2023初中数学培优竞赛例题+练习：有理数（共6个专题）（学生版+解析版）.docx

1、专题01 数轴中的数形结合一、利用数轴比较数的大小【学霸笔记】1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“”号或者按照从右到左顺序用“”号连接起来，注意不要漏数.【典例】已知a、b在数轴上的位置如图所示，试比较的大小，并用“”连接.【解答】由题意，在数轴上分别画出所对应的点，如图所示：由数轴可得.PS：此题也可以通过特殊值的进行比较大小.【巩固】已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法：ab+ac0；a+bc0；a|a|+b|b|+c|c|=1；|ab|c+b|+|ac|2

2、b其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4二、数轴上的距离问题【学霸笔记】1.数轴上任意两点间的距离可以用绝对值表示，即两点所表示的数的差的绝对值，如图所示，A、B间的距离.2.数轴上互为相反数的点在原点两侧，且到原点的距离相等，如图所示：若，则，反之亦成立.【典例】如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a、b、c、d，且d2a9，那么数轴的原点应是（）AA点BB点CC点DD点【解答】B【解析】根据题意，知da7，即da+7，将da+7代入d2a9，得：a+72a9，解得：a2，A点表示的数是2，则B点表示原点故选：B【巩固】在数轴上，若N点与原点

3、的距离是N点与30所对应点之间的4倍，则N点表示的数是 .三、数轴上的动点问题【典例】如图所示，A是数轴上表示30的点，B是数轴上表示10的点，C是数轴上表示18的点，点A，B，C在数轴上同时向数轴的正方向运动，点A运动的速度是6个单位长度/秒，点B和点C运动的速度都是3个单位长度/秒，设三个点运动的时间为t（秒）（1）当t为何值时，线段AC6（单位长度）？（2）当t5时，设线段OA的中点为P，线段OB的中点M，线段OC的中点为N，求2PMPN2时t的值【解答】见解析【解析】（1）A，B，C三个点在数轴上同时向数轴正方向运动，当点A运动到点C左侧时，线段AC6，6+6t30+18+3t，解得：

4、t14；当点A运动到点C右侧时，则6t630+18+3t，解得：t18；故当t为14或18秒时，线段AC6；（2）当A，B，C三个点在数轴上同时向数轴正方向运动t秒时，A，B，C三个点在数轴上表示的数分别为：6t30，10+3t，18+3t，P，M，N分别为OA，OB，OC的中点，P，M，N三个点在数轴上表示的数分别为：6t-302，10+3t2，18+3t2，M在N左边若P在M，N左边，则PM=10+3t2-6t-302=201.5t，PN=18+3t2-6t-302=241.5t2PMPN2，2（201.5t）（241.5t）2，t=283；若P在M，N之间，则PM=6t-302-10+3

5、t2=-20+1.5t，PN=18+3t2-6t-302=241.5t2PMPN2，2（20+1.5t）（241.5t）2，t=443；若P在M，N右边，则PM=6t-302-10+3t2=-20+1.5t，PN=6t-302-18+3t2=-24+1.5t2PMPN2，2（20+1.5t）（24+1.5t）2，t12，但是此时PM20+1.5t0，所以此种情况不成立，t=283或443【巩固】如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足（a10）2+|b+6|0动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t0）秒（1）写出数轴上点A表示的数

6、是 ，点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的式子表示）；（2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PMPN的值；（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？巩固练习1如图，在数轴上有六个点，且ABBCCDDEEF，则与点C所表示的数最接近的整数是（）A1B0C1D22甲、乙两队举行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动0.2米，又向甲队方向移动0.5米，相持一会儿，又向乙队方向移动0.4米，随后又向甲队方向移动1.3米，在大家的欢呼鼓励中，标志物又向甲队移动0.9米，若规定标志物向某队

7、方向2米该队即可获胜，那么现在队赢了3张老师在看兰州拉面制作中受到了启发，设计了一个数学问题：如图5，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后使点B到点A重合（往左对折），再沿两端均匀地拉成1个单位长度的线段，这一段称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB上的0变成-14，12变成34，等）那么在线段AB上（除A、B）的点中，在第二次操作后，恰好被拉到与12重合的点所对应的数之和为4已知数轴上的4个点A、B、C、D对应的数分别为a、b、c、d，且b比d小7，c比a大5，b比c 小3，已知d5，请画出数轴，并标出点A、B、C、D所在的位置，并求出（ab ）（cd ）的值5如图，数轴上有

