高三数学《极坐标与参数方程》复习专题含答案.doc

1、第 1 页 共 22 页 极坐标与参数方程专题复习题 方法总结方法总结 1.点M(，)的极坐标通式是(，2k)或(，2k)(kZ).如果限定0，02 或，那么除极点外，平面内的点和极坐标(，)一一对应. 2.极坐标和直角坐标的互化公式是 xcos ysin 或 2x2y2 tan y x（x0） .这两组公式必须满足下面的“三 个条件”才能使用：(1)原点与极点重合；(2)x轴正半轴与极轴重合；(3)长度单位相同.极坐标和直角坐标 的互化中，需注意等价性，特别是两边乘以 n时，方程增了一个 n重解0，要判断它是否是方程的解， 若不是要去掉该解. 3.极坐标方程的应用及求法 (1)合理建立极坐标

2、系，使所求曲线方程尽量简单. (2)巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间的互化公式，把问题转化为熟悉的知识解决问题. (3)利用解三角形方法中正弦定理、 余弦定理列出关于极坐标(，)的方程是求极坐标系曲线方程的法宝. (4)极坐标系内点的对称关系：点P(，)关于极点的对称点P(，)；点P(，)关于极 轴所在直线的对称点P(，)；点P(，)关于直线 2 的对称点为P(，)；点 P(，)关于直线 4 的对称点为P ， 2 . 4.极坐标系下A(1，1)，B(2，2)间的距离公式|AB| 2 1 2 2212cos（12） 1.选取参数时的一般原则是：(1)x，y 与参数的关系较明显，并列出关系式

3、；(2)当参数取一值时，可唯一 的确定 x，y 的值；(3)在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用 旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数. 2.求曲线的参数方程常常分成以下几步：(1)建立直角坐标系，在曲线上设任意一点 P(x，y)；(2)选择适当 的参数；(3)找出 x，y 与参数的关系，列出解析式；(4)证明(常常省略). 3.根据直线的参数方程标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论：(1)若 M1，M2为 l 上任意两点，M1，M2对 应 t 的值分别为 t1，t2，则|M1M2|t1t2|；(2)若 M0为线段 M1M

4、2的中点，则有 t1t20；(3)若线段 M1M2 的中点为 M，则 M0MtMt 1t2 2 .一般地，若点 P 分线段 M1M2所成的比为 ，则 tPt 1t2 1 .直线的参数方程的一般式 xx0at， yy0bt (t 为参数)，是过点 M0(x0，y0)，斜率为b a的直线的参数方程.当且仅 第 2 页 共 22 页 当 a 2b21 且 b0 时，才是标准方程，t 才具有标准方程中的几何意义.将非标准方程 xx0at， yy0bt 化为 标准方程是 xx0 |a| a 2b2t， yy0 |b| a 2b2t (tR)，式中“”号，当a，b同号时取正；当a， b异号时取负. 5.参

5、数方程与普通方程互化时，要注意：(1)不是所有的参数方程都能化为普通方程；(2)在化参数方程为 普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；(3)把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参 数的选择是由具体的问题来决定的. 6.在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数 问题求解. 7.在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解. 8.在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点 的参数方程后求解. 典型题 【母题原题 1】极坐标方程 例 1. 在

6、平面直角坐标系xOy中，圆 22 :40C xyy，直线:40l xy. (1)以原点O为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C和直线l的交点的极坐标； (2)若点D为圆C和直线l交点的中点， 且直线CD的参数方程为 1 2 xat ytb (t为参数)， 求a， b的值. 【答案】 （1）4, 2 和点2 2, 4 ； （2）2a， 3b. 解析： (1)由题可知，圆C的极坐标方程为4sin，直线l的极坐标方程为cossin4，由 第 3 页 共 22 页 4 4 sin cossin ，可得 4 2 或 2 2 4 ，可得圆C和直线l的交点的极坐标为4, 2 和点 2 2, 4 .

