全国高中数学联赛与各省市预赛历届（2009-2019）试题汇编平面解析几何大题强化训练（原卷版）.doc

1、 专题专题 11 平面解析几何大题强化训练平面解析几何大题强化训练(省赛试题汇编省赛试题汇编) 1 【2018 年广西预赛】已知中心在原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点 O 的 直线 l 与该椭圆交于 P，Q 两点，且直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围 2 【2018 年安徽预赛】设 O是坐标原点，双曲线 C：上动点 M处的切线，交 C的两条渐近线于 A、B两点. 求证：AOB的面积 S是定值； 求AOB的外心 P 的轨迹方程. 3 【2018 年湖南预赛】已知抛物线的顶点，焦点，另一抛物线的方程为 在一个交点处它们的切线互相垂直.试证必过定点

2、，并求该点的坐标. 4 【2018 年湖南预赛】如图，在凸四边形 ABCD中，M 为边 AB 的中点，且 MC=MD.分别过点 C、D作边 BC、AD 的垂线，设两条垂线的交点为 P.过点 P 作与 Q.求证：. 5 【2018 年湖北预赛】 已知 为坐标原点， 点为直线上的动点，的平分线与直线 交于点 ，记点 的轨迹为曲线 . （1）求曲线 的方程； （2）过点作斜率为 的直线 ，若直线 与曲线 恰好有一个公共点，求 的取值范围. 6 【2018 年甘肃预赛】已知椭圆过点，且右焦点为 （1）求椭圆 的方程； （2）过点 的直线 与椭圆 交于两点，交 轴于点 若，求证：为定值； （3）在（2）

3、的条件下，若点 不在椭圆 的内部，点 是点 关于原点 的对称点，试求三角形面积的 最小值 7 【2018 年吉林预赛】如图，已知抛物线过点 P（-1，1） ，过点 Q（，0）作斜率大于 0的直线 l 交抛物线与 M、N两点（点 M在 Q、N之间） ，过点 M作 x 轴的平行线，交 OP 于 A，交 ON于 B.PMA 与OAB 的面积分别记为，比较与 3的大小，说明理由. 8 【2018 年山东预赛】 已知圆与曲线为曲 线 上的两点，使得圆 上任意一点到点 的距离与到点 的距离之比为定值，求 的值 9 【2018 年天津预赛】如图，是双曲线的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且 分别交两条

4、渐近线于 A、B.又设 O为坐标原点，求证： （1）； 、A、B四点 在同一个圆上. 10 【2018 年河南预赛】已知方程平面上表示一椭圆试 求它的对称中心及对称轴 11 【2018 年河北预赛】如图，椭圆（ab0）的左焦点为 F，过点 F的直线交椭圆于 A、B 两点. 当直线 AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 60. （1）求该椭圆的离心率； （2）设线段 AB 的中点为 G，AB的中垂线与 x轴、y轴分别交于 D、E 两点.记GDF的面积为，OE D（O坐标原点）的面积为.求 的取值范围. 12 【2018 年四川预赛】已知双曲线，设其实轴端点为，点 是双曲线上不同于的 一个动点，

5、直线分别与直线交于两点.证明：以线段为直径的圆必经过定点. 13 【2018 年浙江预赛】已知动直线 l与圆 O：相切，与椭圆相交于不同的两点 A，B. 求原点到 AB 的中垂线的最大距离. 14 【2018 年辽宁预赛】如图所示，在平面直角坐标系，设点是椭圆上一点，左 右焦点分别是， 从原点 O向圆 M：作两条切线分别与椭圆 C 交 于点 P、Q，直线 OP、OQ的斜率分别记为. (1)设直线分别与圆交于 A、B 两点，当，求点 A的轨迹方程； (2)当为定值时，求的最大值. 15 【2018 年江西预赛】若椭圆上不同的三点到椭圆右焦点的距离 顺次成等差数列，线段的中垂线轴于点 ，求直线的方

