北京市朝阳区2020届高三上学期抽样检测数学试题 Word版含解析.doc

1、北京市朝阳区北京市朝阳区 2019201920202020 学年度第一学期高三年级抽样检测学年度第一学期高三年级抽样检测 数学试卷数学试卷 第一部分（选择题共第一部分（选择题共 4040 分）分） 一、选择题（共一、选择题（共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分）分） 1.已知集合=xR|3x+20A，B=x R|(x+1)(x-3)0，则A B=（ ） A. (, 1) B. 2 ( 1,) 3 C. 2 (,3) 3 D. (3,) 【答案】D 【解析】，或，所以，故选 D. 考点：集合的运算 【此处有视频，请去附件查看】 2.已知等比数列 n a，满足

2、 23210 loglog1aa，且 36811 16a a a a，则数列 n a的公比 为（） A. 4 B. 2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 利用对数运算公式和对数定义可由 23210 loglog1aa得到 310 2a a， 由等比数列的下标性质和等比数列各项正负性的性质，可由 36811 16a a a a得到 311 4a a， 最后可以求出等比数列的公比. 详解】等比数列 n a中， 232102310310 loglog1log1()2aaa aa a ， 368 2 113 11 16)16(a a a aa a，由等比数列各项正负性的性质可知： 311 ,a

3、 a同号，故 311 4a a， 除以，得：等比数列的公比 311 310 2 a a a a q ，故本题选 B. 【点睛】本题考查了对数的运算性质及对数的定义，考查了等比数列的下标性质，考查了求 等比数列的公比，考查了数学运算能力. 3.已知命题:pnN ，2nn，则 p 是 A. n N，2n n B. n N，2n n C. nN ，2n n D. nN ，2n n 【答案】C 【解析】 p 为：nN ，2nn.选 C. 4.已知函数 84 ( )() 2 x x a f xa R是奇函数，( )ln(e1)() x g xbx bR是偶函数， 则logba （） A. 3 B. 1

4、3 C. 1 3 D. 3 【答案】A 【解析】 利用奇函数的性质(0)0f， 可以求出a的值， 由偶函数的性质( )()g xgx， 可以求出b 的值，利用对数的运算公式，可以求出logba的值. 【 详 解 】 因 为 函 数 84 ( )() 2 x x a f xa R奇 函 数 ， 所 以 ( 0 )0f， 即 808aa， 因为( )ln(e1)() x g xbx bR是偶函数，所以( )()g xgx， 1 ln(e1)ln(e1)ln(e1)ln(e1)22, 2 xxxx bxbxbxxbxxb R 因此 1 2 loglog 83 ba ，故本题选 A. 【点睛】本题考查

5、了奇偶函数的性质，考查了对数的运算，考查了数学运算能力. 5.设点 P 是圆 22 (1)(2)2xy上任一点，则点 P到直线10xy 距离的最大值为 （） A. 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 22 2 【答案】C 【解析】 先求出圆心到直线10xy 距离，然后利用圆的性质可以求出点 P 到直线10xy 距离的最大值. 【详解】因为 22 (1)(2)2xy的圆心坐标为( 1,2)，半径为 2r ，因此圆心到直 线10xy 的距离为 22 1 12 ( 1) 1 2 2 1( 1) d ，因此点 P 到直线10xy 距 离的最大值为 3 2dr ，故本题选 C. 【点睛】 本题考查了圆

6、上的点到定直线距离的最大值问题， 利用圆的几何性质是解题的关键. 6.设 n a为等差数列，p，q，k，l为正整数，则“pqkl”是“ pqkl aaaa ” 的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 根据不等式 pqkl aaaa ，得到等差数列公差的正负性和 p，q，k，l之间的关系，结合 充分性、必要性的定义选出正确答案即可. 【详解】设等差数列的公差为d， 1111 (1)(1)(1)(1) pqkl apdaqdaaaaakdald ()()0dpqkl 0d pqkl 或 0d pqkl ， 显然由