7、(2)由(1)知圆C和直线l的交点在平面直角坐标系中的坐标为0,4和2,2,，那么点D的坐标为1,3， 又点C的坐标为0,2，所以直线CD的普通方程为20xy，把 1 2 xat ytb (t为参数)代入 20xy，可得230atb ，则 20 30 a b ，即2a， 3b. 练习 1. 在直角坐标系xOy中， 圆 1 C的参数方程为 22 42 xcos ysin （为参数).以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 2 C的极坐标方程为 3 4 R . （1）求圆 1 C的极坐标方程和直线 2 C的直角坐标方程； （2）设 1 C|与 2 C的交点为,P Q，求 1 C

8、 PQ的面积. 【答案】 （1） 1 C 的极坐标方程为 2 4 cos8 sin160； （2） 1 C PQ的面积为2. 试题解析： （）直线的直角坐标方程为 圆的普通方程为因为,所以的极坐标方程为 （）将代入,得, 解得,故,即. 第 4 页 共 22 页 由于圆的半径为,所以的面积为 练习 2. 在直角坐标系xOy中，直线l的方程是6y ，圆C的参数方程是 1 xcos ysin （为参数） ，以 原点O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）分别求直线l与圆C的极坐标方程； （2）射线OM: （0 2 ）与圆C的交点为O， P两点，与直线l交于点M，射线ON: 2 与圆C交

9、于O， Q两点，与直线l交于点N，求 OPOQ OMON 的最大值 【答案】(1) sin6, 2sin； （2） 1 36 . 【解析】试题分析： （1）利用直角坐标与极坐标的互化公式，即可求得直线和圆的极坐标方程； （2）由题意可得：点P， M的极坐标，可得 2 sin 3 OPa OM ，同理可得： 2 sin 3 OQ ON ，即可得出结 论 试题解析： （1）直线l的方程是6y ，可得极坐标方程： sin6 圆 C 的参数方程是 1 xcos ysin （为参数） ，可得普通方程： 2 2 11xy 展开为 22 20xyy化为极坐标方程： 2 2 sin0即2sin 第 5 页 共

10、 22 页 练习 3. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线 1 C的参数方程为 12 22 xt yt （t为参数） ，以O为极点， x 轴的非负半轴为极轴，曲线 2 C的极坐标方程为： 2 2cos sin . （）将曲线 1 C的方程化为普通方程；将曲线 2 C的方程化为直角坐标方程； （）若点1,2P，曲线 1 C与曲线 2 C的交点为A B、，求PAPB的值. 【答案】() 12 :30,:CxyC 2 2yx； （）6 2. 【解析】试题分析：利用参数方程与普通方程之间的转化方法进行化简(2) 曲线 1 C与曲线 2 C的相交，法 一和法二将参数方程代入曲线方程，利用两根之和计算出结

11、果，法三利用普通方程计算求出结果 解析： （） 1: 3Cxy，即： 30xy； 22 2: sin2 cosC，即： 2 2yx （）方法一： 1 C的参数方程为 2 1 2 2 2 2 xt yt 代入 2 2: 2Cyx得 2 6 240tt 第 6 页 共 22 页 12 6 2tt， 12 6 2PAPBtt. 方法二： 【母题原题 2】参数方程 例 2.已知动点P、 Q 都在曲线 2 : ( 2 xcost Ct ysint 为参数）上， 对应参数分别为t与2t（02） ， M为PQ的中点 () 求M的轨迹的参数方程； ()将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐

12、标原点 【答案】 （1） 2 2 xcoscos ysinsin （2）见解析 【解析】试题分析： （1）根据中点坐标公式得coscos2 ,sinsin2M，即得M的轨迹的参数方 程； （2）根据两点间距离公式得 d，再根据 x=y=0 得，即M的轨迹过坐标原点. 试题解析：()依题意有2cos ,2sin,2cos2 ,2sin2PQ 因此coscos2 ,sinsin2M M的轨迹的参数方程为 2 2 xcoscos ysinsin （为参数， 02） 第 7 页 共 22 页 ()M点到坐标原点的距离 22 22cos(02 )dxy 当时， 0d ，故M的轨迹过坐标原点. 练习 1.