8、两点A，B，点A表示的数为2，点B在点A的左侧，且AB6动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒（t0）（1）填空：数轴上点B表示的数为，点P表示的数为（用含t的式子表示）；（2）经过多长时间，P、B两点之间相距8个单位长度？（3）动点R从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动若点P，R同时出发，经过多长时间，P，R之间的距离为2个单位长度？6已知，直线l上线段AB8、线段CD4（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧）（1）若线段BC2，则线段AD ；（2）如图2，点P、Q分别为AD、BC的中点，求线段PQ的长度；（3）若线段CD从点B开始以1

9、个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，若MN2DN，求线段CD运动的时间7思考下列问题并在横线上填上答案（1）数轴上表示3的点与表示4的点相距个单位（2）数轴上表示2的点先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，最后到达的点表示的数是 （3）数轴上若点A表示的数是2，点B与点A的距离为3，则点B表示的数是 （4）若|a3|2，|b+2|1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 （5）数轴上点A表示8，点B表示8，点C在点A与点B之间，A点以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个

10、单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动，三个点同时开始运动，经过 秒三个点聚于一点，这一点表示的数是 ，点C在整个运动过程中，移动了 个单位8如图，点A和点B在数轴上对应的数分别为a和b，且（a+6）2+|b8|0（1）求线段AB的长；（2）点C在数轴上所对应的数为x，且x是方程x1=67x+1的解，在线段AB上是否存在点D，使得AD+BD=78CD？若存在，请求出点D在数轴上所对应的数，若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，线段AD和BC分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度

11、同时向右运动，运动时间为t秒，M为线段AD的中点，N为线段BC的中点，若MN12，求t的值9电子跳蚤在数轴上的A点出发，第一步向左跳一个单位到A1，第二步由A1向右跳2个单位到A2，第三步由A2向左跳3个单位到A3，第四步由A3向右跳4个单位A4，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点A100（1）如图，当A在原点时求A100在数轴上的位置（2）当A100的坐标为19.94时，求A在数轴上的位置10已知在数轴l上，一动点Q从原点O出发，沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度

12、，又向右移动5个单位长度（1）求出5秒钟后动点Q所处的位置；（2）如果在数轴l上还有一个定点A，且A与原点O相距20个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由专题01 数轴中的数形结合一、利用数轴比较数的大小【学霸笔记】1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“”号或者按照从右到左顺序用“”号连接起来，注意不要漏数.【典例】已知a、b在数轴上的位置如图所示，试比较的大小，并用“”连接.【解答】由题意，在数轴上分别

13、画出所对应的点，如图所示：由数轴可得.PS：此题也可以通过特殊值的进行比较大小.【巩固】已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法：ab+ac0；a+bc0；a|a|+b|b|+c|c|=1；|ab|c+b|+|ac|2b其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【解答】C【解析】由题意得b0，ca0，|c|b|，|b|a|ab+ac0；故原结论正确；a+bc0；故原结论错误；a|a|+b|b|+c|c|=11+11，故原结论正确；|ab|c+b|+|ac|abcba+c2b；故原结论正确；故正确结论有，共3个故选：C二、数轴上的距离问题【学霸笔记】1.数轴上任意两点间的距离可以用绝对值表示，

14、即两点所表示的数的差的绝对值，如图所示，A、B间的距离.2.数轴上互为相反数的点在原点两侧，且到原点的距离相等，如图所示：若，则，反之亦成立.【典例】如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a、b、c、d，且d2a9，那么数轴的原点应是（）AA点BB点CC点DD点【解答】B【解析】根据题意，知da7，即da+7，将da+7代入d2a9，得：a+72a9，解得：a2，A点表示的数是2，则B点表示原点故选：B【巩固】在数轴上，若N点与原点的距离是N点与30所对应点之间的4倍，则N点表示的数是 .【解答】40或24【解析】设N点表示的数为x，由题意可得，即