7、pqkl不一定 能推出 pqkl aaaa ，由 pqkl aaaa 也不一定能推出 pqkl， 因此pqkl是 pqkl aaaa 的既不充分也不必要条件，故本题选 D. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了充要条件的判断. 7.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太 极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影 区域在 y轴右侧部分的边界为一个半圆给出以下命题： 在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是 1 2 ； 当 4 3 a 时，直线(2)ya x与黑色阴影部分有公共点； 当0,1a时，直线(

8、2)ya x与黑色阴影部分有两个公共点 其中所有正确结论的序号是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 :根据圆的对称性可以阴影部分的面积是圆的面积一半， 可以求出在太极图中随机取一点， 此点取自黑色阴影部分的概率的大小； ：当 4 3 a 时，可以求出阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标，求出圆心到直线 (2)ya x距离，这样可以判断出半圆与直线的关系，最后可以判断出直线(2)ya x 与黑色阴影部分是否有公共点； ：当0a 时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，所以可以判断出本 结论是否正确. 【详解】：因为阴影部分的面积是圆的面积一半，所以在太极图中随机取一点，

9、此点取自 黑色阴影部分的概率的大小为 1 2 ，故本结论是正确的； ：当 4 3 a 时，阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标为(0,1)，半径为 1，它到直线 (2),4380ya xxy的距离为 22 0 43 1 8 1 43 d ，所以直线与半圆相切，因 此直线与黑色阴影部分有公共点，故本结论是正确的； ：当0a 时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，故本结论是错误的， 因此只有结论是正确的，故本题选 D. 【点睛】本题考查了几何概型，考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的对称性. 8.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数 1，3，6，10，第 n 个三角

10、形数为 2 (1)11 222 n n nn ，记第 n个 k边形数为( , )N n k(3)k ，下面列出了 部分 k 边形数中第 n 个数的表达式： 三角形数 2 11 ( ,3) 22 N nnn， 正方形数 2 ( ,4)N nn， 五边形数 2 31 ( ,5) 22 N nnn， 六边形数 2 ( ,6)2N nnn， 以此类推，下列结论错误的是（） A. (5,4)25N B. (3,7)18N C. (5,10)145N D. (10,24)1000N 【答案】C 【解析】 根据三角形数、正方形数、五边形数、六边形数中第 n个数的表达式，可以得到 k 边形数中 第 n个数的表

11、达式，对四个选项依次判断即可. 【详解】因为三角形数 22 1132 ( ,3) 222 43 2 N nnnnn ， 正方形数 22 44 2 42 ( ,4) 2 N nnnn ， 五边形数 22 3152 ( ,5) 222 45 2 N nnnnn ， 六边形数 22 62 ( ,6)2 2 46 2 N nnnnn ， 所以可以类推得到：第 n个 k边形数为 2 2 ( , ) 2 4 2 k N n k k nn (3)k ， 于是有(5,4)25N，(3,7)18N，(5,10)85N，(10,24)1000N，因此选项 C是 错误的，故本题选 C. 【点睛】本题考查了合情推理的

12、归纳推理，考查了代数式恒等变形的能力，属于基础题. 9.在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点与 O重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边 与单位圆交点的纵坐标为 1 3 将角沿逆时针方向旋转(, ) 2 角后，得到角，则 （） A. sin的最大值为 1 3 ，sin的最小值为 1 3 B. sin的最大值为 2 2 3 ，sin的 最小值为 1 3 C. cos的最大值为 1 3 ，cos的最小值为1 D. cos的最大值为 1 3 ，cos的最 小值为 2 2 3 【答案】C 【解析】 根据题意，由三角函数的定义，可以求出锐角的正弦，利用同角的三角函数关系式，可 以求出锐角的余弦值，结合

13、正弦函数和余弦函数的单调性，求出sin、cos的最值， 最后选出正确答案. 【详解】由题意可知： 1 sin 3 ，(0,) 6 ，所以有 2 2 cos1 sin2 3 ， , , 22 ，即, 2 ， 因为(0,) 6 ， 所以 3 , 222 ，因为siny在 3 , 22 上单调递减， 所以siny的最大值为 2 sin()cos2 23 ， siny的最小值为 1 sin()sin 3 ； 因为, 2 ，所以当时，cosy有最小值，最小值为1， 1 cos()sin 23 ， 2 cos()cos2 3 ，所以cos的最大值为 1 3 ， 故本题选 C. 【点睛】本题考查了三角函数定

