2020年江苏省南通市通州区高考数学一模试卷.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年江苏省南通市通州区高考数学一模试卷年江苏省南通市通州区高考数学一模试卷 一、填空题：本题共一、填空题：本题共 14 个小题，每题个小题，每题 5 分，满分分，满分 70 分分. 1（5 分） 已知集合 Ax|x2， xR， 集合 Bx|x23x+20， xR， 则 AB 2 （5 分）设复数 z+2i= 1 1+，则|z| 3 （5 分）已知函数 f（x）= 2 + ，02 2 + 8， 2 ，若 f（a）f（a+2） ，则 f（1 ） 4（5分） 数列an的前n项和为Sn， 且Sn2n1， 则数列bnan27an+6的最小值为 5 （5 分）若变量

2、x，y 满足 + 2 2 3 6 0 ，且 x2ya 恒成立，则 a 的最小值为 6 （5 分）青岛二中高一高二高三三个年级数学 MT 的学生人数分别为 240 人，240 人，120 人， 现采用分层抽样的方法从中抽取 5 名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛， 再从 5 位同学中选出 2名一等奖记 A “两名一等奖来自同一年级” ， 则事件A 的概率为 7 （5 分）底面半径都是 3 且高都是 4 的圆锥和圆柱的全面积之比为 8（5 分） 执行如图的程序框图， 若输入的 a， b 的值分别为 0 和 9， 则输出的 i 的值为 9 （5 分）已知 x（0， 2） ，tan（x+ 4）3，则

3、 2()+2 1+ = 10 （5 分）函数() = + 的图象在 x1 处的切线被圆 C：x2+y22x+4y40 截 得弦长为 2，则实数 a 的值为 11 （5 分）若正实数 x、y 满足 x2xy+y29，且|x2y2|9，则 xy 的取值范围为 12 （5 分）已知直角三角形 ABC 的两直角边 CA3，CB4，圆 O 是该三角形的内切圆， 第 2 页（共 19 页） P 是圆 O 上的任意一点，则 的最大值为 13 （5 分）已知函数 f（x）（1 5） x1，x1，0，g（x）a2log2x+3a，x 2 2 ，2， 对任意的 x0 2 2 ，2，总存在 x11，0使得 g（x0

4、）f（x1）成立，则实数 a 的取值 范围是 14 （5 分）已知函数 f（x）x2ex+lnta，若对任意的 t1，e，f（x）在区间1，1总 存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 （14 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 = 2 （1）求 A； （2）若 a1，求ABC 面积的最大值 16 （14 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，E 为 CD 的中点，O 为 BD 上一点，且 BC平面 AOE （

5、1）求证：O 是 BD 的中点； （2）若 ABAD，BCBD，求证：平面 ABD平面 AOE 17 （14 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）上的一点到两个焦点的距离之和为 4， 离心率为 3 2 ，点 A 为椭圆 C 的左顶点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设圆 M：x2+（y2）2r2（0r2） ，过点 A 作圆 M 的两条切线分别交椭圆 C 于 点 B 和 D，求证：直线 BD 过定点 18 （16 分）系统找不到该试题 19 （16 分）已知数列an，其前 n 项和为Sn，满足 a12，Snnan+an1，其中 n2， 第 3 页（共 19 页） nN*，

6、R （1）若 0，4，bnan+12an（nN*） ，求证：数列bn是等比数列； （2）若数列an是等比数列，求 ， 的值； （3）若 a23，且 += 3 2，求证：数列an是等差数列 20 （16 分）若函数 f（x）+g（x）和 f（x） g（x）同时在 xt 处取得极小值，则称 f（x） 和 g（x）为一对“P（t）函数” （1）试判断 f（x）x 与 g（x）x2+ax+b 是否是一对“P（1）函数” ； （2）若 f（x）ex与 g（x）x2+ax+1 是一对“P（t）函数” 求 a 和 t 的值； 若 a0，若对于任意 x1，+） ，恒有 f（x）+g（x）mf（x）g（x） ，