13、 已知直角坐标系中动点1 cossinP，参数0 2，在以原点为极点、x轴正半轴为 极轴所建立的极坐标系中，动点Q ，在曲线C： sin1 cos a 上. （1）求点P的轨迹E的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）若动点P的轨迹E和曲线C有两个公共点，求实数a的取值范围. 【答案】(1) 2 2 11xy 1ya x 0a (2) 33 ,00, 33 a 试题解析： （1）设点P的坐标为, x y，则有 1 , xcos ysin 0,2 消去参数，可得 2 2 11xy，为点P的轨迹E的方程； 由曲线C： sin1 cos a ，得sincosaa，且0a， 由siny， cosx故

14、曲线C的方程为： 0axya 0a ； （2）曲线C的方程为： 0axya 0a ，即1ya x 0a 表示过点1 0 ，斜率为a的直线，动点P的轨迹E是以1,0为圆心， 1为半径的圆 由轨迹E和曲线C有两个公共点，结合图形可得 33 ,00, 33 a 练习 2. 已知曲线 2 : 3 xcos C ysin (为参数)和曲线 22 : 3 xt l yt (t为参数)相交于两点,A B，求 第 8 页 共 22 页 ,A B两点的距离 【答案】AB 13 2 【解析】试题分析：利用平方法消去曲线 2 : 3 xcos C ysin 的参数可得曲线C的普通方程，利用代入法消 练习 3. 已知

15、直线l的参数方程为 1 1 xtcos ytsin （t为参数）.以O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立 极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos2. （）写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线C的普通方程； （）若 4 ，求直线l的极坐标方程，以及直线l与曲线C的交点的极坐标. 【答案】 （1）1,1, 2 44yx； （2）2, 2 . 解析： （1）直线l经过定点1,1， 第 9 页 共 22 页 由cos2得 2 2 cos2， 得曲线C的普通方程为 2 22 2xyx，化简得 2 44yx； （2）若 4 ，得 2 1 2 2 1 2 xt yt 的普通方程为2yx， 则直线l的极坐标

16、方程为sincos2， 联立曲线C： cos2. 0得sin1，取 2 ，得2， 所以直线l与曲线C的交点为2, 2 . 【母题原题 3】极坐标、参数方程、普通方程互化 例 3. 已知曲线 2 : 3 xcos C ysin （为参数）和曲线 22 : 3 xt l yt （t为参数）相交于两点,A B，求 两点,A B的距离. 【答案】 13 2 . 【解析】试题分析： 由 22 1 43 3 3 2 xy yx ，解得 1 1 2 0 x y 或 1 1 1 3 2 x y 第 10 页 共 22 页 3 2,0 ,1, 2 AB ， 2 313 1 22 AB 即两点,A B的距离为 1

17、3 2 练习 1. 已知直线l的参数方程为 3 1 2 1 3 2 xt yt （t为参数)，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 2 4cos 3 . （1）求圆C的直角坐标方程； （2）若,P x y是直线l与圆面 2 4cos 3 的公共点，求3xy的取值范围. 【答案】 （1） 22 22 30xyxy（2）2,2 【解析】 【试题分析】 （1）将圆的极坐标方程展开后两边乘以转化为直角坐标方程.（2）将直线的参数方 程代入圆的直角坐标方程，利用参数的几何意义求得3xy的取值范围. 【试题解析】 解： （1）圆C的极坐标方程为 2 4cos 3 ， 2

18、 231 4 cos4sincos 322 ， 又 222 xy， cos ,sinxy， 22 2 32xyyx， 圆C的普通方程为 22 22 30xyxy 第 11 页 共 22 页 练习 2. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的非负半轴重合，直线l的参数方程为 1 2 2 3 2 xt yt （t为参数） ，曲线C的极坐标方程为2sin. （1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （2）设P， Q分别是直线l与曲线C上的点，求PQ的最小值. 【答案】 （1） 2 2 11xy;32 30xy;（2） min 2 33 | 3 PQ . 【解析】试题分析： （