14、义，考查了同角的三角函数关系式，考查了正弦函数、余弦 函数的在闭区间上的最值. 10.在平面直角坐标系xOy中，设为边长为 1的正方形内部及其边界的点构成的集合从 中的任意点 P 作 x 轴、y轴的垂线，垂足分别为 P M， p N所有点 P M构成的集合为 M， M 中所有点的横坐标的最大值与最小值之差记为( )x ；所有点 P N构成的集合为 N，N中 所有点的纵坐标的最大值与最小值之差记为()y 给出以下命题： ( )x 的最大值为 2： ( )( )xy 的取值范围是2,2 2；( )( )xy 恒等于 0 其中所有正确结论的序号是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 根

15、据新定义画图，通过正方形对角线的位置，数形结合可以选出正确的答案. 【详解】由题意，根据正方形的对称性，设正方形的初始位置为正方形OABC,画出图形， 如下图所示： 正方形的边长为 1，所以正方形的对角线长为 2. 当正方形OABC绕O顺时针旋转时，可以发现当对角线OB在横轴时，如图所示：( )x 的 最大值为 2，故结论正确；此时 ( )2, ( )2xy ，所以有( )( )2 2xy ， 当正方形OABC绕O顺时针旋转时，当正方形有一边在横轴时，( )x ，()y 有最小值为 1，即( ) 1, ( )1xy ，所以( )( )xy 有最小值为 2，所以有( )( )2xy ，故结 论正

16、确； 由于( )( )xy ，所以( )( )xy 恒等于 0，故结论正确，综上所述：结论都 正确，故本题选 D. 【点睛】本题考查了新定义的理解与运用，考查了数学阅读能力，考查了分类思想、数形结 合思想. 第二部分（非选择题共第二部分（非选择题共 110110 分）分） 二、填空题（共二、填空题（共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分） 11.已知向量( 1,2)m ，(1, )n若mn，则2mn与m的夹角为_ 【答案】 4 【解析】 根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合m n ，可以求出的值，再根据平面向量夹 角公式求出 2mn 与m的夹角. 【详解

17、】因为m n ，所以 1 01 120 2 m n ，即(1 2) 1 ,n ， 因此2(1,3)mn，设 2mn 与m的夹角为，因此有 (2 )52 cos 2105 2 mmn mmn ，因为0, ，所以 4 . 【点睛】本题考查了平面向量夹角公式，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了平 面向量垂直的性质，考查了数学运算能力. 12.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为_，最长棱长为_ 【答案】 (1). 2 (2). 3 【解析】 画出四棱锥的图形，由三视图求出几何元素的长度，求出体积和最长棱长即可， 【详解】四棱锥PABCD如下图所示：底面是直角梯形， ,/ /,2,1AD

18、ABADBC ADABBC，PA 底面ABCD，且 2PA ， 所以四棱锥的体积为 11 (2 1) 2 22 32 V ； 22 2 2PDPAAD , 22 2 2PBPAAB , 22222 3PCPAACPAABBC , 22 (2 1)25DC ,所以最长棱长 为 3. 【点睛】本题考查了四棱锥体积的求法，考查了勾股定理的应用，考查了数学运算能力. 13.已知直线2yx与曲线 ln()yxa相切，则 a的值为_ 【答案】3 【解析】 设出切点坐标，对函数进行求导，求出该切点处的切线的斜率，结合直线2yx与曲线 ln()yxa相切，可以求出 a的值. 【详解】设直线2yx与曲线ln()

19、yxa相切于点 00 (,)P xy， 1 ln()yxay xa ，所以过点 00 (,)P xy的切线的斜率为 0 1 k xa ，因此有： 00 000 00 1 1 0 223 ln()3 xay yxxa yxaa . 【点睛】本题考查了已知曲线切线求参数问题，设切点、求导是解题关键，考查了数学运 算能力. 14.若函数 2 log,0 ( ) 2,0 x x x f x a x 有且只有一个零点，则 a的取值范围是_ 【答案】(, 1)0,) 【解析】 先判断当0x 时，函数是否有且只有一个零点，如果有且只有一个零点，那么当0x时 函数就不存在零点；如果函数在0x 时，没有零点，那