15、或，解得或，即N点表示的数是40或24.三、数轴上的动点问题【典例】如图所示，A是数轴上表示30的点，B是数轴上表示10的点，C是数轴上表示18的点，点A，B，C在数轴上同时向数轴的正方向运动，点A运动的速度是6个单位长度/秒，点B和点C运动的速度都是3个单位长度/秒，设三个点运动的时间为t（秒）（1）当t为何值时，线段AC6（单位长度）？（2）当t5时，设线段OA的中点为P，线段OB的中点M，线段OC的中点为N，求2PMPN2时t的值【解答】见解析【解析】（1）A，B，C三个点在数轴上同时向数轴正方向运动，当点A运动到点C左侧时，线段AC6，6+6t30+18+3t，解得：t14；当点A运动

16、到点C右侧时，则6t630+18+3t，解得：t18；故当t为14或18秒时，线段AC6；（2）当A，B，C三个点在数轴上同时向数轴正方向运动t秒时，A，B，C三个点在数轴上表示的数分别为：6t30，10+3t，18+3t，P，M，N分别为OA，OB，OC的中点，P，M，N三个点在数轴上表示的数分别为：6t-302，10+3t2，18+3t2，M在N左边若P在M，N左边，则PM=10+3t2-6t-302=201.5t，PN=18+3t2-6t-302=241.5t2PMPN2，2（201.5t）（241.5t）2，t=283；若P在M，N之间，则PM=6t-302-10+3t2=-20+1.

17、5t，PN=18+3t2-6t-302=241.5t2PMPN2，2（20+1.5t）（241.5t）2，t=443；若P在M，N右边，则PM=6t-302-10+3t2=-20+1.5t，PN=6t-302-18+3t2=-24+1.5t2PMPN2，2（20+1.5t）（24+1.5t）2，t12，但是此时PM20+1.5t0，所以此种情况不成立，t=283或443【巩固】如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足（a10）2+|b+6|0动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t0）秒（1）写出数轴上点A表示的数是 ，点B表示的数

18、是 ，点P表示的数是 （用含t的式子表示）；（2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PMPN的值；（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？【解答】解：（1）（a10）2+|b+6|0，a100，b+60，a10，b6，点A表示的数是10，点B表示的数是6，点P表示的数是108t；故答案为：10，6，108t；（2）点P在点B的左侧运动，M、N分别是PA、PB的中点，M表示的数是104t，N表示的数是24t，PM（104t）（108t）4t，PN（24t）（108t）4t8，PMP

19、N4t（4t8）8；（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，Q表示的数是64t，又点P表示的数是108t；P、Q两点相距4个单位长度，|（64t）（108t）|4，4t164或4t164，解得t5或t3，答：点P运动5秒或3秒时，P、Q两点相距4个单位长度巩固练习1如图，在数轴上有六个点，且ABBCCDDEEF，则与点C所表示的数最接近的整数是（）A1B0C1D2【解答】解：由A、F两点所表示的数可知，AF11+516，ABBCCDDEEF，EF1653.2，E点表示的数为：113.27.8；点C表示的数为：7.83.23.21.4；与点C所表示的数最接近的整数是1

20、故选：C2甲、乙两队举行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动0.2米，又向甲队方向移动0.5米，相持一会儿，又向乙队方向移动0.4米，随后又向甲队方向移动1.3米，在大家的欢呼鼓励中，标志物又向甲队移动0.9米，若规定标志物向某队方向2米该队即可获胜，那么现在队赢了【解答】解：把拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向，标志物最后表示的数0.2+0.50.4+1.3+0.92.1，即标志物向正方向移了2.1m，而规定标志物向某队方向2米该队即可获胜，所以甲获胜故答案为甲3张老师在看兰州拉面制作中受到了启发，设计了一个数学问题：如图5，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后

21、使点B到点A重合（往左对折），再沿两端均匀地拉成1个单位长度的线段，这一段称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB上的0变成-14，12变成34，等）那么在线段AB上（除A、B）的点中，在第二次操作后，恰好被拉到与12重合的点所对应的数之和为【解答】解：第一次操作后，原线段AB上的14，34，均变成12，第二次操作恰好被拉到与12重合的点所对应的数是14和34，恰好被拉到与12重合的点所对应的数之和是：14+34=1故答案为：14已知数轴上的4个点A、B、C、D对应的数分别为a、b、c、d，且b比d小7，c比a大5，b比c 小3，已知d5，请画出数轴，并标出点A、B、C、D所在的位置，并求出