7、求实数 m 的取值范围 【选做题】本题包括【选做题】本题包括 21、22 两小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若两小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若 多做， 则按作答的前两小题评分 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤多做， 则按作答的前两小题评分 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 选修选修 4-2： 矩阵与变换矩阵与变换（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 21 （10 分） 已知矩阵 M= 0 0满足： Maiiai， 其中 i （i1， 2） 是互不相等的实常数， ai（i1，2）是非零的平面列向量，11，a2= 1 1，求矩阵 M 选修

8、选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22（10分） 在平面直角坐标系xOy中， 曲线C1： 3 + 4 = 0， 曲线C2： = = 1 + （ 为 参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 （）求曲线 C1，C2的极坐标方程； （）曲线 C3： = = （t 为参数，t0，0 2）分别交 C1，C2 于 A，B 两点， 当 取何值时，| |取得最大值 【必做题】第【必做题】第 23 题、第题、第 24 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解分请在答题卡指定区域内作答，解 答

9、时应写出文字说明、证明过程或演算步骤答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 23 （10 分）平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y22px（p0）及点 M（2，0） ，动直线 l 过点 M 交抛物线于 A，B 两点，当 l 垂直于 x 轴时，AB4 （1）求 p 的值； （2）若 l 与 x 轴不垂直，设线段 AB 中点为 C，直线 l1经过点 C 且垂直于 y 轴，直线 l2 第 4 页（共 19 页） 经过点 M 且垂直于直线 l，记 l1，l2相交于点 P，求证：点 P 在定直线上 24 （10 分）设实数 c0，整数 p1，nN* （）证明：当 x1 且 x0 时， （1+x）p

10、1+px； （）数列an满足 a1 1 ，an+1= 1 an+ an 1p证明：anan+11 第 5 页（共 19 页） 2020 年江苏省南通市通州区高考数学一模试卷年江苏省南通市通州区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本题共一、填空题：本题共 14 个小题，每题个小题，每题 5 分，满分分，满分 70 分分. 1 （5 分）已知集合 Ax|x2，xR，集合 Bx|x23x+20，xR，则 AB （1， 2） 【解答】解：集合 Ax|x2，xR，集合 Bx|x23x+20，xRx|1x2， 由题得 ABx|x2，xRx|1x2，xR（1，2） 故答案为：

11、 （1，2） 2 （5 分）设复数 z+2i= 1 1+，则|z| 3 【解答】解：z+2i= 1 1+ = (1)2 (1+)(1) = i， z2ii3i， 则|z|3， 故答案为：3 3 （5 分）已知函数 f（x）= 2 + ，02 2 + 8， 2 ，若 f（a）f（a+2） ，则 f（1 ） 2 【解答】解：函数 f（x）= 2 + ，02 2 + 8， 2 ，f（a）f（a+2） ， 当 0a2 时，a2+a2a4+8， 解得 a4（舍）或 a1； 当 a2 时，2a+82a4+8，无解 a1， f（1 ）f（1）1 2+12 故答案为：2 4 （5 分）数列an的前 n 项和为

12、 Sn，且 Sn2n1， 则数列 bnan27an+6 的最小值为 6 【解答】解：由 Sn2n1，得 a1S11， 当 n2 时，= 1= 2 1 21+ 1 = 21， a11 适合上式， 第 6 页（共 19 页） = 21 则 bnan27an+6= ( 7 2) 2 25 4 当 an4 时()= (4 7 2) 2 25 4 = 6 故答案为：6 5 （5 分）若变量 x，y 满足 + 2 2 3 6 0 ，且 x2ya 恒成立，则 a 的最小值为 4 【解答】解：令 zx2y， 作变量 x，y 满足 + 2 2 3 6 0 的平面区域如下， 结合图象可知，C（0，2） ； 且 z

