力学量和算符的引进学习培训模板课件.ppt

1、力学量和算符的引进力学量和算符的引进（一）力学量平均值（一）力学量平均值 （1 1）坐标平均值）坐标平均值 （2 2）动量平均值）动量平均值 （二）测不准关系（二）测不准关系 （1 1）力学量）力学量 （2 2）量子态及量子系综）量子态及量子系综 （3 3）测不准关系）测不准关系 l（三）力学量算符（三）力学量算符 （1 1）动量算符）动量算符 （2 2）动能算符）动能算符 （3 3）角动量算符）角动量算符 （4 4）Hamilton Hamilton 算符算符（一）（一）力学量平均值力学量平均值l在统计物理中知道，在统计物理中知道，l当可能值为离散值时当可能值为离散值时:一个物理量的平均值等

2、于物理量一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的出现的各种可能值乘上相应的几率求和；几率求和；当可能值为连续当可能值为连续取值时：取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的一个物理量出现的各种可能值乘上相应的几率密度几率密度求积分。求积分。基于波函数的几率含义，基于波函数的几率含义，我们马上可以得到粒子我们马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。坐标和动量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。（1 1）坐标平均值）坐标平均值dxxxxdxxxxx)()(|)(|*2drxrxx)()(*为简单计，剩去时间变量（或者说，先不考虑随时间的变化）为

3、简单计，剩去时间变量（或者说，先不考虑随时间的变化）设设(x)(x)是归一化波函数，是归一化波函数，|(x)|(x)|2 2 是粒子出现在是粒子出现在x x点的几率密度，点的几率密度，则则对三维情况对三维情况，设，设(r)(r)是归一化波函数，是归一化波函数，|(r)|(r)|2 2是粒子出现是粒子出现在在 r r 点的几率密度，则点的几率密度，则x x的平均值为的平均值为（2 2）动量平均值）动量平均值一维情况一维情况：令：令(x)(x)是归一化波函是归一化波函数，相应动量表象波函数为数，相应动量表象波函数为xxxxxxxxxdppcpppppcdxxipxpc222/1|)(|)(|)/e

4、xp()()2(1)(的的几几率率密密度度，则则粒粒子子动动量量为为（二）测不准关系（二）测不准关系（1 1）力学量）力学量 经典物理中，坐标、动量、动能、势能、角动量等描述质点的运动；电场、磁场的变化描述电磁场的运动与变化等。量子力学中，A)我们继续用这些力学量来描述微观粒子；B)微观粒子的波粒二象性决定了这种描述是统计性的，而不是决定性的。统计性的描述总是通过一组被统计的对象来描述的，如 一届学生的健康状况，学习成绩等。微观粒子的统计分布及其变化由波函数波函数来决定。（2 2）量子态和量子系综）量子态和量子系综对微观粒子物理状况或运动状态的统计性描述（微观粒子的力学量的统计性分布）量子态量

5、子态。波函数是量子态的数学表示。波函数是量子态的数学表示。波函数的描述对象：量子系综波函数的描述对象：量子系综在同样经典条件下相互独立地运动的大数目的微观粒子的集合量子系综量子系综“系综系综”与与“系统系统”是不同的。是不同的。波函数对于系综的描述是决定性的。波函数对于系综的描述是决定性的。（3 3）测不准关系）测不准关系量子规律与经典规律的本质的区别量子规律与经典规律的本质的区别量子物理中单个粒子的不确定性的具体数学关系式：测不准关系粒子的单缝衍射实验粒子坐标xx其不确定范围：粒子动量p其不确定范围：ppppxppppptg)(单缝衍射公式：xn)sin(x)sin(2xpx2xpx（3 3

6、）测不准关系）测不准关系是划分经典物理和量子物理适用范围的关节点。例1，原子中的电子运动估算出氢原子中电子速度scm/108氢原子中速度的不确定度：scmxv/106.0)()2(8氢原子中电子坐标的不确定度：cmx810例2，显象管中电子运动加速电压3000伏，可获得电子动量电子枪与屏的间距20cm，在屏上聚焦成横向尺寸小于0.01cm计算得到scmgp/.10318scmgp/.105.120/01.0)103(2118cmx610（二）力学量算符（二）力学量算符简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数描写状态，所以力学量也必

