全国高中数学联赛与各省市预赛历届（2009-2019）试题汇编函数（解析版）.doc

1、 全国高中数学历届全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编联赛与各省市预赛试题汇编 专题专题 20 函数真题汇编与预赛典型例题函数真题汇编与预赛典型例题 1 【2019 年全国联赛】已知正实数 a 满足，则的值为 . 【答案】 【解析】 由. . 2 【2018 年全国联赛】设 f（x）是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间0，1上严格递减，且满足 ，则不等式组的解集为 . 【答案】 【解析】由 f（x）为偶函数及在0，1上严格递减知，f（x）在-1，0上严格递增，再结合 f（x）以 2 为周 期可知，1，2是 f（x）的严格递增区间. 注意到. 所以. 而，故

2、原不等式组成立当且仅当. 3 【2017 年全国联赛】设为定义在 R上的函数，对任意实数 x 有.当 0x7时， .则的值为_。 【答案】 【解析】 由题得，所以函数的周期为 7， . 故答案为： 4 【2016 年全国联赛】设正实数 u、v、w 均不等于 1.若，则 的值为_. 【答案】 【解析】 令.则: . 故. 从而，. 5 【2015 年全国联赛】设为不相等的实数.若二次函数满足，则的 值为_. 【答案】4 【解析】 由已知条件及二次函数图像的轴对称性得 . 故答案为：4 6 【2014 年全国联赛】若正数a，b满足 236 2log3loglog ()abab，则 11 ab 【答

3、案】108 【解析】 试题分析：设 23 236 2log3loglog ()2,3,6 ttt ababtabab 11ab abab 23 6 108 23 t tt 考点：指数与对数运算 7 【2014 年全国联赛】设集合中的最大、最小元素分别为 M、m，则的值为 _. 【答案】 【解析】 由，知. 当时，取得最大元素. 又，当时，取得最小元素. 因此，. 8 【2014 年全国联赛】若函数 2 1f xxa x在0,上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】0,2 【解析】 试题分析： 2 2 ,1, ,1 xaxa x f x xaxa x ，1,x时， f x 2 xaxa=

4、2 2 a x 2 4 a a ，,1x 时， f x 2 xaxa= 2 2 24 aa xa .当1 2 a 即a 时， f x在 2 a 上单调递减，在, 2 a 上单调递增，不合题意;当01 2 a 即02a时，符合题意;当0 2 a 即 0a 时，不符合题意.综上，a的取值范围是0,2. 考点：绝对值定义、函数单调性、分类讨论. 9 【2013 年全国联赛】设为实数，函数满足：对任意的，有.则的 最大值为_. 【答案】 【解析】 易知， 则 . 当，即时，取最大值 . 10 【2012 年全国联赛】设.则的最大值是_. 【答案】. 【解析】 不妨设.则. 由. 当且仅当时，上式等号同

5、时成立. 11 【2011 年全国联赛】函数的值域为_. 【答案】 【解析】 由题得 x1， 设.则. 设.因为， 所以， 所以， 则，且.故. 故答案为： 12 【2011 年全国联赛】设为正实数，且.则_. 【答案】 【解析】 由，得. 又， 即. 于是， 再由式中等号成立的条件，得.与式联立解得 故. 故答案为：-1 13 【2010 年全国联赛】函数的值域是_. 【答案】 【解析】 易知，的定义域是，且上是增函数.从而，的值域为. 14 【2010 年全国联赛】函数在区间上的最大值为 8.则它在 这个区间上的最小值是_. 【答案】 【解析】 试题分析：由题意得，令，因为，当时，则，则

6、，所以当时，函数取得最大值，此时最大值为 ，解得，所以函数的最小值为；当时， 则，则，所以当时，函数取得最大值，此时最大值为 ，解得，所以函数的最小值为，所以函数的最 小值为. 考点：函数的最值问题. 【方法点晴】本题主要考查了函数的最值问题，其中解答中涉及到函数的单调性的应用、一元二次函数的 图象与性质的应用、指数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的 能力，同时考查了换元法和转化与化归思想的考查，属于中档试题，本题的解答中换元后，灵活应用二次 函数的图象与性质是解答问题的关键. 15 【2009 年全国联赛】若函数，且则_ 【答案】 【解析】 因为，所以故