13、x2y 在 A（0，2）处有最大值 4， 故 a4， 即实数 a 的最小值为 4， 故答案为：4 6 （5 分）青岛二中高一高二高三三个年级数学 MT 的学生人数分别为 240 人，240 人，120 人， 现采用分层抽样的方法从中抽取 5 名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛， 再从 5 位同学中选出 2 名一等奖记 A “两名一等奖来自同一年级” ， 则事件 A 的概率为 1 5 【解答】解：青岛二中高一高二高三三个年级数学 MT 的学生人数分别为 240 人，240 人，120 人， 现采用分层抽样的方法从中抽取 5 名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛， 第 7 页（共 19 页） 则

14、高一学生抽取：5 240 240+240+120 =2， 高二学生抽取：5 240 240+240+120 =2， 高三学生抽取：5 120 240+240+120 =1， 再从 5 位同学中选出 2 名一等奖， 基本事件个数 n= 5 2 =10， 记 A“两名一等奖来自同一年级” ， 则事件 A 包含的基本事件个数 m= 2 2 + 2 2 =2， 事件 A 的概率为 p= = 2 10 = 1 5 故答案为：1 5 7 （5 分）底面半径都是 3 且高都是 4 的圆锥和圆柱的全面积之比为 4 7 【解答】解：由题意，圆柱与圆锥的底面半径 R3，圆柱与圆锥的高 h4， 则圆锥的母线长为 l

15、5， 则圆锥的全面积为：R2+ 1 2 2Rl9+1524； 圆柱的全面积为：2R2+2Rh18+2442 圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为：24 42 = 4 7 故答案为：4 7 8（5 分） 执行如图的程序框图， 若输入的 a， b 的值分别为 0 和 9， 则输出的 i 的值为 3 第 8 页（共 19 页） 【解答】解：输入的 a，b 的值分别为 0 和 9，i1 第一次执行循环体后：a1，b8，不满足条件 ab，故 i2； 第二次执行循环体后：a3，b6，不满足条件 ab，故 i3； 第三次执行循环体后：a6，b3，满足条件 ab， 故输出的 i 值为：3， 故答案为：3 9 （5

16、 分）已知 x（0， 2） ，tan（x+ 4）3，则 2()+2 1+ = 45 5 【解答】解：x（0， 2） ，tan（x+ 4）= 1+ 1 = 3， tanx2，即 sinx2cosx， sin2x+cos2x（2cosx）2+cos2x5cos2x1，解得 cosx= 5 5 ，sinx= 25 5 ， 2()+2 1+ = 2+2 1+ = 225 5 +225 5 5 5 1+ 5 5 = 45 5 故答案为：45 5 10 （5 分）函数() = + 的图象在 x1 处的切线被圆 C：x2+y22x+4y40 截 得弦长为 2，则实数 a 的值为 6 或 2 【解答】解：f（

17、x）= 1 2 1 + 1 ， 由题可知切线的斜率 kf（1）1 又 f（1）a，所以切点坐标为（1，a） ， 所以函数() = + 的图象在 x1 处的切线方程为 yx+a1 又因为圆 C：x2+y22x+4y40 的圆心坐标为（1，2） ，半径为 3， 所以圆心到切线的距离 = |2+| 2 因为切线被圆 C：x2+y22x+4y40 截得弦长为 2， 则(|2+| 2 )2+ 12= 32， 解得 a6 或 2 故答案为：6 或 2 11（5 分） 若正实数 x、 y 满足 x2xy+y29， 且|x2y2|9， 则 xy 的取值范围为 （6， 9 【解答】解：x0，y0，x2xy+y2