7、须改造成与经典力学不同的算符描写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符形式（称为第一次量子化）。形式（称为第一次量子化）。xp（1 1）动量算符）动量算符 既然既然(x)(x)是归一化波函数，相应动量表象波函数是归一化波函数，相应动量表象波函数为为c(pc(px x)一一 一一 对应，相互等价的描述粒子的同一状态，对应，相互等价的描述粒子的同一状态，那末动量的平均值也应可以在坐标表象用那末动量的平均值也应可以在坐标表象用(x)(x)表示出来。表示出来。但是但是(x)(x)不含不含p px x变量，为了能由变量，为了能由(x)(x)来确定动量平均来确定动量平均值，动量值，动量 p px

8、 x必须改造成只含自变量必须改造成只含自变量 x x 的形式，这种形的形式，这种形式称为动量式称为动量 p px x的算符形式，记为的算符形式，记为一维情况：一维情况：xxxxxxxxxdppcppcdppcppp)()(|)(|2 xxxxpidppcpdxexx)()(21 xxxxpidxdppcpexx)()(21 xxxpidxdppcedxdixx)()(21 )(21)(xxxpidppcedxdixdxx dxxpxdxxdxdixx)()()()(xxpixxpixdpepcxdxexpcxx)(21)()(21)(相互关系：比较上面二式得两点结论：比较上面二式得两点结论：i

9、zkyjxiiprrxx 体系状态用坐标表象中的波函数体系状态用坐标表象中的波函数 (r)(r)描写时，描写时，坐标坐标 x x 的算符就是其自身，即的算符就是其自身，即说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。dxdipx 而动量而动量 p px x 在坐标表象（非自身表象）中的形式必在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：须改造成动量算符形式：三维情况：三维情况：由归一化波函数由归一化波函数(r)(r)求求 力学量平均值时，必须把该力学力学量平均值时，必须把该力学量的算符夹在量的算符夹在*(r)(r)和和(r)(r)之间之间,对全空间积

10、分，即对全空间积分，即 dxxFxFFdxxpxppdxxxxxxxxx)()()()()()(一一维维情情况况：rdrrrdrFrFF)()()()(若若波波函函数数未未归归一一化化，则则F 是任一是任一 力学量算符力学量算符 rdrFrFFrdrprpprdrxrxxxxx)()()()()()(三三维维情情况况：（2 2）动能算符）动能算符rdrTrTTmpTmpT)()(2222 则则所所以以动动能能算算符符在在经经典典力力学学中中，（3 3）角动量算符）角动量算符prLprL )()()(xyyxipypxLzxxzipxpzLyzzyipzpyLxyzzxyyzx 三三个个分分量量

11、：rdrLrL)()(四四章章中中讨讨论论。将将在在第第算算符符之之间间更更深深刻刻的的关关系系学学量量与与相相应应算算符符的的写写法法以以及及力力量量，对对于于有有经经典典对对应应的的力力学学的的粒粒子子在在势势场场中中)(2)()(22rVmrVTHVTHrV （4 4）Hamilton Hamilton 算符算符4 Schrodinger 4 Schrodinger 方程方程（一）（一）引言引言 （二）（二）引进方程的基本考虑引进方程的基本考虑 （三）（三）自由粒子满足的方程自由粒子满足的方程 （四）（四）势场势场 V(r)V(r)中运动的粒子中运动的粒子 （五）（五）多粒子体系的多粒子

12、体系的SchrodingerSchrodinger方程方程这些问题在这些问题在19261926年年Schrodinger Schrodinger 提出了波动方程之后得到提出了波动方程之后得到了圆满解决。了圆满解决。微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：因此量子力学最核心的问题就

13、是要解决以下两个问题：(1)(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；(2)(2)波函数如何随时间演化。波函数如何随时间演化。（一）（一）引引 言言（二）（二）引进方程的基本考虑引进方程的基本考虑 从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t t 粒子的粒子的状态状态 r r 和和 p p 。因为初条件知道的是坐标及其对时。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。让我们先

