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云南省昆明市重点高中2023届高三上学期开学考试 数学试题.pdf

1、试卷第 1页,共 5页高 2023 届高三上学期开学检测卷数学学科一、选择题(60 分)(一)单选题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)1已知全体实数集R,集合A x|1 x 4,B y|y x21,x R,则(CRA)BA1,4)B(1,)C4,)D(,1)(4,)2为响应国家“节约粮食”的号召,某同学决定在某食堂提供的 2 种主食、3 种素菜、2种大荤、4 种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食,并在用餐时积极践行“光盘行动”,则不同的选取方法有A48 种B36 种C24 种D12 种3已知直线a在平面内,则“直线l a”是“直线l”的A充分不必要条件B必要不充分条

2、件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知tan43,则sin2A45B45C2425D24255方程22(10)xy22(10)xy12 的化简结果为A236x264y1B264x236y1C236x264y1(x0)D264x236y1(x0)6先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次,观察向上的点数在第一次向上的点数为奇数的条件下,两次点数和不大于 7 的概率为A1318B712C310D237当1x 时,函数 lnbfxaxx取得最小值2,则 2f A12B12C1D18已知数列 na中,*12321nnaaaan N,则2222123naaaa等于A1413nB1213nC41nD221n试卷第

3、 2页,共 5页(二)多选题(共 4 小题,每小题 5 分,漏选得 2 分,错选得 0 分,共 20 分)9新冠肺炎疫情防控期间,进出小区、超市、学校等场所,我们都需要先进行体温检测.某班级体温检测员对一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计,其结果如图所示,则下列结论正确的是A甲同学体温的极差为 0.4B乙同学体温的众数为 36.4,中位数与平均数不相等C乙同学的体温比甲同学的体温稳定D甲同学体温的第 60 百分位数为 36.510已知函数12()|+|cosf xxxx,则下列说法正确的是A()f x是偶函数B()f x在(0,+)上单调递减C()f x是周期函数D()1f x 恒成立11已知

4、抛物线212xy的焦点为F,11,M x y,22,N xy是抛物线上两点,则下列结论正确的是A点F的坐标为1,08B若直线MN过点F,则12116x x C若MFNF,则MN的最小值为12D若32MFNF,则线段MN的中点P到x轴的距离为5812设非零向量a,b的夹角为,定义运算sina bab.下列叙述正确的是A若0a b,则abBabca ba c(c为任意非零向量)C设在ABC中,ABa,ACb,则2ABCSa bD若1abrr,则max1a b试卷第 3页,共 5页二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)13记nS为等差数列 na的前 n 项和若1262,2aaa,

5、则10S;14如图正方体1111ABCDABC D的棱长为2,则平面1ABD与平面ABCD夹角的正切值为;15新能源汽车的核心部件是动力电池,电池占了新能源整车成本的大头,而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分从 2020 年底开始,碳酸锂的价格一路水涨船高,下表是 2022 年某企业的前 5 个月碳酸锂的价格与月份的统计数据:根据表中数据,得出 y 关于 x 的经验回归方程为0.28yxa,根据数据计算出在样本点5,1.5处的残差为0.06,则表中t;16(第一空 2 分,第二空 3 分)如图,11OAB,122A A B,233A A B是全等的等腰直角三角形(12OB,1,2,3iB i

6、 处为直角顶点),且O,1A,2A,3A四点共线.若点1P,2P,3P分别是边11AB,22A B,33A B上的动点(包含端点),则(1)13OB OP;(2)22OB OP 的取值范围为.三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10 分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tantanaAbB.(1)证明:ABC是等腰三角形;(2)若:1:a b cx y,且ABC的面积为56ab,求y的值月份代码x12345碳酸锂价格y(万元/kg)0.50.61t1.5试卷第 4页,共 5页18.(12 分)如图,在四棱锥PABCD中,

7、底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,4PAAD,2AB,M是PD中点.(1)求直线AD与平面ACM夹角的余弦值;(2)求点P到平面ACM的距离19(12 分)数列na的前n项和为nS,112a=,且120(2)nnnaSSn-+=(1)证明:数列1nS为等差数列;(2)求数列 na的通项公式20.(12 分)某农发企业计划开展“认领一分地,邀你来当农场主”活动该企业把农场以微田园形式对外租赁,让人们认领认领的田地由企业的专业人员打理,认领者可以随时前往体验农耕文化,所有收获归认领者所有某咨询公司做了关于活动意愿情况的调查,随机抽取了 100 份有效问卷,部分统计数据如下表:(1)请将上述22

8、列联表补充完整,试依据小概率值0.01的独立性检验,分析男性是否比女性更愿意参与活动;(2)为了更详细的了解情况,在 100 份有效问卷中抽取不愿意参与活动的人员若干人组成观摩小组,观摩小组恰有男性 4 名,女性 3 名从观摩小组中选取 3 人为免费体验者,性别参与意愿合计愿意参与不愿意参与男性4860女性18合计100试卷第 5页,共 5页设免费体验者中男性人数为 X,求 X 的分布列及数学期望附:22n adbcabcdacbd,nabcd 下表给出了2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82

