：由0

24、lgxlgylgxy，可得1xy ，0x ，0y ， 所以492 4(9 )12xyxy， 当且仅当49xy且1xy 即 2 3 y ， 3 2 x 时取等号，此时取最小值 12 故答案为：12 14 （5 分）已知P为双曲线 2 2 :1 4 y C x 右支上一点， 1 F， 2 F分别为C的左、右焦点，且 线段 12 A A， 12 B B分别为C的实轴与虚轴若 12 |A A， 12 |B B， 1 |PF成等比数列，则 2 |PF 6 【解答】解：由双曲线的方程 2 2 1 4 y x ，则1a ，2b ，所以 12 | 2A A ， 12 | 4B B ， 由 12 |A A， 1

25、2 |B B， 1 |PF成等比数列，即 2 12121 | |B BA APF，则 1 162 |PF ， 所以 1 | 8PF ， 由P在双曲线的右支上，则 12 | 2PFPF，所以 2 | 6PF ， 故答案为：6 15（5 分） 四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直， 且1AB ， 2AC ，3AD ，则四面体ABCD的体积为 1 ，球O的表面积为 【解答】解：AB，AC，AD两两垂直，且1AB ，2AC ，3AD ， 四面体ABCD的体积 11 1 231 32 ， 把此三棱锥补形为长方体，球的直径即为长方体的对角线 设球O的半径为r，则 2222 (

26、2 )12314r 其表面积 2 414r 故答案为：1，14 16 （5 分）若曲线(1) 1 x m yxex x 存在两条垂直于y轴的切线，则m的取值范围为 4 ( 27e，0) 【解答】解：曲线(1) 1 x m yxex x 存在两条垂直于y轴的切线， 函数(1) 1 x m yxex x 存在两个极值点， 第 13 页（共 20 页） 2 (1)0 (1) x m yx e x 在(, 1) 上有两个解， 即 3 (1) x mxe在(, 1) 上有两异根， 即直线ym与 3 (1) x yxe在(, 1) 上有两个交点 令 3 ( )(1)(1) x g xxex ， 则 23

27、( )3(1)(1) xx g xxexe 2 (1)(4)(1) x xexx ， 当4x 时，( )0g x，当41x 时，( )0g x， ( )yg x在区间(, 4) 上单调递减，在区间( 4, 1)上单调递增， 4 ( )427g xge 极小值 又当x 时，( )0g x ，当1x 时，( )0g x ， 4 270em 时，满足题意， 故答案为： 4 ( 27e，0) 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在 3 cos 5 A ， 2 5 cos

28、 5 C ，sinsinsincCAbB，60B ，2c ， 1 cos 8 A 三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3a ， （或或) ，求 ABC的面积S 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【解答】解：选 3 cos 5 A ， 2 5 cos 5 C ， 4 sin 5 A ， 5 sin 5 C ， 42 53511 5 sinsin()sincoscossin 555525 BACACAC， 由正弦定理得 11 5 3 sin33 5 25 4 sin20 5 aB b A ， 第 14 页（共 20 页）

29、 1133 5599 sin3 2220540 SabC 选 sinsinsincCAbB， 由正弦定理得 22 cab 3a ， 22 3bc 又60B ， 222 1 9233 2 bccc ， 4c ， 1 sin3 3 2 SacB 选 2c ， 1 cos 8 A ， 由余弦定理得 222 123 822 b b ，即 2 50 2 b b ， 解得 5 2 b 或2b （舍去） 又 3 7 sin 8 A， ABC的面积 1153 715 7 sin2 222816 SbcA 18（12 分） 如图， 四棱锥PABCD的底面是正方形，E为AB的中点，PDCE，1AE ， 3PD ，

30、13PC （1）证明：AD 平面PCD （2）求DA与平面PCE所成角的正弦值 【解答】 解：（1） 证明： 四棱锥PABCD的底面是正方形，E为AB的中点，1AE ，3PD ， 第 15 页（共 20 页） 13PC ADCD，22ABAE， 222 PDCDPC，PDCD， PDCE，CDCEC， PD平面ABCD，ADPD， CDPDD，AD平面PCD （2）解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系， (0D，0，0)，(2A，0，0)，(0P，0，3)，(0C，2，0)，(2E，1，0)， (2DA ，0，0)，(0PC ，2，3)，(2PE ，1，3)，

31、 设平面PCE的法向量(nx，y，) z， 则 230 230 n PCyz n PExyz ，取2z ，得 3 (2n ，3，2)， 设DA与平面PCE所成角为， 则DA与平面PCE所成角的正弦值为： |33 61 sin 61| |61 2 4 DA n DAn 19 （12 分）某土特产超市为预估 2020 年元旦期间游客购买土特产的情况，对 2019 年元旦 期间的 90 位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表 购买金额 （元) 0，15) 15，30) 30，45) 45，60) 60，75) 75，90 人数 10 15 20 15 20 10 第 16 页（共 20 页） （

32、1） 根据以上数据完成22列联表， 并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的情况下认为 购买金额是否少于 60 元与性别有关 不少于 60 元 少于 60 元 合计 男 40 女 18 合计 （2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于 60 元可抽奖 3 次，每次中奖 概率为p（每次抽奖互不影响， 且p的值等于人数分布表中购买金额不少于 60 元的频率） ， 中奖 1 次减 5 元， 中奖 2 次减 10 元， 中奖 3 次减 15 元 若游客甲计划购买 80 元的土特产， 请列出实际付款数X（元)的分布列并求其数学期望 附参考公式和数据： 2 2 () ()()()() n

