数学归纳法复习中小学教学课件.ppt

1、知识点复习 区别归纳法和数学归纳法 数学归纳法原理是什么?如果关于自然数n 的一个命题p(n)满足下列条件 (1)p(n0)成立,即当n=n0(例如 n0=1)时,命题成立;(2)假设p(k)成立,则p(k+1)也成立;根据(1)(2)知p(n)成立 用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题的步骤是怎样的?知识点复习 4.对数学归纳法实质的理解 例.下面是某同学用数学归纳法证明命题 的过程.你认为他的证法正确吗?为什么(1).当n=1时,左边=,右边=(2).假设n=k时命题成立 即那么n=k+1时,左边 =右边,即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.1)1(2

2、11)2111()3121()211()2)(1(1321211kkkkkkk21211211111)1(1321211kkkk1)1(1321211nnnn知识点复习 对数学归纳法实质的理解 数学归纳法证题的这两个步骤,第一个步骤是命题递推的基础,第二个步骤是命题推理的根据,二者缺一不可.其中第二步是数学归纳法的核心,在从n=k到n=k+1的递推过程中,必须要运用归纳假设,这是数学归纳法证题的本质特征.如若在此过程中,没有运用归纳假设,不论形式上多么相似,也不能称此证明方法为数学归纳法.由于数学归纳法包含两个步骤一个结论,故最后应完整地写出结论.数学小常识 德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一

3、个有趣的现象：任何大于5的整数,都可以表示为三个质数的和,他猜想这个命题是正确的,但他本人无法给予证明.1742年6月6日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉,欧拉经过反复研究,发现问题的关键在于证明任意大于2的偶数能表示为两个质数的和.于是,欧拉对大于2的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜想上述结论是正确的。6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。”这就是著名的哥德巴赫猜想.专项训练(归纳猜测)一.归纳、猜测：1.如图，把边长为1的正方形看作第一层壳，其面积为s1，在它外面再镶上面积为s2 的第二层外壳，

4、使之构成边长为1+2的正方形，再镶上为 s3的第三层外壳，使之构成边长为1+2+3的正方形，依次下去，试猜测第n层外壳的面积s解:s1=1 s2=(1+2)21=8 s3=(1+2+3)29=27 s4=(1+2+3+4)236=64 sn=(1+2+n)2(n1)2=n3专项训练(归纳猜测)13=1 13+23=9 13+23+33=36 13+23+33+43=100 试猜测：13+23+33+43+n3=(1+2+3+n)2=12=(1+2)2=(1+2+3)2=(1+2+3+4)2专项训练(归纳猜测)古希腊学者用圆球堆成大大小小的一系列等边三角形：每一堆球数依次为1，3，6，这种数叫做

5、“三角形数”或简称“三角数”。著名的几何学家毕达哥拉斯曾对三角数作过专门的研究，并获得丰硕的成果，如果用tn表示第n个三角数，则由上图可知t1=1,t2=3,t3=6,(1)求t2 t1,t3t2,t4t3的值，并猜测tntn1值。(2)求t1 t2,t2t3,t3t4的值，并猜测tn1tn值。解:(1)t2t1=2;t3t2=3;t4t3=4;tntn1=n (2)t1t2=4;t2t3=9;t3t4=16;tn1tn=n2专项训练(对命题的理解)解 析:令f(n)=（n1)(n2)（nn）f(k)=(k1)(k2)(kk)f(k1)=(k1)1(k1)2(k1)(k1)=(k2)(k3)(

6、kk)(2k1)(2k2)f(k1)f(k)=(2k1)(2k2)(k1)=3k2用数学归纳法证明命题：(n1)（n2)(nn)=2n13（2n1)的第二步中，n=k1时需证：解析:(k1)1(k1)2(k1)(k1)=2k1132(k1)1即:(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)=2k113 2k12)13(nn用数学归纳法证明（n1)(n2)（nn）=的第二步中，n=k1时的等式左边与n=k时的等式左边的差等于专项训练kk+1 P(k)与p(k+1)的进和退 在数学归纳法的第二步归纳推理中，由p(k)p(k+1)的过渡，有两种基本途径可寻:一、由p(k)向p(k+1)推证 二、由p