18、9，可得 xy（x2+y2）92xy9， 第 9 页（共 19 页） 即 xy9，当且仅当 xy3 取得最大值 9； 由|x2y2|9，即9x2y29， 即 xyx2y2x2y2x2+y2xy， （x0，y0） ， 即 xy2x2，xy2y2， 化为1 2xy2x， 由 x2+y29+xy9，可得 x3， 则 xy 1 2x 26， 综上可得 xy（6，9 故答案为： （6，9 12 （5 分）已知直角三角形 ABC 的两直角边 CA3，CB4，圆 O 是该三角形的内切圆， P 是圆 O 上的任意一点，则 的最大值为 5 4 【解答】 解： 由题意， 直角三角形， 斜边长为 5， 由等面积，

19、可得内切圆半径 r= 34 3+4+5 =1， 建立如图所示坐标系 则 O（0，0） ，C（1，1） ，A（2，1） ，B（1，3） ；设 P（cos，sin） ； =（2cos，1sin） ， =（1cos，3sin） ； =cos2cos2+sin22sin3（2sin+cos）4= 5sin（+） 4； 其中 tan= 1 2； sin（+）1 时 的最大值为：5 4； 第 10 页（共 19 页） 故答案为：5 4 13 （5 分）已知函数 f（x）（1 5） x1，x1，0，g（x）a2log2x+3a，x 2 2 ，2， 对任意的 x0 2 2 ，2，总存在 x11，0使得 g（x

20、0）f（x1）成立，则实数 a 的取值 范围是 a|0a1 【解答】解：() = (1 5) 1， 1，0， f（0）f（x）f（1） ，即 0f（x）4，即函数 f（x）的值域为 B0，4， 若对于任意的 x11，0，总存在0 2 2 ，2，使得 g（x0）f（x1）成立， 则函数 g（x）在 2 2 ，2上值域是 f（x）在1，0上值域 A 是集合 B 的子集，即 AB， 若 a0，g（x）0，此时 A0，满足条件 当 a0 时，g（x）a2log2x+3a 在 2 2 ，2是增函数，g（x） 1 2 2+3a，a2+3a， 即 A 1 2 2+3a，a2+3a， 1 2 2+ 3 0 2

21、+ 3 4 ， 解可得 0a1， 故答案为：a|0a1 14 （5 分）已知函数 f（x）x2ex+lnta，若对任意的 t1，e，f（x）在区间1，1总 存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围是 （1+ 1 ，e 【解答】解：函数 f（x）x2ex+lnta0 可得 x2exalnt， 令 g（x）x2ex， 则 g（x）2xex+x2exxex（x+2） ，x1，1， 令 g（x）0，则 x0， 当 g（x）0 时，0x1， 当 g（x）0 时，1x0， g（x）在（1，0）单调递减，在（0，1上单调递增， g（x）minf（0）0 g（1）= 1 g（1）e， g（x）maxg（1）e，

22、 第 11 页（共 19 页） 存在唯一的 x01，1，使得 f（x0）lnt+a 在 t1，e上成立， 1 f（x0）e， 因为1 lnt+ae 在 t1，e上有唯一解， 1 + 1 ，解得 1+ 1 ae， 故答案为（1+ 1 ，e 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 （14 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 = 2 （1）求 A； （2）若 a1，求ABC 面积的最大值 【解答】解： （1）由 = 2 及正弦定理可得， = 2 整理可得

23、，sinAcosB+sinBcosA2sinCcosA， 即 sin（A+B）sinC2sinCcosA， 因为 sinC0，所以 cosA= 1 2， 所以 A= 1 3， （2）由余弦定理可得，1 2 = 2+21 2 ， 所以 b2+c21+bc2bc，当且仅当 bc 时取等号， 所以 bc1，即 bc 的最大值为 1，此时三角形的面积取得最大值 S= 1 2 1 3 2 = 3 4 16 （14 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，E 为 CD 的中点，O 为 BD 上一点，且 BC平面 AOE （1）求证：O 是 BD 的中点； （2）若 ABAD，BCBD，求证：平面 ABD平面 A