33、 adbc K ab cd ac bd ，nabcd 附表： 0 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 2 0 ()P Kk 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 【解答】解： （1）22列联表如下： 不少于 60 元 少于 60 元 合计 男 12 40 52 女 18 20 38 合计 30 60 90 2 2 90(122040 18)1440 53.841 30605238247 K ， 因此能在犯错误的概率不超过 0.05 的情况下认为购买金额是否少于 60 元与性别有关 （2）X可能取值为 65，70，75，80，且 10201 90

34、3 p 33 3 11 ()65( ) 327 P XC， 22 3 122 (70)( ) 339 P XC， 12 3 124 (75)( ) 339 P XC， 03 3 28 (80)( ) 327 P XC， X的分布列为 X 65 70 75 80 第 17 页（共 20 页） P 1 27 2 9 4 9 8 27 1248 6570758075 279927 EX 20（12 分） 在数列 n a， n b中， 11 1ab， 1 331 nnn aabn ， 1 331 nnn bban 等 差数列 n c的前两项依次为 2 a， 2 b （1）求 n c的通项公式； （2）

35、求数列() nnn ab c的前n项和 n S 【解答】解： （1） 11 1ab， 1 331 nnn aabn ， 1 331 nnn bban ， 可得 211 33 13 13 12aab ， 211 33 13 13 16bba ， 则 1 2c ， 2 6c ，等差数列 n c的公差为6( 2)8 ， 则28(1)810 n cnn ； （2） 1 331 nnn aabn ， 1 331 nnn bban ， 两式相加可得 11 2() nnnn abab ， 可得 nn ab为首项和公比均为 2 的等比数列， 则2n nn ab， 可得()(810) 2n nnn ab cn，

36、 则前n项和( 2) 26 414 8(810) 2n n Sn ， 1 2( 2) 46 814 16(810) 2n n Sn ， 两式相加可得 1 48(482 )(810) 2 nn n Sn 1 1 4(12) 48(810) 2 12 n n n ， 化简可得 2 36(49) 2n n Sn 21 （12 分）如图，已知点F为抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点，过点F的动直线l与抛物 线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45时，| 16MN 第 18 页（共 20 页） （1）求抛物线C的方程 （2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，

37、求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）当l的斜率为 1 时，(,0) 2 p F，l的方程为 2 p yx 由 2 , 2 2, p yx ypx 得 2 2 30 4 p xpx 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，则 12 3xxp， 12 |416MNxxpp，4p ， 抛物线C的方程为 2 8yx （2）法一：假设满足条件的点P存在，设( ,0)P a，由（1）知(2,0)F， 当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为(2)(0)yk xk， 由 2 (2), 8 , yk x yx 得 2222 (48)40k xkxk， 22222 ( 48

38、)4464640kkkk， 2 12 2 48k xx k ， 12 4x x 直线PM，PN关于x轴对称， 0 PMPN kk， 1 1 (2) PM k x k xa ， 2 2 (2) PN k x k xa 12211212 8(2) (2)()(2)()2(2)()4 0 a k xxak xxakx xaxxa k ， 2a 时，此时( 2,0)P 当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性， 易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可 综上，存在唯一的点( 2,0)P ，使直线PM，PN关于x轴对称 第 19 页（共 20 页） 法二：假设满足条件的点P存在，设( ,0

39、)P a，由（1）知(2,0)F， 显然，直线l的斜率不为 0，设:2l xmy， 得 2 8160ymy， 则 12 8yym， 1 12 1 16. PM y y yk xa ， 2 2 PN y k xa ， 2112 0()()0 PMPN kkxa yxa y， 21121212 (2)(2)0.2(2)()2( 16)(2) 80mya ymya ymy ya yymam ， 2a ，存在唯一的点( 2,0)P ，使直线PM，PN关于x轴对称 22 （12 分）已知函数( )2 (1)sin1f xln xx，函数( )1(g xaxblnx a ，bR，0)ab （1）讨论( )

40、g x的单调性； （2）证明：当0x时，( ) 31f xx （3）证明：当1x 时， 2sin ( )(22) x f xxxe 【解答】解： （1）( )g x的定义域为(0,)，( ) axb g x x ， 当0a ，0b 时，( )0g x，则( )g x在(0,)上单调递增； 当0a ，0b 时，令( )0g x，得 b x a ， 令( )0g x，得0 b x a ，则( )g x在(0,) b a 上单调递减，在(,) b a 上单调递增； 当0a ，0b 时，( )0g x，则( )g x在(0,)上单调递减； 当0a ，0b 时，令( )0g x，得0 b x a ， 令

41、( )0g x，得 b x a ，则( )g x在(0,) b a 上单调递增，在(,) b a 上单调递减； （2）证明：设函数( )( )(31)h xf xx，则 2 ( )cos3 1 h xx x 第 20 页（共 20 页） 0x， 2 (0,2 1x ，cos 1x ，1， 则( ) 0h x，从而( )h x在0，)上单调递减， ( )( )(31)(0)0h xf xxh，即( ) 31f xx （3）证明：当1ab时，( )1g xxlnx 由（1）知，( )ming xg（1）0，( )10g xxlnx ，即1xlnx 当1x 时， 2 (1)0x， 2sin (1)0 x xe，则 2sin2sin (1)1(1) xx xeln xe， 即 2sin (1)2 (1)sin1 x xeln xx，又 2sin2sin (22)(1) xx xxexe， 2sin (22)2 (1)sin1 x xxeln xx， 即 2sin ( )(22) x f xxxe