19、1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程，通过消去参数可 将直线l的参数方程转化为普通方程； （2）在直角坐标系中进行求解，运用点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离d，利用数形结合边框 求出PQ的最小值. 试题解析： （1） 2sin， 2 2 sin， 222 xy， siny， 22 2xyy， 即 2 2 11xy， 曲线C的直角坐标方程为 2 2 11xy. 第 12 页 共 22 页 由 1 2, 2 3 2 xt yt （t为参数） ，消去t得32 30xy，直线l的普通方程为32 30xy. 【母题原题 4】.利用参数方程求最值 例 4. 在平面直角坐标系x

20、Oy中，曲线 1 C的参数方程为 2, xcos ysin （为参数） ，在以O为极点， x轴 的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2 C是圆心为3, 2 ，半径为 1 的圆 （1）求曲线 1 C， 2 C的直角坐标方程； （2）设M为曲线 1 C上的点， N为曲线 2 C上的点，求MN的取值范围 【答案】(1) 1 C的直角坐标方程为 2 2 1 4 x y， 2 C的直角坐标方程为 2 2 31xy(2) 1,5. 【解析】 试题分析：（1） 利用平方法消去参数可得 1 C的直角坐标方程， 将极坐标化为直角坐标可得曲线 2 C 的圆心的直角坐标为0,3，结合半径为1可得 2 C的直角坐标方程

21、； （2）根据曲线 1 C的参数方程设 2cos ,sinM，根据两点间的距离公式，由三角函数和二次函数的性质可得 2 MC的取值范围，结合圆 的几何性质可得答案. 试题解析： （1）消去参数可得 1 C的直角坐标方程为 2 2 1 4 x y， 曲线 2 C的圆心的直角坐标为0,3， 2 C的直角坐标方程为 2 2 31xy （2）设2cos ,sinM，则 22 22 2 2cossin34cossin6sin9MC 第 13 页 共 22 页 2 3sin6sin13 2 3 sin116 1sin1 ， 2 min |2MC， 2 max |4MC，根据题意可得 min |2 1 1M

22、N ， max |4 15MN ，即MN的取值范围是1,5 练习 1. 在平面直角坐标系中，曲线 1 C的参数方程为： 4 3 xcos ysin （为参数） ，以坐标原点O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 5 2 sin 42 . （1）求曲线 2 C的直角坐标方程； （2）已知点M为曲线 1 C上任意一点，求点M到曲线 2 C的距离d的取值范围. 【答案】 （1）5xy； （2）0 5 2d ， 试题解析： （1）由 5 2 sin 42 得cossin5， 将cosxx， siny代入得到5xy. （2）设4cos3sinM， M到曲线 2 C： 5

23、xy的距离， 4cos3sin5 2 d 5sin5 2 5 2 sin1 2 当sin1时， max 5 2d，当sin1时， min 0d.所以0 5 2d ，. 练习 2. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是 12, 2 xcos ysin （为参数） ，以该直角坐标系的 原点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3 sincos0m. （1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； 第 14 页 共 22 页 （2）设点,0P m，直线l与曲线C相交于,A B两点，且1PA PB ，求实数m的值. 【答案】 （1）曲线C的普通方程为 2 2 12xy

24、，直线l的直角坐标方程为 3 3 yxm； （2） 13m 或0m或2m. 2 2 2 31 12 22 mttt 2 31120mtm，代入韦达定理即得答案 解析： （1） 2 2 12, 12 2 xcos xy ysin ， 故曲线C的普通方程为 2 2 12xy. 直线l的直角坐标方程为 3 3 3 yxmyxm. （2）直线l的参数方程可以写为 3 , 2 1 2 xmt yt （t为参数）. 设,A B两点对应的参数分别为 12 ,t t， 将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程 2 2 12xy可以得到 2 2 2 31 12 22 mttt 2 31120mtm， 所以 2 1

25、2 121PA PBt tm 2 211mm 2 220mm或 2 20mm， 解得13m 或0m或2m. 第 15 页 共 22 页 练习 3. 已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是 26 xt yt （t是参数） ，以原点O为极点， x轴正 半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2 2cos （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）设,M x y为曲线C上任意一点，求xy的取值范围 【答案】 （1）260xy， 2 2 22xy（2）22,22 【解析】试题分析： （1）消去直角参数方程中的参数可得普通方程，利用公式 xcos ysin