14、回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。（1 1）经典情况）经典情况0000,ttdtrdmprtt 时时刻刻，已已知知初初态态是是：22dtrdmF 方方程程：粒粒子子满满足足的的方方程程是是牛牛顿顿（2 2）量子情况）量子情况3 3第三方面，方程第三方面，方程不能包含状态参量不能包含状态参量，如，如 p p,E E等，否则方程等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。1 1因为，因为，t=tt=t0 0 时刻，已知的初态是时刻，已知的初态是(r,t(r,t0 0)且只知道且只知道这样一个初条件，所

15、以，描写粒子状态的波函数所满足的方这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程程只能含只能含对时间对时间 的一阶导数的一阶导数。2 2另一方面，另一方面，要满足态叠加原理要满足态叠加原理，即，若，即，若1 1(r,t)(r,t)和和2 2(r,t)(r,t)是方程的解，那末。是方程的解，那末。(r,t)=C(r,t)=C1 11 1(r,t)+C(r,t)+C2 22 2(r,t)(r,t)也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含中只能包含,对时间的一阶导数对时间的一阶导数和和对坐标各阶导数的一次对坐标各阶

16、导数的一次项项，不能含它们的平方或开方项。，不能含它们的平方或开方项。（三）（三）自由粒子满足的方程自由粒子满足的方程这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E E。将将对坐标二次微商，得：对坐标二次微商，得：）（1 EtiEit )(expEtrpiA描写自由粒子波函数描写自由粒子波函数:应是所要建立的方程的解。应是所要建立的方程的解。将上式对将上式对 t t 微商，得：微商，得：，2222)(xxEtzpypxpipxpiAexxzyx(1)(1)(2)(2)式式 12222222222zyxpppzyx 22222222zypzpy同同理理有有)

17、2(221222222 pp或或 )2()2(222 pEti满足上述构造方程满足上述构造方程的三个条件的三个条件讨论：讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式如果能量关系式 E=pE=p2 2/2/2 写成如下方程写成如下方程形式：形式：22224ppipptiE）（）（所所以以3222 ti 22pE 对对自自由由粒粒子子，22pE(1)(1)(2)(2)式式（四）势场（四）势场 V(r)V(r)中运动的粒子中运动的粒子该方程称为该方程称为 Schrodinger Schrodinger 方程，也常称为波动方程。方程，也常称为波动

18、方程。量量。算算符符，亦亦常常称称为为是是体体系系的的式式中中HamiltonHamiltonHtrHtrrVtrti),(),()(2),(22 若粒子处于势场若粒子处于势场 V(r)V(r)中运动，则能动量关系变为：中运动，则能动量关系变为：HrVpE )(22 )(22rVpE 将其作用于波函数得：将其作用于波函数得：做（做（4 4）式的算符替换得：）式的算符替换得：（五）多粒子体系的（五）多粒子体系的 Schrodinger Schrodinger 方程方程设体系由设体系由 N N 个粒子组成，个粒子组成，l质量分别为质量分别为 i i(i=1,2,.,N)(i=1,2,.,N)l体系

19、波函数记为体系波函数记为 (r(r1 1,r,r2 2,.,r,.,rN N;t);t)l第第i i个粒子所受到的外场个粒子所受到的外场 U Ui i(r(ri i)l粒子间的相互作用粒子间的相互作用 V(rV(r1 1,r,r2 2,.,r,.,rN N)l则多粒子体系的则多粒子体系的 Schrodinger Schrodinger 方程可表示为：方程可表示为：);,(),()(2);,(211212221trrrrrrVrUtrrrtiNNiNiiiiN 多粒子体系多粒子体系 Hamilton Hamilton 量量 ZjijiZrrerrrV|),(221iiirZerU2)(对有对有

20、Z Z 个电子的原子，电子间相互作用为个电子的原子，电子间相互作用为 Coulomb Coulomb 排斥作用：排斥作用：而原子核对第而原子核对第 i i 个电子的个电子的 Coulomb Coulomb 吸引能为：吸引能为：假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。NiNiiiirrrVrUH12122),()(2 例如：例如：5 5 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律（一）定域几率守恒（一）定域几率守恒 （二）再论波函数的性质（二）再论波函数的性质（一）（一）定域几率守恒定域几率守恒考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和

