1、6.1 T0,T1,Hausdorff空间6.2 正则,正规,T3,T4空间6.3 U-引理和T-扩张定理6.4 完全正则空间,T-空间6.5 分离性公理与子空间6.6 可度量化空间6.1 T0,T1,Hausdorff空间空间 定义定义 6.1.16.1.1 X 是一个拓扑空间,如果对于X中任意两个不同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另 一点,则称拓扑空间X 是一个T0空间.xyUVT0 空空 间间yU 定理定理6.1.1 拓扑空间X是一个T0空间当且仅当X中任意两个不同的单点集有不同的闭包.即若xy,则 xy 证明：充分性充分性 因为对于任意的因为对于任意的x,yX，有，有 ，从而必有，
2、从而必有:or .若若 ，必有，必有 ,故故 ；同理可证当；同理可证当 时，时，,因此因此X是一个是一个T0空间空间.xy xy yx xy xy xXy yx yXx 必要性必要性 设X是一个T0空间，则对任意x,yX,xy,则或者有x的开邻域U使得 ,或者有y的开邻域V,使得 ,对于前一种情形,由于 ,从而 ,于是 ;同理若是后一种情形，也有 .yUxV Uy xy xy xy 定义定义6.1.2 X 是一个拓扑空间,若X中任意两个不相同的点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是一个T1空间空间.x yUVxVyUT1 空空 间间T0空间不是T1空间的例子注：注：T1空间当然是T0空
3、间例：,T=0,1X,0 X 定理定理6.1.2 设X是一个拓扑空间，则下列条件等价：（1）X是一个T1空间；（2）X中每一个单点集都是闭集;（3）X中每一个有限子集都是闭集.Next th证明:(1)(2).对任意xX,由于X是一个T1空间,则对任意的yX,且yx,y有一个邻域U使得 ,因此 .故即x是一个闭集.(2)(3)显然.x U yx返回定理(3)(1).若(3)成立,则对任意 ,单点集 和 都是闭集,从而 和 分别是y,x的开邻域,且前者不包含x,后者不包含y,从而X是一个T1 空间.,x y X x y x y x y x返回定理 定理定理6.1.3 设X是一个T1空间,则点 是
4、X的子集A的一个凝聚点当且仅当x的每一个邻域U中都含有A中的无限多个点，即 是一个无限集.xXUA证明：证明：充分性显然；必要性：必要性：设x是X的子集A的一个凝聚点，若x有一个邻域U使得UA是一个有限集，令B=UA-x.则B也是一个有限集，因此是一个闭集.从而U-B是一个开集，且为x的一个邻域.又易知 .故x不是A的凝聚点，矛盾.()UBA继续AXUB（1）XUA（2）B 定理定理6.1.4 设X是一个T1空间,则X中的一个由有限个点构成的序列xi收敛于点x当且仅当存在N0使得xi=x对于任意iN成立.定义定义6.1.3 X 是一个拓扑空间,若X中任意两个不相同的点都各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称X是一个Hausdorff空间空间，或T2空间空间.x yUVxVyUT2 空空 间间 例例6.1.1 非Hausdorff的T1空间的例子.定理定理6.1.5 Hausdorff空间中的任空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点何一个收敛序列只有一个极限点.作业：作业：2，12返回
