1、1.1.1 函数的平均变化率教案教学目的：理解函数的平均变化率，为进一步学习导数的概念做好准备.重点难点：数学符号语言的理解.学科素养：用所学探索未知，通过数学定义的教学，体会数学研究的手段方法.一、引入与新课：【提出问题】问题1：春游爬山的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁。怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度？【抽象概括】假设图一是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系A是出发点，H是山顶爬山路线用函数yf(x)表示图一自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高度我们先假定一小段山路是直的（曲化直）。设点A的坐标为(x0，y0)，点B的
2、坐标为(x1，y1)（如图二）图二问题2：若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？提示：自变量x的改变量为x1x0，记作x =x1x0，函数值y的改变量为y1y0，记作yy1y0.问题3：根据x与y的大小能否判断山坡陡峭程度？图四图三提示：图三可知，y相同，x不同，山坡与陡峭程度不同；图四可知，y不同，x相同，山坡与陡峭程度也不同。所以根据x与y的大小不能判断山坡陡峭程度问题4：观察图三和图四，可以用怎样的数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？提示：观察图三和图四可知，两边山坡的倾斜的角度可以刻画山路的陡峭程度。联想到直线的倾斜角的定义，可知可近似地刻画【解决
3、问题】显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡这就是说，竖直位移与水平位移之比的绝对值越大，山坡越陡，反之，山坡越缓现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？一个很自然的想法是将弯曲山路分成许多小段（分割），每一小段山坡可视为平直的。注意各小段的是不尽相同的。但不管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值来度量。即【获得新知】一般地，已知函数yf(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)，则当x0时，商称作函数yf(x)在区间x0，x0x(或x0x，
4、x0)的平均变化率【概念理解】(1)x0，x1是定义域内不同的两点的横坐标，因此x0，但x可正也可负；yf(x1)f(x0)是相应xx1x0的改变量，y的值可正可负，也可为零因此，平均变化率可正可负，也可为零(2)函数f(x)在点x0处的平均变化率与自变量的增量x有关，与x0也有关同一个函数，不同的x0与不同的x其平均变化率往往都是不同的(3)平均变化率的几何意义：如图五所示，表示点(x0，f(x0)与点(x1，f(x1)连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势图五.根据平均变化率的几何意义，可求解有关割线的斜率及割线的方程平均变化率反映事物发展的快慢.二、例题与
5、练习：【经典例题】例1已知函数，则f(x)在x从1变化到2时的增量为()A BC D解：yf(2)f(1). 选A【规律技巧】函数的增量是指变化后的函数值减去变化前的函数值，函数值的增量一般由y来表示，即yy2y1f(x2)f(x1).例2已知函数的图像上一点(3，9)及其附近一点(3x，9y)，求.解：yf(3x)f(3)(3x)2(9)6x(x)2，6x.【规律技巧】求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量x与函数值的增量y，求平均变化率的主要步骤是：第一步：计算yy2y1f(x2)f(x1)；第二步：计算；第三步：计算。例3已知函数图像上两点，当时，求割线AB
6、的斜率解析：x-1,2x1，kAB3.所以，割线AB的斜率为3【规律技巧】一般地，P(x0，y0)是曲线yf(x)上一点，Q(x0x，y0y)是曲线上与点P邻近的一点，则割线PQ的斜率为f(x)在从x0变化到x0x上的平均变化率.【总结提炼】这节内容我们从爬山开始研究，通过曲化直与分割的方法抽象概括得出平均变化率的概念。曲化直与分割是解决数学问题的重要手段要深入体会【巩固练习】1 求函数在区间的平均变化率.2 已知函数，计算它在区间上的平均变化率3 已知函数，分别计算函数在区间，上的平均变化率，通过计算，你能发现平均变化率有什么特点吗？4 过曲线上两点和作曲线的割线，求当时割线的斜率三、小结与作业：1 平均变化率的含义 一般地，对于函数在区间上的变化率称为平均变化率，注意到平均变化率是反映曲线陡峭程度的“数量化”2函数平均变化率的理解在式子=，、的值可正、可负，但的值不能为0，的值可为0若函数为常数函数时，当取定值，取不同的数值时，函数的平均变化率不同；当取定值，取不同的数值时，函数的平均变化率也不一样趋于0，是指自变量的改变量越来越小，但始终不能为0，、在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数3 求函数平均变化率的步骤求自变量的增量：；求函数值的增量：；求函数的平均变化率：4作业：见本案所附的课后练习题.