26、可化极坐标方程为直角坐标方程； （2）利用圆的参数方程，设 22cos , 2sinM，则 22cos2sin22sin 4 xy ，由正弦函数的性质可得xy的取值范围 试题解析： （1）由 26 xt yt ，得26yx，故直线l的普通方程为260xy， 由2 2cos，得 2 2 2 cos，所以 22 2 2xyx，即 2 2 22xy， 故曲线C的普通方程为 2 2 22xy； 【母题原题 5】.直线参数方程的几何意义的应用 例 5.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l： 1 2 3 3 2 xt yt （t为参数） ，以坐标原点O为极点， x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极

27、坐标方程为4sin 3 . 第 16 页 共 22 页 （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）设点M的极坐标为3, 2 ，直线l与曲线C的交点为A， B，求MAMB的值. 【答案】(1) 22 2 320xyxy (2) 3 3MAMB 【解析】 试题分析： （） 直接由直线的参数方程消去参数 t 得到直线的普通方程； 把等式4sin 3 两边同时乘以 ，代入 x=cos， 2=x2+y2得答案； （） 把直线的参数方程代入圆的普通方程， 利用直线参数方程中参数 t 的几何意义求得MAMB的值 试题解析： （1）把4sin 3 展开得2sin2 3cos， 两边同乘得 2 2 sin2 3 c

28、os. 将 222 xy， cosx， siny代入即得曲线C的直角坐标方程为 22 2 320xyxy . （2）将 1 , 2 3 3 2 xt yt 代入式，得 2 3 330tt， 易知点M的直角坐标为0,3. 设这个方程的两个实数根分别为 1 t， 2 t，则由参数t的几何意义即得 12 3 3MAMBtt. 练习 1. 以直角坐标系的原点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 2 sin30 6 ，曲线C的参数方程是 2 2 xcos ysin （为参数）. （）求直线l和曲线C的普通方程； （）直线l与x轴交于点P，与曲线C交于A， B两点，求PAP

29、B. 【答案】(1) C的普通方程为 22 4xy, l的普通方程为330xy;(2) 3 3. 第 17 页 共 22 页 解析： （）2 sin30 6 ， 化为3 sincos30， 即l的普通方程为330xy， 2 2 xcos ysin 消去，得C的普通方程为 22 4xy. （）在330xy中令0y 得3,0P， 3 3 k ，倾斜角 5 6 ， l的参数方程可设为 5 3 6 5 0 6 xtcos ytsin 即 3 3 2 1 2 xt yt ， 代入 22 4xy得 2 3 350tt， 70，方程有两解， 12 3 3tt， 1 2 50t t ， 1 t， 2 t同号，

30、 12 PAPBtt 12 3 3tt. 练习 2. 已知直线l的参数方程为 1 2 3 2 xmt yt （其中t为参数， m为常数） ，以原点为极点， x轴的非负 半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin，直线l与曲线C交于点,A B两点. （1）若 15 2 AB ，求实数m的值； （2）若1m，点P坐标为1,0，求 11 PAPB 的值. 第 18 页 共 22 页 【答案】 （1） 3 2 m 或 3 6 ； （2）13. 【解析】试题分析： 将极坐标方程化为普通方程， 根据题目条件计算出弦长的表达式， 从而求出实数m的 值将当1m时代入即可求出结果 解析： （1）曲线C

31、的极坐标方程可化为 2 2 sin， 转化为普通方程可得 22 2xyy，即 2 2 11xy. 把 1 2 3 2 xmt yt 代入 2 2 11xy并整理可得 22 30*tmtm， 由条件可得 2 2 340mm ，解之得 3 3 3 m. 设,A B对应的参数分别为 12 ,t t，则 12 3ttm， 2 1 2 0t tm， 2 12121 2 4ABtttttt 2 2 15 34 2 mm， 解之得 3 2 m 或 3 6 ； （2）当1m时， *式变为 2 1310tt ， 12 13tt ， 1 2 1t t ， 由点P的坐标为1,0可得 11 PAPB 12 12 12