22、（ab ）（cd ）的值【解答】解：根据题意画出数轴，如图所示：则点A、B、C、D对应的数分别为a4，b2，c1，d5，则（ab）（cd）abc+d4+21+525如图，数轴上有两点A，B，点A表示的数为2，点B在点A的左侧，且AB6动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒（t0）（1）填空：数轴上点B表示的数为，点P表示的数为（用含t的式子表示）；（2）经过多长时间，P、B两点之间相距8个单位长度？（3）动点R从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动若点P，R同时出发，经过多长时间，P，R之间的距离为2个单位长度？【解答】解：（1）数轴上点

23、B表示的数为264，点P表示的数为2+t（用含t的式子表示）；（2）依题意有2+t（4）8，解得t2故经过2秒长时间，P、B两点之间相距8个单位长度；（3）当点R追上P前，依题意有2+t（4+2t）2，解得t4；当点R追上P后，依题意有4+2t（2+t）2，解得t8故经过4秒或8秒长时间，P，R之间的距离为2个单位长度故答案为：4，2+t6已知，直线l上线段AB8、线段CD4（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧）（1）若线段BC2，则线段AD ；（2）如图2，点P、Q分别为AD、BC的中点，求线段PQ的长度；（3）若线段CD从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时，点M从点A开始以2个单位

24、/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，若MN2DN，求线段CD运动的时间【解答】解：（1）当点C在点B的左侧时，AB8，BC2，CD4，AC6，ADAC+CD10，当点C在点B的右侧时，AB8，BC2，CD4，ADAB+BC+CD14，故线段AD10或14；故答案为：10或14；（2）设BCx，则ADAB+BC+CD12+x，点P、Q分别为AD、BC的中点，PD=12AD6+12x，CQ=12x，PQPDCDCQ6+12x4-12x2；（3）线段CD运动的时间为t，则AM2t，BCt，BMABAM82t，或BMAMAB2t8，BDBC+CDt+4，点N是线段BD的中点，DNBN=12BD=

25、12t+2，MN2DN，82t+12t+22（12t+2）或（2t8）（12t+2）2（12t+2），解得：t=125或t28故线段CD运动的时间为125或t28s7思考下列问题并在横线上填上答案（1）数轴上表示3的点与表示4的点相距个单位（2）数轴上表示2的点先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，最后到达的点表示的数是 （3）数轴上若点A表示的数是2，点B与点A的距离为3，则点B表示的数是 （4）若|a3|2，|b+2|1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 （5）数轴上点A表示8，点B表示8，点C在点A与点B之间，A点以每秒0.5个单位的

26、速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动，三个点同时开始运动，经过 秒三个点聚于一点，这一点表示的数是 ，点C在整个运动过程中，移动了 个单位【解答】解：（1）数轴上表示3的点与表示4的点相距|34|7个单位（2）数轴上表示2的点先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，最后到达的点表示的数是2+251（3）数轴上若点A表示的数是2，点B与点A的距离为3，则点B表示的数是231，或2+35（4）|a3|2，|b+2|1，a为5或1，b为1或3，则A、B两点间的最大距

27、离是8，最小距离是2（5）设经过x秒，三个点聚于一点，由题意可得：0.5t+1.5t8（8），t8，经过8秒三个点聚于一点，这一点表示的数是4，点C在整个运动过程中，移动了24个单位故答案为：7；1；1或5；8，2；8，4，248如图，点A和点B在数轴上对应的数分别为a和b，且（a+6）2+|b8|0（1）求线段AB的长；（2）点C在数轴上所对应的数为x，且x是方程x1=67x+1的解，在线段AB上是否存在点D，使得AD+BD=78CD？若存在，请求出点D在数轴上所对应的数，若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，线段AD和BC分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度同时向右运动，

28、运动时间为t秒，M为线段AD的中点，N为线段BC的中点，若MN12，求t的值【解答】解：（1）（a+6）20，|b8|0，又（a+6）2+|b8|0（a+6）20，|b8|0a+60，8b0a6，b8ABOA+OB6+814（2）解方程x1=67x+1得：x14点C在数轴上所对应的数为14；设在线段AB上存在点D，使得AD+BD=78CD，且点D在数轴上所对应的数为y，则：ADy+6，BD8y，CD14yy+6+（8y）=78（14y）解得：y2在线段AB上存在点D，使得AD+BD=78CD，点D在数轴上所对应的数为2（3）由（2）得：A，D，B，C四点在数轴上所对应的数分别为：6，2，8，1