20、么函数在0x时，有且只有一个 零点，这样就可以求出 a的取值范围. 【详解】当0x 时，函数 2 ( )logf xx，显然函数单调递增，且(1)0f，所以函数( )f x 有且只有一个零点， 要想函数 ( )f x在全体实数范围内， 有且只有一个零点， 只需当 0x时， 20 x a 或20 x a 恒成立即可. 当20 x a 在0x恒成立时， min 202( 2 )1 xxx aaa ； 当20 x a 在0x恒成立时，202 ,0200 xxx aaxa ， 综上所述：a的取值范围是(, 1)0,) . 【点睛】本题考查了已知分段函数的零点求参数问题，考查了不等式恒成立问题，考查了对

21、 数函数和指数函数的单调性应用. 15.设函数( ) sin(2) 3 f xx ，若对于任意的 1 , 4 4 x ，在区间 , 上总存在唯一确 定的 2 x，使得 12 ()()0f xf x，则|的最小值为_ 【答案】 3 【解析】 先求出当 1 , 4 4 x 时，函数 11 ()sin(2) 3 f xx 的值域，再根据 12 ()()0f xf x，可 以求出函数 22 ()sin(2) 3 f xx 值域的子集， 结合正弦型函数的单调性， 可以求出|的 最小值. 详解】 111 121 ,(2),sin(2),1 4 436332 xxx ，即 1 1 (),1 2 f x ，

22、而 12 ()()0f xf x，因此 22 ()sin(2) 3 f xx 值域包含 1 1, 2 ，且 2 , x ，由题意可 知在区间 , 上总存在唯一确定的 2 x，使得 12 ()()0f xf x，因此有以下两种情形： （1） 15 2 636 kk 且 3 2() 32 kkZ ，此时 21 33 ， 所以 2 33 ，因此|的最小值为 3 ； （2） 3 2 32 k 且 1317 2() 636 kkkZ ，此时 21 33 ， 所以 2 33 ，因此|的最小值为 3 ；综上所述：|的最小值为 3 . 【点睛】 本题考查了正弦型函数的值域问题， 考查了已知正弦型函数在闭区间上

23、值域求区间 长度最小值问题，考查了数形结合思想. 16.在平面直角坐标系 xOy中，设直线 yx2与圆 x2y2r2(r0)交于 A，B 两点若 圆上存在一点 C，满足 53 44 OCOAOB，则 r 的值为_ 【答案】10 【解析】 【详解】 2 2225325539 OCOAOBOA2OAOBOB 44164416 即 2222 25159 rrr cosAOBr 16816 ，整理化简得 cosAOB 3 5 ，过点 O 作 AB 的垂 线交 AB 于 D，则 cosAOB2cos 2AOD13 5 ，得 cos 2AOD1 5 .又圆心到直线的距离 为 OD 2 2 2 ，所以 co

24、s 2AOD1 5 2 2 OD r 2 2 r ，所以 r 210，r 10. 三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小題，共小題，共 8080 分。解答分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17.在ABC中，3 2b ， 6 cos 3 A ， 2 BA （）求 a 的值； （）求cos2C的值 【答案】 （）3a （） 7 9 【解析】 （）根据同角的三角函数关系式，结合 6 cos 3 A ，可以求出sin A的值，运用正弦定 理，可以求出 a 的值； （）由 6 cos 3 A ， 2 BA ，运用诱导公式，可以求出sinB的值，根据同角的

25、三 角函数关系式，可以求出cosB的值，运用三角形内角和定理和两角和的正弦公式求出 sinC，最后利用二倍角的余弦公式求出cos2C的值. 【详解】解： （）在ABC中，由 6 cos 3 A ， (0, )A得 2 3 sin1 cos 3 AA 因为 2 BA ， 由正弦定理 sinsin ab AB ， 得sin()3 2sin 2 aAA ，即 3 cos3 2 3 aA， 所以3a （）因为 6 cos 3 A ， 2 BA ， 所以 6 sinsin()cos 23 BAA ， 2 3 cos1 sin 3 BB 所以 1 sinsin()sin()sincoscossin 3 C