7、(k+1)倒退专项训练kk+1证明：（1）当n=1时，命题显然成立。(2)假设当n=k 时,命题成立,即(k1)（k2)(kk)=2k13（2k1)当n=k+1时,待证:(k2)（k3)2k(2k+1)(2k+2)=2(k+1)13（2k1)(2k+1)据途径一:由p(k)出发，直接构造p(k+1)形式。1)22)(12(kkk1)22)(12(kkk整理得：(k2)（k3)2k(2k+1)(2k+2）=2 2k13（2k1)（2k+1)=2(k+1)13（2k1)(2k+1)即：n=k+1时，命题成立。由(1)(2)知,命题成立 (k1)（k2)(kk)=2k13（2k1)例.用数学归纳法证

8、明命题：(n1)（n2)(nn)=2n13（2n1)专项训练kk+1 解析：(2)假设n=k时命题成立.即:5 k2k 被3整除.当n=k+1时 5k+12k+1 =55k22k =5(5 k2k)52k22k =5(5 k2k)32k5(5 k2k)32k例.用数学归纳法证明“5n2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用归纳假设，应将5k+12k+1变形为 小结 什么叫数学归纳法 归纳、猜测、证明是发现和研究数学问题的重要思想方法。掌握用数学归纳法证明命题的关键。19世纪世纪30年代，英国著名物理年代，英国著名物理学家学家法拉第法拉第发明了世界上第一发明了世界上第一台发电机，从此，

9、世界迈进了台发电机，从此，世界迈进了一个新的时代一个新的时代电气时代电气时代天荒坪蓄水电站天荒坪蓄水电站 1.1.家里的电灯、工厂的机器用的电家里的电灯、工厂的机器用的电 是从哪里来的？是从哪里来的？思考思考火力发电站火力发电站秦山核电站秦山核电站三三峡峡水水电电站站西西藏藏羊羊八八井井地地热热电电站站风力发电风力发电 思考：思考：2、手机、手电筒的电是从哪手机、手电筒的电是从哪 里来的？里来的？电源：能提供电能的装置电源：能提供电能的装置电池电池电流电流电源电源电灯电灯开关开关实验探究：实验探究：怎样使一只灯泡发光？怎样使一只灯泡发光？电源：电源：用电器：用电器：导线：导线：开关：开关：电路

10、的组成电路的组成提供电能提供电能干电池干电池 蓄电池蓄电池消耗电能消耗电能电灯、电风扇等电灯、电风扇等输送电能输送电能二二、组成电路各元件的作用组成电路各元件的作用控制电路控制电路一、电路：一、电路：把电源、用电器、开关用导线连接起来把电源、用电器、开关用导线连接起来 组成的组成的电电流流的的路路径径电源电源用电器用电器导线导线观察手电筒的内部结构，说出手电筒电路各部分的名称？观察手电筒的内部结构，说出手电筒电路各部分的名称？开关开关电源电源电灯电灯开关开关开关的断开与闭合开关的断开与闭合注意注意“断开断开”与与“闭合闭合”不同于生活中说的不同于生活中说的“开开”与与“关关”关于开关的动作生活

11、中用语和科学用语有区别关于开关的动作生活中用语和科学用语有区别 小灯泡状态小灯泡状态生活用语生活用语科学用语科学用语 使灯亮使灯亮把灯打开把灯打开把开关闭合把开关闭合使灯灭使灯灭把灯关掉把灯关掉把开关断开把开关断开电源电源电灯电灯开关开关电路的状态电路的状态1开路开路电路的三种状态电路的三种状态电流电流电源电源电灯电灯开关开关通路通路电路的状态电路的状态2发烫啦！发烫啦！电路的状态电路的状态3电流电流电源电源电灯电灯开关开关短路短路电路的状态电路的状态3谨防短路！谨防短路！通路通路（闭合电路）：电路中（闭合电路）：电路中有电流有电流的电路的电路开路（断路）：某处断开开路（断路）：某处断开没有电

12、流的没有电流的电路电路短路短路：不经过用电器，直接用导线把：不经过用电器，直接用导线把 电源两极连接起来电源两极连接起来电源短路电源短路 必须防止电源短路！必须防止电源短路！电源短路电源短路电流过大电流过大 损坏电源或造成火灾损坏电源或造成火灾三、电路的状态三、电路的状态你能画下来吗？你能画下来吗？常见电路常见电路元件的符号元件的符号：电池电池电池组电池组开关开关电灯电灯电铃电铃电动机电动机交叉交叉不不相连相连接的导线接的导线交叉相连交叉相连接的导线接的导线画出该电路的电路图画出该电路的电路图最最简简单单的的电电路路图图四、电路图：四、电路图：用用元件符号元件符号表示电路连接的图表示电路连接的