29、4.24运动前M，N两点在数轴上所对应的数分别为4，11则运动t秒后M，N两点在数轴上所对应的数分别为4+6t，11+5tMN12线段AD没有追上线段BC时有：（11+5t）（4+6t）12解得：t3线段AD追上线段BC后有：（4t+6）（11+5t）12解得：t27综上所述：当t3秒或27秒时线段MN129电子跳蚤在数轴上的A点出发，第一步向左跳一个单位到A1，第二步由A1向右跳2个单位到A2，第三步由A2向左跳3个单位到A3，第四步由A3向右跳4个单位A4，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点A100（1）如图，当A在原点时求A100在数轴上的位置（2）当A100的坐标为19.

30、94时，求A在数轴上的位置【解答】解：（1）由题意，可得A100在数轴上的位置为：01+23+4+100（21）+（10099）50即A100在数轴上表示的数是50；（2）设A在数轴上的位置为a，根据题意，得a1+23+4+10019.94，a+（21）+（10099）19.94，a+5019.94，a30.06即A在数轴上表示的数是30.0610已知在数轴l上，一动点Q从原点O出发，沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度（1）求出5秒钟后动点Q所处的位置；（

31、2）如果在数轴l上还有一个定点A，且A与原点O相距20个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由【解答】解：（1）2510，点Q走过的路程是1+2+3+410，Q处于：12+34462；（2）当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则n+12=20，解得n39，动点Q走过的路程是1+|2|+3+|4|+5+|38|+39，1+2+3+39，=(1+39)392=780，时间7802390秒（6.5分钟）；当点A在原点左边时，设需要第n次到达点A，则n2=20，解得n40，动点Q走过的路程是1+|2|+3+|4|+5+39+|40

32、|，1+2+3+40，=(1+40)402=820，时间8202410秒 （656分钟）专题2 绝对值一、绝对值的化简【学霸笔记】1.一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，关系如下：；2.绝对值可以与数轴结合起来，可用于表示距离，如：表示数a到原点的距离，表示数a与数b间的距离；3.绝对值的性质；【典例】若a+b+c0，则|a|a+|b|b+|c|c+|ab|ab+|ac|ac+|bc|bc+|abc|abc的值为（）A7B1C1D7【解答】解：a+b+c0，a，b，c中两正一负或一正两负，假设a0，b0，c0，原式1+11+11111，其他情况同理值为1；

33、假设a0，b0，c0，原式11111+1+11，其他情况同理值为1，故选：B【巩固】数形结合是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，当a在数轴上位于原点的右侧时，|a|a；当a在数轴上位于原点时，|a|0；当a在数轴上位于原点的左侧时，|a|a当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题（1）当a1时，求|a|a= ，当b2时，求|b|b= （2）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求|a|a+|b|b+|c|c的值（3）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，化简：|a+c|+|c|+|a+b|bc|二、绝对值的非负性【学霸笔记】不小于0的数（或大于等于0的数）称为非负

34、数，具有以下性质：（1）非负数具有最小值0；（2）若几个非负数的和为0，那么每个非负数均为0；（3）任何数的绝对值都大于等于0，即任何数的绝对值都是非负数.【典例】有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题：（1）abc0 （2）|ab|+|bc|ac|（3）（ab）（bc）（ca）0 （4）|a|1bc其中正确的命题有（）A4个B3个C2个D1个【解答】解：由图可知c10，0ab1，（1）命题abc0正确；（2）在命题中ab0，bc0，所以|ab|+|bc|（ab）+（bc）2bac又因为ac0，所以|ac|ac左边右边，故错误；（3）在该命题中，因为ab0，bc0，c

35、a0，所以（ab）（bc）（ca）0，故正确；（4）在命题中，|a|1，bc0，1bc1，所以|a|1bc，故该命题正确所以正确的有命题这三个故选：B【巩固】如果有理数a，b满足|ab2|+（1b）20，试求：1ab+1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+1(a+2022)(b+2022)的值为 三、绝对值的最值【学霸笔记】1.的几何意义就是数轴上数a与数b两点间的距离；2.一般地，设分别是数轴上依次排列的表示有理数的点，若n为奇数，当时，的值最小；若n为偶数，当时，的值最小.【典例】阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|ab|理解：（1）