24、OE 第 12 页（共 19 页） 【解答】 证明： （1） BC平面 AOE， BC 在平面 BCD 内， 平面 BCD平面 AOEOE， BCOE， E 为 CD 的中点， O 为 BD 的中点； （2）OEBC，BCBD， OEBD， ABAD，O 为 BD 的中点， OABD， OEOAA，且都在平面 AOE 内， BD平面 AOE， BD 在平面 ABD 内， 平面 ABD平面 AOE 17 （14 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）上的一点到两个焦点的距离之和为 4， 离心率为 3 2 ，点 A 为椭圆 C 的左顶点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设圆

25、M：x2+（y2）2r2（0r2） ，过点 A 作圆 M 的两条切线分别交椭圆 C 于 点 B 和 D，求证：直线 BD 过定点 【解答】解： （1）由椭圆的定义 2a4，则 a2， = = 3 2 ，则 c= 3， 所以 b2a2c21， 因此椭圆 C 的标准方程 2 4 + 2= 1； （2）证明：设切线 AB，CD 的方程为 yk（x+2） ， 第 13 页（共 19 页） 则|22| 2+1 = ，即（4r2）k28k+4r20， 设两切线 AB，AD 的斜率为 k1，k2，则 k1k21， 联立 = ( + 2) 2 4 + 2= 1 ，得（1+4k2）x2+16k240， 设 B（

26、x1，y1） ，D（x2，y2） ，则 x1= 281 2 1+41 2，y1= 41 1+41 2， 同理得 x2= 282 2 1+42 2 = 21 28 1 2+4 ，y2= 42 1+42 2 = 41 1 2+4， 所以直线 BD 的斜率 kBD= 41 1 2+4 41 1+41 2 21 28 1 2+4 281 2 1+41 2 = 31 4(1+1 2) 则直线 BD 的方程为 y 41 1+41 2 = 31 4(1+1 2)（x 281 2 1+41 2） ， 整理得 y= 31 4(1+1 2)（x+ 10 3 ） ， 故直线 BD 过定点（ 10 3 ，0） 18

27、（16 分）系统找不到该试题 19 （16 分）已知数列an，其前 n 项和为Sn，满足 a12，Snnan+an1，其中 n2， nN*，R （1）若 0，4，bnan+12an（nN*） ，求证：数列bn是等比数列； （2）若数列an是等比数列，求 ， 的值； （3）若 a23，且 += 3 2，求证：数列an是等差数列 【解答】 （1）证明：若 0，4，则当 Sn4an1（n2） ， 所以 an+1Sn+1Sn4（anan1） ， 即 an+12an2（an2an1） ， 所以 bn2bn1， 又由 a12，a1+a24a1， 得 a23a16，a22a120，即 bn0， 所以 1 =

28、2， 故数列bn是等比数列 （2）若an是等比数列，设其公比为 q（q0） ， 第 14 页（共 19 页） 当 n2 时，S22a2+a1， 即 a1+a22a2+a1， 得 1+q2q+， 当 n3 时，S33a3+a2，即 a1+a2+a33a3+a2， 得 1+q+q23q2+q， 当 n4 时，S44a4+a3，即 a1+a2+a3+a44a4+a3， 得 1+q+q2+q34q3+q2， q，得 1q2， q，得 1q3， 解得 q1，1 代入式，得 0 此时 Snnan， （n2） ， 所以 a12，an是公比为 1 的等比数列， 故 1，0 （3）证明：若 a23，由 a1+a

29、22a2+a1， 得 56+2， 又 += 3 2，解得 = 1 2，1 由 a12，a23，= 1 2，1，代入 Snnan+an1 得 a54， 所以 a1，a2，a3成等差数列， 由 Sn= 2an+an1，得 Sn+1= +1 2 an+1+an， 两式相减得：an+1= +1 2 an+1 2an+anan1， 即（n1）an+1（n2）an2an10， 所以 nan+2（n1）an+12an0， 相减得：nan+22（n1）an+1+（n2）an2an+2an10， 所以 n（an+22an+1+an）+2（an+12an+an1）0， 所以 an+22an+1+an= 2 （an