26、ABABABAB 故 2 7 cos212sin 9 CC 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了二倍角的余弦 公式，考查了两角和的正弦公式，考查了数学运算能力. 18.已知数列 n a是等差数列， 满足 2 5a ， 4 9a ，数列 nn ba是公比为 3的等比数列， 且 1 3b （）求数列 n a和 n b的通项公式； （）求数列 n b的前 n 项和 n S 【答案】 （）21 n an， * nN 1* 6 3(21), n n bnn N（） 12 332 n nn 【解析】 【分析】 （）设出等差数列 n a的公差，运用等差数列的通项公式，结合已知

27、 2 5a ， 4 9a ， 可以求出公差，最后求出通项公式；这样利用已知数列 nn ba是公比为 3 的等比数列， 且 1 3b 可以得到数列 nn ba的通项公式，最后求出数列 n b的通项公式； （）根据等差数列和等比数列前 n 项和公式，利用分组求和法求数列 n b的前 n 项和 n S. 【详解】解： （1）设等差数列 n a的公差为 d 由 2 5a ， 4 9a ，得952d，解得2d 所以 2 (2)52(2)21 n aandnn 即 n a的通项公式为：21 n an， * nN 由于 nn ba是公比为 3 的等比数列，且 11 6ba， 所以 11 11 () 36 3

28、 nn nn baba 从而 11* 6 36 3(21), nn nn bann N （）由（） 1* 6 3(21), n n bnn N 数列 n b的前 n 项和 1 6(1 33)3 5(21) n n Sn 6(13 )3(21) 132 n nn 12 332 n nn 【点睛】本题考查了等差数列基本量求法，考查了等比数列的通项公式，考查了等差数列和 等比数列前 n项和公式，考查了数学运算能力. 19.已知四边形ABCD为直角梯形，/ /ADBC，ABBC， 24BCAB，3AD ，F为 BC中点，/ /EFAB，EF与AD交于点E，沿EF将四边形EFCD折起，连接 ,AD BC

29、 AC （1）求证：/ /BE平面ACD; （2）若平面ABFE 平面EFCD （I）求二面角BACD的平面角的大小； （II）线段AC上是否存在点P，使FP 平面ACD，若存在，求出 AP AC 的值，若不存在， 请说明理由 【答案】 （1）见解析； （2） （I）见解析； （II） 2 3 AP AC . 【详解】 （1）依据题设条件，运用线面平行的判定定理推证； （2）依据题设建立空间直角坐 标系，运用向量的坐标形式进行分析探求 （1）证明：连结AF交BE于O，则O为AF中点，设G为AC中点，连结,OG DG，则 / /OGCF，且 1 = 2 OGCF 由已知/ /DECF且 1 2

30、DECF / /DEOG且=DE OG，所以四边形DEOG为平行四边形 / /EODG，即/ /BEDG BE 平面ACD，DG 平面ACD， 所以/ /BE平面ACD （2） 由已知ABFE为边长为 2正方形， ADEF， 因为平面ABEF 平面EFCD，又DEEF， ,EA EF ED两两垂直 以E为原点，,EA EF ED分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则0,0,0 ,2,0,0 ,2,2,0 ,0,2,0 ,0,0,1 ,0,2,2EABFDC （I）可求平面ACF法向量为 1 1,0,1n ， 平面ACD法向量为 2 1, 1,2n ， 3 cos 2 ， 所以二面角BA

31、CD的平面角的大小为 5 6 （II）假设线段AC上是否存在点P，使FP 平面ACD，设 AP AC （01） ， 则2 ,2 ,2APAC ， 22 , 22 ,2FPFAAP FP 平面ACD，则 2 / /FPn，可求 2 0,1 3 所以线段AC上存在点P，使FP 平面ACD，且 2 3 AP AC 20.已知点 E在椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 上，以 E 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆 C 的 右焦点 2 F，与 y轴相交于 A，B两点，且 ABE是边长为 2的正三角形 （）求椭圆 C的方程； （）已知圆 22 18 : 5 O xy，设圆 O上任意一点 P处的