21、考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即它的几率总和应不随时间改变，即2|),(|),(),(),(trtrtrtr 0),(dtrdtd在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在变化。粒子在 t t 时刻时刻 r r 点周围单位体积内粒子出现的点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：几

22、率即几率密度是：证：考虑考虑 Schrodinger Schrodinger 方程及其共轭式：方程及其共轭式：)5(222 Vti)6(222 Vti 式式得得：将将)6()5(2222 titi22 ）（ti取共轭取共轭 dddtdi22 ）（在空间闭区域在空间闭区域中将上式积分，则有：中将上式积分，则有：闭区域闭区域上找到粒上找到粒子的总几子的总几率在单位率在单位时间内的时间内的增量增量J J是几率流密是几率流密度，是一矢度，是一矢量。量。所以所以(7)(7)式是几率（粒子数）式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。守恒的积分表示式。令令 Eq.Eq.（7 7）趋于趋于 ，即让积分对全空间进行

23、，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是 Eq.Eq.（7 7）变为：）变为：0),(dtrdtd0 Jt 其微分形式与其微分形式与流体力学中连流体力学中连续性方程的形续性方程的形式相同式相同 diddtd2 ）（dJdtrdtd ),(的的表表面面。是是体体积积）（StrSdJdtrdtdS ),(7),(使用使用 Gauss Gauss 定理定理单位时间内通过单位时间内通过的封闭表面的封闭表面 S S 流入（面积分前面的负号）流入（面积

24、分前面的负号）内内的几率的几率2 iJSdS 0),(dtrdtd讨论：表明，波函数归一化不随表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。粒子既未产生也未消灭。（1 1）这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。不变，并伴随着某种流来实现这种变化。（2 2）以以乘连续性方乘连续性方程等号两边，得到：程等号两边，得到：0 Jt量子力学的质量量子力学的质量守恒定律守恒定律同理可得量子力学同理可得

25、量子力学的电荷守恒定律：的电荷守恒定律：0 eeJt 表明电荷总量表明电荷总量不随时间改变不随时间改变 )(2|),(|2iJJtr 质量密度质量密度 和和 质量流密度矢量质量流密度矢量 )(2|),(|2 ieJeJtreeee电荷密度电荷密度 和和 电流密度矢量电流密度矢量（二）再论波函数的性质（二）再论波函数的性质1.1.由由 Born Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即空间的几率分布，即 l d(r,t)=|(r,t)|d(r,t)=|(r,t)|2 2 d d l2.2.已知已知 (

26、r,t)(r,t)，则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。称为状态波函数或态函数。l3.3.知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由SchrodingerSchrodinger方程即可确定以后时刻的状态。方程即可确定以后时刻的状态。（1 1）波函数完全描述粒子的状态）波函数完全描述粒子的状态（2 2）波函数标准条件）波函数标准条

27、件1.1.根据根据BornBorn统计解释统计解释 (r,t)=(r,t)=*(r,t)(r,t)(r,t)(r,t)是粒子在是粒子在t t时刻出现在时刻出现在 r r点的几率，这是一个确定的数，所以要求点的几率，这是一个确定的数，所以要求(r,t)(r,t)应应是是 r,tr,t的单值函数且有限。的单值函数且有限。l式右含有式右含有及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域是任是任意选取的，所以意选取的，所以S S是任意闭合面。要是积分有意义，是任意闭合面。要是积分有意义，必须在变必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数的全部范围，即

28、空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。数亦连续。l概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。三个条件，该条件称为波函数的标准条件。SdiSdJdtrdtdSS 2),(2.2.根据粒子数守恒定律根据粒子数守恒定律 :（3 3）量子力学基本假定）量子力学基本假定 I I、IIII量子力学基本假定量子力学基本假定 I I 波函数完全描述粒子的状态波函数完全描述粒子的状态量子力学基本假定量子力学基本假定 II II 波函数随时间的演化遵从波函数随时间的演化遵从 Schrodinger Schrodinger 方程方程