30、+12an+an1） = 22 (1) （an2an1+an2） = = (2)1 (1)2 （a32a2+a1） ， 因为 a32a2+a10， 第 15 页（共 19 页） 所以 an+22an+1+an0， 即数列an是等差数列 20 （16 分）若函数 f（x）+g（x）和 f（x） g（x）同时在 xt 处取得极小值，则称 f（x） 和 g（x）为一对“P（t）函数” （1）试判断 f（x）x 与 g（x）x2+ax+b 是否是一对“P（1）函数” ； （2）若 f（x）ex与 g（x）x2+ax+1 是一对“P（t）函数” 求 a 和 t 的值； 若 a0，若对于任意 x1，+）

31、，恒有 f（x）+g（x）mf（x）g（x） ，求实数 m 的取值范围 【解答】解：令 h1（x）f（x）+g（x） ，h2（x）f（x） g（x） （1）则 h1（x）2x+a+1，h2（x）3x2+2ax+b f（x）x 与 g（x）x2+ax+b 是一对“P（1）函数” ； 1(1) = + 3 = 0 2(1) = 2 + 3 + = 0， = 3 = 3 此时，因 h2（x）3x26x+33（x1）20，h2（x）无极小值 故 f（x）x 与 g（x）x2+ax+b 不是一对“P（1）函数” （2）h1（x）ex+x2+ax+1，h2（x）ex （x2+ax+1） ， h1（x）ex

32、+2x+a，h2（x）exx2+（a+2）x+a+1ex （x+1） （x+a+1） 若 f（x）ex与 g（x）x2+ax+1 是一对“P（t）函数” ， 由 h2（x）ex （x+1） （x+a+1）0，得 x11，x2a1， 1 若 a0，则有 x （， 1） 1 （1，a 1） a1 （1，+ ） h2（x） + 0 0 + h2（x） 极大值 极小值 因为 h2（x）在 xt 处取得极小值，所以 t1， 从而 h1（1）e 12+a0，a21 ， 经验证知 h1（x）ex+x2+（2 1 ）x+1，在 x1 处取得极小值， = 2 1 = 1 2 若 a0，则有 第 16 页（共 1

33、9 页） x （， a1） a1 （a1， 1） 1 （1，+） h2（x） + 0 0 + h2（x） 极大值 极小值 因为 h2（x）在 xt 处取得极小值，所以 ta1； 从而 h1（a1）e a1a20 令 （a）e a1a2，a0， （a）在（，0）是减函数，且 （1）0，所以 a1，从而 = 1 =0 ， 经验证知 h1（x）ex+x2x+1 在 x0 处取得极小值，所以 = 1 =0 3当 a0 时，h2（x）ex （x+1）20，h2（x）是增函数，无极小值，与题设不符 综上所述： = 2 1 = 1 或 = 1 =0 ， a0，由结论可知，f（x）ex与 g（x）x2 x+1

34、， 易见 f（x）0，g（x）0， 故不等式 f（x）+g（x）mf（x）g（x）等价于： 1 () + 1 () ， 令 H（x）= 1 () + 1 ()，则 H（x）maxm x1，H（x）单调递减， H（x）maxH（1）= 1 +1，从而 m 1 + 1 【选做题】本题包括【选做题】本题包括 21、22 两小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若两小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若 多做， 则按作答的前两小题评分 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤多做， 则按作答的前两小题评分 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 选修选修 4-2： 矩阵与变