36、数轴上表示2和3的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和5的两点A和B之间的距离是；（3）当代数式|x1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是；（4）当x在何范围，|x1|x2|+|x3|x4|有最大值，并写出它的最大值【解答】解：（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是2（3）5故答案为：5；（2）数轴上表示x和5的两点A和B之间的距离是|x+5|故答案为：|x+5|；（3）在数轴上，|x1|+|x+3|表示数轴上x和1的两点之间与x和3的两点之间距离和，当代数式|x1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是3x1，最小值是4故答案为：3x1，4；（4）|x1|x2|

37、+|x3|x4|表示x到1的距离与x到2的距离的差与x到3的距离与x到4的距离的差的和，x4时有最大值1+12【巩固】已知数轴上表示数a的A与表示数b的点B之间的距离|AB|ab|（1）当x时，|x3|有最小值，这个最小值是（2）当x时，5|x2|有最大值，这个最大值是（3）当整数x 时，|x3|+|x6|有最小值，这个值是 （4）当整数x时，|x1|+|x2|+|x5|有最小值，这个值是（5）|x1|x5|有最大值，这个值是；|x1|x5|有最小值，这个最小值是；（6）已知|x2|+|x4|+|y1|y2|1，则（x+y）有最 值（填“大”，“小”），这个值是巩固练习1设x是有理数，y|x1

38、|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）Ay没有最小值B只有一个x的值使y取最小值C有有限个（不止一个）x的值使y取最小值D有无数多个x的值使y取最小值2已知整数a1、a2、a3、a4，满足下列条件：a10，a2|a1+1|，a3|a2+2|，a4|a3+3|，以此类推，则a2022的值为（）A2021B1010C1011D10093如果对于某一特定范围内的任意允许值，p|12x|+|13x|+|19x|+|110x|的值恒为一常数，则此值为（）A2B3C4D54设有理数a、b、c满足abc（ac0），且|c|b|a|，则|x-a+b2|+|x-b+c2|+|x+a+c2|的最小值是（）A

39、a-c2Ba+b+2c2C2a+b+c2D2a+b-c25若有理数m，n，p满足|m|m+|n|n+|p|p=1，则2mnp|3mnp|= 6已知|x+2|+|1x|9|y5|1+y|，则x+y的最小值为 ，最大值为 7有理数a、b、c均不为0，且a+b+c0，设x=|a|b+c+|b|c+a+|c|a+b，则代数式x2021+2021x2021的值为 8设abcd是一个四位数，a、b、c、d是阿拉伯数字，且abcd，则式子|ab|+|bc|+|cd|+|da|的最大值是9如果a，b，c是非零有理数，求a|a|+b|b|+c|c|的值10设x1，x2，x3，x4，x5，x6是六个不同的正整数，

40、取值于1，2，3，4，5，6，记S|x1x2|+|x2x3|+|x3x4|+|x4x5|+|x5x6|+|x6x1|，求S的最小值11已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：2|a+b|3|ac|+2|cb|12有一正整数列1，2，3，2n1、2n，现从中挑出n个数，从大到小排列依次为a1，a2，an，另n个数从小到大排列依次为b1，b2，bn求|a1b1|+|a2b2|+|anbn|之所有可能的值专题2 绝对值一、绝对值的化简【学霸笔记】1.一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，关系如下：；2.绝对值可以与数轴结合起来，可用于表示距离，如：表示数

41、a到原点的距离，表示数a与数b间的距离；3.绝对值的性质；【典例】若a+b+c0，则|a|a+|b|b+|c|c+|ab|ab+|ac|ac+|bc|bc+|abc|abc的值为（）A7B1C1D7【解答】解：a+b+c0，a，b，c中两正一负或一正两负，假设a0，b0，c0，原式1+11+11111，其他情况同理值为1；假设a0，b0，c0，原式11111+1+11，其他情况同理值为1，故选：B【巩固】数形结合是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，当a在数轴上位于原点的右侧时，|a|a；当a在数轴上位于原点时，|a|0；当a在数轴上位于原点的左侧时，|a|a当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题（1）当a1时，求|a|a= ，当b2时，求|b|b= （2）请根据a，b，c三个数在数