9、821(12 分)已知函数 3231312fxxkxkx,其中Rk(1)当3k 时,求函数 fx在0,3上的极值点;(2)若函数 fx在1,2上的最小值为 3,求实数 k 的取值范围22(12 分)已知中心在原点 O 的椭圆 E 的长轴长为2 2,且与抛物线24yx有相同的焦点(1)求椭圆 E 的方程;(2)若点 H 的坐标为(2,0),点11(,)A x y、22(,)B xy(12xx)是椭圆 E 上的两点,点 A,B,H 不共线,且OHA=OHB,证明:直线 AB 过定点试卷第 6页,共 4页高 2023 届高三上学期开学检测卷数学答案一、选择题二、填空题13.2514.215.1.41

10、6.610,12三、解答题17.(10 分)解:(1)由正弦定理及tantanaAbB,得sinsincossinsincosAAABBB,即coscosAB,因为,0,A B,所以AB,所以ABC是等腰三角形.(5 分)(2)由(1)知ab,所以1x.因为15sin26ABCSabCab,所以5sin3C.又0,C,所以252cos133C .若2cos3C,则222223abcab,即22223y,解得63y;若2cos3C ,则222223abcab,即22223y,解得303y 所以63y 或303y.(10 分)18.(12 分)解:因为PA平面ABCD,AB平面ABCD,AD 平面

11、ABCD,所以,PAAB PAAD,因为四边形ABCD为矩形,所以ABAD,所以,AB AD AP两两垂直,所以以A为坐标原点,分别以,AB AD AP所在的直线为,x y z轴,建立空间直角坐标系,如图所以示,123456789101112CBBDCDAAACDADBCDACD试卷第 7页,共 4页因为4PAAD,2AB,M是PD中点,所以(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(0,4,0),(0,0,4),(0 2 2),ABCDPM,所以(2,4,0),(0,2,2)ACAM,设平面ACM的法向量为(,)mx y z,则240220m ACxym AMyz ,令1z,则(2,1

12、,1)m,(3 分)(1)(0,4,0)AD,设直线AD与平面ACM的夹角为,则46sin64 4 1 1AD mAD m ,因为0,2,所以2630cos1 sin1366,(7 分)(2)因为(0,0,4)AP ,面ACM的法向量为(2,1,1)m,所以点P到平面ACM的距离为42 636m APdm (12 分)19.(12 分)解:(1)由120(2)nnnaSSn-+=得112(2)nnnnSSSS n-=-1112,(2)nnnSS-=,故数列1nS为公差为2的等差数列(6 分)(2)由(1)知数列1nS的首项为112a=,公差2d=,则数列122(1)2nnnS=+-=,即12n

13、Sn=,1111,222(1)2(1)nnnaSSnnnn n-=-=-=-,则1,121,22(1)nnann n=-.(12 分)试卷第 8页,共 4页20.(12 分)(1)列联表补充完整如下性别参与意愿合计愿意参与不愿意参与男性481260女性221840合计7030100零假设为0H:参与意愿与性别无关联,根据列联表的数据可得,220.01100 48 1822 12507.1436.63560 40 70 307x对照附表,依据小概率值0.01的独立性检验,我们推断0H不成立,所以认为参与意愿与性别有关联,此推断犯错的概率不大于 0.01.(6 分)(2)X 的可能取值为 0,1,

14、2,3,034337C C10C35P X,124337C C121C35P X,214337C C182C35P X,304337C C43C35P X.所以 X 的分布列为:X0123P13512351835435根据超几何分步的数学期望有412377E X.(12 分)21(12 分)(1)解:由题意得:当3k 时,32691f xxxx,则 23129313fxxxxx,令 0fx得11x,23x,列表如下:x00,111,33 fx+0-0 fx1单调递增5单调递减1试卷第 9页,共 4页故 fx在0,3内的极大值点为1x,无极小值点.(5 分)(2)2331331fxxkxkxxk

15、当1k 时,1,2x,0fx函数 fx在区间1,2单调递增所以 min31113132fxfkk 即53k(舍);当2k 时,1,2x,0fx函数 fx在区间1,2单调递减所以 min28613213fxfkk,符合题意;当12k时当1,xk时,0fx,fx区间在1,k单调递减当,2xk时,0fx,fx区间在,2k单调递减所以 322min313132fxf kkkkk 化简得:32340kk,即2120kk所以1k 或2k(都舍);注:也可令 3234g kkk,12k则 236320gxkkk k则 3234g kkk在1,2k单调递减所以 02g k,不符合题意;综上所述:实数 k 取值

16、范围为2k.(12 分)22(12 分)(1)抛物线24yx的焦点为(1,0),E的焦点为(1,0),即1c,焦点在x轴又22 2a,2a,22211bacb 椭圆E的方程为2212xy(4 分)(2)设直线AB的方程为0 xmyt m,则11(,)A myt y,22(,)B myt y,由2222xmytxy得,222(2)220mymtyt228(2)0mt 即222mt,则12222mtyym,212222ty ymOHAOHB,0AHBHkk1212022yymytmyt ,即12122(2)()0my ytyy22(2)(2)20m ttmt,1t 满足题意直线AB恒过定点(1,0)(12 分)

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