32、1 21 2 11 13 tttt ttt tt t . 点睛：本题考查了极坐标方程方程的一些计算，这里需要注意极坐标方程与普通方程之间的互化，将其转 化为一般方程，然后借助于解析几何的知识点来解题；第二问结合了上一问的解答结果，注意需求简答的 计算 练习 3. 在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 1 2 2 3 1 2 xt yt ，以坐标原点为极点， x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos. 第 19 页 共 22 页 （1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若曲线C与直线l相交于不同的两点M， N，求线段MN的长. 【答案】 （1）曲线C的直

33、角坐标方程为 22 40xyx； （2）15. 试题解析： （1）曲线C的直角坐标方程为 22 40xyx （2）由 2 2 131 214 20 222 ttt 得， 2 330tt 12 3tt， 1 2 3t t ， 2 12121 2 415MNtttttt 【母题原题 6】利用极角求最值和范围 例 6选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线 1: 1C xy与曲线 2 22 : 2 xcos C ysin （为参数， 0,2 ） 以坐标原点为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）写出曲线 12 ,C C的极坐标方程； （2）在极坐标系中，已知点A是射

34、线:0l 与 1 C的公共点，点B是l与 2 C的公共点，当在区 间0, 2 上变化时，求 OB OA 的最大值 【答案】 （1） 2 sin 42 ， 4cos（2）22 2 第 20 页 共 22 页 【试题解析】 （1）曲线 1 C的极坐标方程为cossin1，即 2 sin 42 曲线 2 C的普通方程为 2 2 24xy，即 22 40xyx，所以曲线 2 C的极坐标方程为4cos （2） 由（1）知 1 ,4cos cossin AB OAOB ， 4coscossin2 1 cos2sin222 2sin 2 4 OB OA 由0 2 知 5 2 + 444 ，当2 42 ， 即

35、 8 时， OB OA 有最大值22 2 练习 1 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 5 4 1 xt y (t为参数)；圆C的参数方程是 xcos ysin （为参数） ，与直线l交于两个不同的点A B、，点P在圆C上运动，求PAB面积的最大值 【答案】 21 2 【解析】试题分析：根据直线及圆的方程，可求出2AB ，设点cos ,sinP，则点到直线的距离为 cossin121 22 d ，即可求出面积最大值. 试题解析： 设点cos ,sinP，则点到直线的距离为 cossin121 22 d 从而求出面积最大值为 21 2 练习 2选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系

36、中，曲线C的极坐标方程2 2cos2sin.以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面 第 21 页 共 22 页 直角坐标系，且在两坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为 3 , 36 xt yt （t为参数）. （1）写出曲线C的参数方程和直线l的普通方程； （2）过曲线C上任意一点M作与直线l相交的直线，该直线与直线l所成的锐角为30，设交点为A，求 MA的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时点M的坐标. 【答案】（1） 22 2 220xyxy， 230xy（2） 点M坐标为 2 2,0时， max 14 3 | 3 MA， 点M的坐标为0,2时， min 2 3 | 3 M

37、A. 【解析】 【试题分析】 （1）对曲线C的极坐标方程两边乘以转化为直角坐标方程，配方得到圆心和半径， 然后直接写出圆的参数方程.将直线的参数方程利用加减消元法消去t，可求得直线l的普通方程.（2）设圆 上任意一点到直线的距离为d，则2MAd，由此利用点到直线的距离公式可求得d的最大值和最小值， 也即是MA的最大值和最小值. 【试题解析】 （2）由题知点M到直线l的距离 1 2 dMA， 设点 23cos ,13sinM. 则有点M到直线l的距离 43sin6cos 43sin 33 d ， 其中 3 cos 3 ， 6 sin 3 ， 第 22 页 共 22 页 当sin1，即 2 时， max 7 3 3 d， max 14 3 | 3 MA， 此时 6 cossin 3 ， 3 sincos 3 ， 2 2,0M； 当sin1即 3 2 时， min 3 3 d， min 2 3 | 3 MA， 此时 6 cossin 3 ， 3 sincos 3 ， 0,2M. 综上，点M坐标为 2 2,0时， max 14 3 | 3 MA，点M的坐标为0,2时， min 2 3 | 3 MA.