7、16 【2009 年全国联赛】若方程仅有一个实根，那么 的取值范围是 【答案】 【解析】 当且仅当 对由求根公式得 ()当时，由得 所以同为负根 又由知 所以原方程有一个解 ()当时，原方程有一个解 ()当时，由得 所以同为正根，且，不合题意，舍去 综上可得为所求 17 【2018 年全国联赛】已知定义在 R+上的函数 f（x）为. 设 a，b，c 是三个互不相同的实数，满足 f（a）=f（b）=f（c） ，求 abc 的取值范围. 【答案】 （81，144）. 【解析】不妨假设 a0，得 1a2. a的取值范围为1，2. 5 【2018 年江苏】设，期中表示的最大公约数，则的值为 _. 【答

8、案】520 【解析】 如果，则，所以. 又， 所以. 故答案为：520 6 【2018 年贵州】牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手，这四人中有以下情况： 最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；最佳选手与最差选手年龄相同则这四人中最佳选手是 _ 【答案】牛得亨先生的女儿 【解析】 由题意知，最佳选手和最佳选手的孪生同抱年龄相同；由，最佳选手和最差选手的年龄相同；由，最 佳选手的孪生同胞和最差选手不是间一个人因此，四个人中有三个人的年龄相同由于牛得亨先生的年 龄肯定大于他的儿子和女儿，从而年龄相同的三个人必定是牛得亨先生的儿子、女儿和妹妹由此，牛得 亨先生的儿子和女儿必定是中

9、所指的孪生同胞 因此，牛得亨先生的儿子或女儿是最佳选手，而牛得亨先生的妹妹是最差选手由，最佳选手的孪生同 胞一定是牛得亨先生的儿子，而最佳选手无疑是牛得亨先生的女儿 故答案为：牛得亨先生的女儿 7 【2018 年贵州】函数 的最小值是_ 【答案】 【解析】 因为 此即为直线 y=x上的点（x，y）到点（0，1）与到点（2，3）的距离之和，根据镜像原理，z的最小值应为 点（1，0）到点（2，3）的距离 故答案为： 8 【2018 年贵州】若方程 axx（a0，a1）有两个不等实根，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 【解析】 由 axx 知 x0，故，令（x0） ，则当时， ； 当时， 所以在

10、(0， e)上递增， 在(e， +)上递减 故， 即 故答案为： 9 【2018 年北京】已知实数满足，则_. 【答案】1 【解析】 化为 对 数 ， 有， 所 以 . 10 【2018 年北京】已知函数满足，那么的值域为_. 【答案】 【解析】 设函数满足， . 所 以 所 求 函 数 是， 其 图 像 如 图 ， 易 知 的值域是. 11 【2018 年福建】设是由有限个正整数构成的集合，且，这 里，2，20并对任意的，都有，已知对 任意的，若，则求集合的元素个数的最小值 （这里， 表示集合 的元素个数） 【答案】180 【解析】 记 不妨设，2，20 设，2， 因为对任意的，都有，所以，

11、互不相同，即 又对任意的，若，则， 所以当，20 时， 即，当，20 时， 所以 若，则 若，则所以总有 另一方面，取，其中，2，20， 则符合要求 此时， 综上所述，集合的元素个数的最小值为 180 12 【2016 年江苏】已知函数 （1）若对于任意的，均有，证明：； （2）当时，证明：对于任意的成立的充分必要条件为 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 （1）因为恒成立，所以， 又，故 （2）必要性： 对于任意的则，即 又，得从而， 因此， 充分性： 由，且，则对于任意的，有 又，故 13 【2016 年江苏】求方程的实数解 【答案】 【解析】 令 则 令 注意到， 则，即

12、又，当时， 故于是，对任意的，有从而， 综上，原方程的实数解构成的集合为 14【2016 年甘肃】 已知奇函数的定义域为， 且在内递减， 求满足： 的实数的取值范围 【答案】 【解析】 由 f(x)的定义域是2，2， 知解得1m. 因为函数 f(x)是奇函数，所以 f(1m)f(1m2)，即 f(1m)m21，解得2m1. 综上，实数 m 的取值范围是1m1. 15 【2016 年北京】黑板上写有方程.证明：任取三个两两不同的整数能适当安放在 方程的 的位置（每颗星安放一个数） ，使得方程有实根. 【答案】见解析 【解析】 设三个的位置为.则原方程为 将任意三个两两不同的整数中最大的放在 ，设.则三个数中另外两个较小的数为. 故. 于是，若以 放在左边第一个的位置的二次方程为， 则 . 从而，方程有实根. 因此，任意三个两两不同的整数，只要以其中最大的一个放在左边第一个的位置，其余两个放在后两个 的位置，所得的方程就有实根.