32、切线交椭圆 C 于 M、N两点，试 判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点， 求出该定点坐标， 并直接写出| |PMPN 的值；若不过定点，请说明理由 【答案】 （） 22 1 96 xy （） 以MN为直径的圆过原点， 坐标为 0,0， 且| |P MP N 为定值 18 5 【解析】 （）根据圆的切线性质可以知道 2 EFx，这样可以求出点 E 的坐标，利用等边三角形 的性质，可以求出c、 2 b a 的值，再根据 222 cab，最后求出 , a b的值，也就求出椭圆 C 的方程； （）当过点 P且与圆 O相切的切线的斜率不存在时，设出直线方程，求出 M、N 两点的 坐标，判断 0OM

33、 ON 是否成立，可以判断以MN为直径的圆是否过定点，也就能求出 | |PMPN的值； 当过点 P 且与圆 O相切的切线的斜率存在时，设出直线的截距式方程y kxm ，设出 M、 N两点的坐标，根据直线和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可得到一个等式， 联立直线方程y kxm 和椭圆方程 22 2318xy，消去y，得到一个关于x的一元二次 方程，利用根与系数关系，计算OM ON 的值，最后可以求出| |PMPN的值. 【详解】解： （）由题意可得 2 EFx轴，则 2 ( ,) b E c a ， 因为ABE是边长为 2 的正三角形， 所以 3 23 2 c 2 2 b a ，且 22

34、 3ab ， 解得3a ，6b ， 所以椭圆方程为 22 1 96 xy （）当过点 P且与圆 O相切的切线的斜率不存在时， 可设切线方程为 18 5 x ，可得 1818 (,) 55 M， 1818 (,) 55 N， 则 0OM ON ，所以OMON， 此时以MN为直径的圆过原点， 22 18 | | | 5 PMPNOPr为定值； 当过点 P 且与圆 O相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为y kxm ， 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy， 由直线和圆相切可得 2 |18 5 1 m k ，即 22 (518 1)mk， 联立直线方程y kxm 和椭圆方程 22 231

35、8xy， 可得 222 (23)63180kxkmxm， 即有， 12 2 6 23 km xx k ， 2 12 2 318 23 m x x k ， 12121212 ()()OM ONx xy yx xkxm kxm 22 1212 (1)()kx xkm xxm 2 22 22 3186 (1)()0 2323 mkm kkmm kk ， 可得OMON， 此时 22 18 | | | 5 PMPNOPr 综上可得以MN为直径的圆过原点，且| |PMPN为定值18 5 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了圆的切线性质，考查了直线与椭圆的位置关 系，考查了以线段为直径的圆过定点问题，

36、考查了数学运算能力. 21.设函数 2 ( )(e3e2) xx f xxa，其中aR （）当2a 时，求曲线( )yf x在(0,(0)f处的切线方程； （）讨论 ( )f x的极值点的个数； （）若 ( )f x在 y轴右侧的图象都不在 x 轴下方，求实数 a的取值范围 【答案】 （）0xy（）答案不唯一，具体见解析（）01a 【解析】 （）当2a 时，求出函数 ( )f x的导函数，再求出在(0,(0)f 处的切线的斜率，最后利 用点斜式求出切线方程； （）求函数 ( )f x的导函数 ( ) fx，通过换元法，导函数 ( ) fx的解析式是二次项系数不确 定的多项式函数， 根据二次项系

37、数等于零、 大于零、 小于零， 结合一元二次方程根的判别式， 分类讨论求出函数 ( )f x的极值点的个数； （）由题设可知0x ，( )0f x 因此有当0x 时，e1 x t ， 根据（）可知函数的单调性进行分类讨论； 当 8 0 9 a时，利用函数( )f x的单调性可以证明出( )0f x 成立 当 8 9 a 时，利用根与系数关系，和函数的单调性可以得到1a 当1a 时，利用放缩法、构造新函数，可以证明当0x 时，( )0f x 不恒成立，最后确 定 a的取值范围. 【详解】解： （）当2a 时， 2 ( )2(e3e2) xx f xx， 2 ( )4e6e1 xx fx， 所以(