6、程 16 【2018 年湖南预赛】设曲线所围成的封闭区域为 D. （1）求区域 D的面积； （2）设过点的直线与曲线 C 交于两点 P、Q，求的最大值. 17 【2018 年福建预赛】已知分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆 上，且的垂心为 （1）求椭圆 的方程； （2）设 为椭圆 的左顶点，过点的直线 交椭圆两点记直线的斜率分别为，若 ，求直线 的方程 18 【2016 年吉林预赛】已知椭圆的右顶点为 C,A 为第一象限内的椭圆周上任意一点，点 A 关 于原点的对称点为 B，过点 A 作 x 轴的垂线，与 BC 交于点 D，比较的大小，并给出证明. 19 【2016 年浙江预赛】已知椭圆，经过点

7、，离心率为 。过椭圆 的右焦 点作斜率为 的直线 ，与椭圆 交于两点，记的斜率分别为。 （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求实数 。 20 【2016 年新疆预赛】设过原点且斜率为正值的直线与椭圆交于点，点. 求四边形面积的最大值. 21 【2016 年四川预赛】已知拋物线过定点 C（l，2） ，在抛物线上任取不同于点 C 的一点 A，直 线 AC 与直线 y=x+3 交于点 P，过点 P 作 x 轴的平行线，与抛物线交于点 B. （1）证明：直线 AB 过定点； （2）求ABC 面积的最小值. 22 【2016 年江苏预赛】在平面直角坐标系 xOy 中，点在椭圆上，不经过坐标原点 O 的

8、直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点为 D，直线 OD 的斜率为 1记直线 PA、PB 的斜率分别为 ，证明：为定值 23 【2016 年湖南预赛】设椭圆经过点，离心率为 ，直线 经过椭圆 的右 焦点 ，与椭圆 交于点在直线上的射影依次为. （1）求椭圆 的方程. （2）联结，当直线 的倾斜角变化时，直线是否交于定点？若是，求出定点的坐标并给予 证明；否则，说明理由. 24 【2016 年湖北预赛】过抛物线外一点 P 向抛物线作两条切线，切点为 M、N，F 为抛物 线的焦点.证明： （1）； （2）. 25 【2016 年河南预赛】如图，已知为椭圆在左、右顶点，直线

9、与椭圆 交于点。 设的斜率分别为，且=1：9。 （1）证明：直线 过定点； （2）记的面积分别为，求的最大值。 26 【2016 年甘肃预赛】已知 F 为椭圆的右焦点，分别为 x 轴、y 轴 上的动点，且满足.设点 P 满足. （1）求点 P 的轨迹 C. （2） 过点 F 任作一直线与轨迹 C 交于 A、 B 两点， 直线 OA、 OB 与直线分别交于 S、 T （O 为坐标原点） ， 试判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 27 【2016 年福建预赛】如图，F1、F2为双曲线 C：的左、右焦点，动点 P(x0，y0)(y01)在双曲 线 C 的右支上.设F1PF2的平分

10、线与 x轴、y 轴分别交于点 M(m，0)、N. （1）求 m的取值范围； （2）设过点 F1、N 的直线 l与双曲线 C 交于 D、E两点，求F2DE 面积的最大值. 28 【2016 年陕西预赛】已知直线 l：y=x+4，动圆O：x2+y2=r2(1r2)，菱形 ABCD 的一个内角为 60 ， 顶点 A、B在直线 l上，顶点 C、D 在O上.当 r 变化时，求菱形 ABCD的面积 S的取值范围. 29 【2016 年吉林预赛】已知椭圆的右顶点为 C,A 为第一象限内的椭圆周上任意一点，点 A 关 于原点的对称点为 B，过点 A 作 x 轴的垂线，与 BC 交于点 D，比较的大小，并给出证明. 30 【2016 年山东预赛】已知椭圆 E：，过椭圆左焦点 F（-c，0）的直线 l 与椭圆交于 A、B 两 点，线段 AB 的垂直平分线与椭圆交于 C、D 两点.若，求直线 l 的方程. 31 【2016 年天津预赛】设 a 为实数,两条抛物线有四个交点 (1)求 a 的取值范围; (2)证明这四个交点共圆,并求该圆圆心的坐标. 32 【2016 年山西预赛】 设直线与椭圆交于点 M、 N， 且 OMON （O 为原点） . 若,求椭圆的方程