13、图注意：电路应画成矩形，注意：电路应画成矩形，使图形美观。使图形美观。实物图实物图元件分布要均匀；元件分布要均匀；位置安排要适当。位置安排要适当。导线竖直横要平；导线竖直横要平；矩形棱角要分明。矩形棱角要分明。判断下列电路有何缺点判断下列电路有何缺点 上节课我们学习了哪些内容？上节课我们学习了哪些内容？1 1、简单电路的组成、简单电路的组成2 2、几种常见电路元件的符号、几种常见电路元件的符号回顾回顾电池电池电灯电灯电池组电池组负极负极正极正极开关开关复习复习干电池干电池 蓄电池蓄电池你能画出手电筒的电路图吗？你能画出手电筒的电路图吗？电源电源开关开关用电器用电器导线导线电路图电路图-+1.串

14、联电路：串联电路：把电路元件把电路元件逐个顺次逐个顺次连接起来的电路。连接起来的电路。五、电路的五、电路的连接方式连接方式2.并联电路并联电路：把用电器：把用电器并列并列地连接起来的电路。地连接起来的电路。分支点：分支点：并联用电器的连接点。并联用电器的连接点。干路：干路：从电源两极到两个分支点的那部分电路。从电源两极到两个分支点的那部分电路。支路：支路：两个分支点之间的电路。两个分支点之间的电路。AB电电路路图图实实物物图图思考：思考：串联电路有什么特点？串联电路有什么特点？1）电流）电流只有只有一条路径，一条路径，通过一个元件的电流同时通过一个元件的电流同时也通过另一个。也通过另一个。2）

15、电路中）电路中只需要只需要一个一个开关，且开关的位置对电开关，且开关的位置对电路没有影响。路没有影响。3）电路中一个用电器）电路中一个用电器损坏，另几个用电器也不损坏，另几个用电器也不能正常工作。能正常工作。S思考：思考：并联电路有什么特点？并联电路有什么特点？1）电流有两条（或）电流有两条（或多条）多条）路径。路径。2）各元件可以独立）各元件可以独立 工作。工作。3）干路的开关控制）干路的开关控制整个干路，支路的开整个干路，支路的开关只控制本支路。关只控制本支路。S1S2L1L2串联电路串联电路并联电路并联电路思考：思考：如果用一根导线将串联电路、并如果用一根导线将串联电路、并联电路里的某一

16、电灯两端直接连接起联电路里的某一电灯两端直接连接起来来（如下图所示）（如下图所示），会出现怎样的情况？，会出现怎样的情况？用电器短路用电器短路电源短路电源短路短路也是电路的一种连接状态短路也是电路的一种连接状态第第 1 1 节节 电路图电路图 电电 源源 用电器用电器电路电路 开开 关关 导导 线线连接状态连接状态连接方式连接方式串联电路串联电路并联电路并联电路电路元件符号电路元件符号电路图电路图通路通路（闭合电路（闭合电路断路断路（开路（开路短路短路 电源短路电源短路！用电器短路用电器短路1.下列电路完整无缺的是（下列电路完整无缺的是（）（A）（B）（C）（D）D试一试试一试2.如图所示，若

17、断开开关如图所示，若断开开关S2、闭合开关、闭合开关S1，则电路是，则电路是（）路；若只闭合开关）路；若只闭合开关S2，则电路是（，则电路是（）路；）路；若断开开关若断开开关S 1、S2,则电路是（则电路是（）路。）路。S1S2通通短短开开如图两灯的连接方式：如图两灯的连接方式：(a)图为图为()联；联；(b)图图 为为()联。联。若两图中开关若两图中开关S1均闭合，则均闭合，则(a)图中灯图中灯()发光，发光，(b)图图 中灯中灯()发光。发光。L1 S1 L1 S1L2 S2 L23.串串 并并L1、L2L1（a）（b）4.如下图所示的电路叫如下图所示的电路叫 电路电路,图中开关图中开关S1用来控制用来控制 ,开关开关S2用用来控制来控制 ,而开关而开关S接在接在 路中路中,它可以同时控制它可以同时控制 .在图中用铅笔在图中用铅笔标出电路中的干路部分和电流方向标出电路中的干路部分和电流方向.(开开关都闭合后关都闭合后).干干并联并联L1L2L1、L2SS1L1L2S2