38、0)0f，(0)1 f 曲线( )yf x在(0,(0)f处的切线方程为(0)(0)(0)yffx ，即0xy （）由已知可得 2 ( )2 e3 e1 xx fxaa， 设ex t ，则 2 ( )231(0)fxatatt，记 2 ( )231g tatat， （1）0a 时，( )10fx ，函数 ( )f x在 R上为增函数，没有极值点 （2）当0a 时，判别式 2 98aa ， 若 8 0 9 a时，0 ，( )0fx ，函数 ( )f x在 R 上为增函数，没有极值点 若 8 9 a 时，由(0)10g ，抛物线( )g t的对称轴为 3 0 4 t ， 可知( )g t的零点均为

39、正数 不妨设( )0g t 的两个不等正实数根为 12 ,t t，且 12 tt， 则 2 12 ( )2 e3 e12 (e() e xxxx fxaaatt ， 所以当 1 (,ln )xt ，( )0fx，( )f x单调递增， 当 12 ln ,(n)lxtt，( )0fx，( )f x单调递减， 当 2 (ln ,)xt，( )0fx，( )f x单调递增， 此时函数 ( )f x有两个极值点 （3）若0a 时，由(0)10g ， 可知( )0g t 的两个不相等的实数根 12 ,t t，且 12 0tt， 当 2 ,ln()xt ，( )0fx，( )f x单调递增， 当 2 (l

40、n ,)xt，( )0fx，( )f x单调递减， 此时函数只有一个极值点 综上：当 8 0 9 a时( )f x无极值点； 当0a 时 ( )f x有一个极值点； 当 8 9 a 时( )f x有两个极值点 （）由题设可知0x ，( )0f x 0x 时，e1 x t ， 由（）知： 当 8 0 9 a时，函数( )f x在 R 上为增函数， (0)0f，所以( )0f x 成立； 当 8 9 a 时， 1 2 1 1 2 t t a ， 12 3 2 tt，所以 12 3 4 tt， 当 2 ln ,)xt时( )f x单调递增，又(0)0f， 所以，0x ，( )0f x 等价于 2 l

41、n0t ，即 2 1t 所以只需 2 (1)2310( )gaag t ，即 1a 所以，当 8 1 9 a时，也满足0x ，( )0f x ； 当1a 时， 2 ( )(e3e2) xx f xxa 2 e(e3e2) xxx a 2 e(31)e2 xx aaa， 考察函数 2 ( )(31)2 (1) x tatata te， 显然存在1 x te ，使得 2 ( )(31)20tatata， 即存在0x ，使得( )( )0f xt，不满足0x ，( )0f x 综上所述，a的取值范围是01a 【点睛】本题考查了求曲线的切线方程，考查了利用导数求函数的极值，考查了利用导数研 究不等式恒

42、成立问题. 22.已知数列 n x， 如果存在常数 p， 使得对任意正整数 n， 总有 1 ()()0 nn xpxp 成立， 那么我们称数列 n x为“p-摆动数列” （）设21 n an， 1 () 2 n n b ， * nN，判断 n a、 n b是否为“p-摆动数列”，并 说明理由； （）已知“p-摆动数列” n c满足 1 1 1 n n c c ， 1 1c ，求常数 p 的值； （）设( 1)(21) n n dn ，且数列 n d的前 n项和为 n S，求证：数列 n S是“p-摆动 数列”，并求出常数 p的取值范围 【答案】 （） 数列 n a不是“p-摆动数列”， 数列

43、n b是“p-摆动数列”， 详见解析； （） 51 2 p ； （）证明见解析，p的取值范围是( 1,2) . 【解析】 （） 假设数列 n a是“p-摆动数列”，通过对n取特殊值， 可以证明出数列 n a不是“p- 摆动数列”； 通过数列 n b的通项公式和指数运算的法则， 结合“p-摆动数列”的定义， 可以证明出数列 n b是“p-摆动数列”； （）利用递推公式，可以求出 2 c的值，由 n c是“p-摆动数列”，这样可以求出常数 p 的取值范围， 通过 n c是“p-摆动数列”的定义， 可以得到奇数项、 偶数项与 p的大小关系， 这样利用通项公式最后可以求出常数 p的值； （）分类讨论：分别当 n 为偶数时、当 n 为奇数时，求出 n S，最后确定 n S的表达式，根 据“p-摆动数列”的定义，可以证明数列 n S是“p-摆动数列，分别当 n为奇数时、当 n 为