35、换矩阵与变换（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 21 （10 分） 已知矩阵 M= 0 0满足： Maiiai， 其中 i （i1， 2） 是互不相等的实常数， ai（i1，2）是非零的平面列向量，11，a2= 1 1，求矩阵 M 【解答】解：由题意，1，2是方程 f（）= | | =2ab0 的两根， 因为 11，所以 ab1； 又因为 Ma22a2，所以0 0 1 1 =2 1 1， 第 17 页（共 19 页） 从而 = 2 = 2， 所以2 2 = = 1， 因为 12，所以 21，从而 ab1， 故矩阵 M= 0 1 10 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（

36、本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22（10分） 在平面直角坐标系xOy中， 曲线C1： 3 + 4 = 0， 曲线C2： = = 1 + （ 为 参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 （）求曲线 C1，C2的极坐标方程； （）曲线 C3： = = （t 为参数，t0，0 2）分别交 C1，C2 于 A，B 两点， 当 取何值时，| |取得最大值 【解答】解： （）因为 xcos，ysin，x2+y22，C1的极坐标方程为 3 + 4 = 0， C2的普通方程为 x2+（y1）21，即 x2+y22y0，对应极坐标方程为 2sin （）曲线 C3的极坐标方程

37、为 （0，0 2） 设 A（1，） ，B（2，） ，则1= 4 3+，22sin， 所以 | | = 2 1 = 1 4 2(3 + ) = 1 4 (32 2 + 1) = 1 4 2(2 6) + 1， 又0 2， 6 2 6 5 6 ， 所以当2 6 = 2，即 = 3时， | |取得最大值 3 4 【必做题】第【必做题】第 23 题、第题、第 24 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解分请在答题卡指定区域内作答，解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 23 （10 分）平面直角坐标系 xOy 中，已知抛

38、物线 y22px（p0）及点 M（2，0） ，动直线 l 过点 M 交抛物线于 A，B 两点，当 l 垂直于 x 轴时，AB4 （1）求 p 的值； （2）若 l 与 x 轴不垂直，设线段 AB 中点为 C，直线 l1经过点 C 且垂直于 y 轴，直线 l2 经过点 M 且垂直于直线 l，记 l1，l2相交于点 P，求证：点 P 在定直线上 第 18 页（共 19 页） 【解答】 （1）解：当直线 l 过点 M（2，0） ，且垂直于 x 轴时， 由 AB4，知抛物线 y22px（p0）过点（2，2） ， 代入抛物线方程，得 42p2，解得 p1； （2）证明：由题意设直线 l 的方程为：yk（

39、x2） ，且 k0， 点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立 2 = 2 = ( 2)，消去 x，化简得 ky 22y4k0， 由根与系数的关系得 y1+y2= 2 ，y1y24； 又点 C 在直线 AB 上，则 yC= 1+2 2 = 1 ，所以直线 l1 的方程为 y= 1 ； 又直线 l2过点 M 且与直线 l 垂直，则直线 l2的方程为 y= 1 （x2） ； 联立 = 1 = 1 ( 2) ，解得 = 1 = 1 ，所以点 P（1，1 ） ， 所以点 P 在定直线 x1 上 24 （10 分）设实数 c0，整数 p1，nN* （）证明：当 x1 且 x0 时， （1+x）

40、p1+px； （）数列an满足 a1 1 ，an+1= 1 an+ an 1p证明：anan+11 【解答】 证明： （） 令 f （x） （1+x） p （1+px） ， 则 f （x） p （1+x）p1pp （1+x） 第 19 页（共 19 页） p11 当1x0 时，01+x1，由 p1 知 p10，（1+x）p 1（1+x）01， （1+x）p 110，即 f（x）0， f（x）在（1，0上为减函数， f（x）f（0）（1+0）p（1+p0）0，即（1+x）p（1+px）0， （1+x）p1+px 当 x0 时，有 1+x1，得（1+x）p 1（1+x）01， f（x）0， f（x）在0，+）上为增函数， f（x）f（0）0， （1+x）p1+px 综合、知，当 x1 且 x0 时，都有（1+x）p1+px，得证 （）先证 a