2020版高考数学二轮复习（全国通用）专题检测数学文化.doc

1、 - 1 - 专题检测（五） 数学文化 一、选择题 1.我国古代数学著作九章算术中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百 八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣( ) A.104 人 B.108 人 C.112 人 D.120 人 解析：选 B 由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为 300 8 100 8 1007 4886 912300 8 100 22 500108.故选 B. 2.大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传 统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量 总

2、和.是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前 10 项依次是 0，2，4，8， 12，18，24，32，40，50，则此数列第 20 项为( ) A.180 B.200 C.128 D.162 解析：选 B 根据前 10 项可得规律：每两个数增加相同的数，且增加的数构成首项为 2， 公差为 2 的等差数列.可得从第 11 项到 20 项为 60，72，84，98，112，128，144，162，180， 200.所以此数列第 20 项为 200. 3.(2019 昆明市高三调研测试)法国学者贝特朗于 1899 年针对几何概型 提出了贝特朗悖论，内容如下：如图，在半径为 1 的圆内

3、随机地取一条弦， 则弦长超过圆内接等边三角形的边长 3的概率等于多少？基于对术语“随 机地取一条弦”含义的不同解释，存在着不同答案.现给出其中一种解释： 固定弦的一个端点 A，另一端点在圆周上随机选取，其答案为( ) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 6 解析：选 B 记等边三角形为ABC，弦的另一个端点为 P.如图，弦 AP 的长超过 AB 的长，则点 P 落在劣弧BC 上，所以所求概率为1 3.故选 B. 4.欧拉公式 eixcos xisin x(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函 数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里

4、非常重 要， 被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知， e2i表示的复数在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 - 2 - 解析：选 B 依题可知 eix表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos x，sin x)，故 e2i 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos 2，sin 2)，显然该点位于第二象限，选 B. 5.如图所示是 2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标图案， 该图案的设计基础是赵爽弦图， 以纪念我国古代数学家赵爽用此图证明了 勾股定理.如图是用 4 个全等的直角三角形以斜边为边长拼成的一个正方 形.假设直角三角

5、形的直角边长分别为 3，5，在正方形 ABCD 中随机取一 点，则此点取自四边形 EFGH 内的概率是( ) A. 2 17 B.1 8 C.2 9 D. 4 25 解析：选 A 因为直角三角形的直角边长分别为 3，5，所以正方形 ABCD 的面积为 32 5234， 易知四边形 EFGH 的面积为(53)24.故此点取自四边形 EFGH 内的概率 P 4 34 2 17. 故选 A. 6.我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷 (u)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器， 晷长即为所测量影子的长度).二十四个节气及 晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化

6、量相同，周而复始.若冬至晷长一丈三尺五寸， 夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺， 一尺等于十寸)， 则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( ) A.五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸 D.四尺五寸 解析： 选 B 设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列an， 公差为 d， a115， a13135， 则 1512d135，解得 d10.所以 a2151025，所以小暑的晷长是 25 寸.故选 B. 7.算数书是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如 其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h， 计算其体积 V 的近似公式 V 1 3

7、6L 2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3.那 么，近似公式 V 7 264L 2h，相当于将圆锥体积公式中的近似取为( ) - 3 - A.22 7 B.25 8 C.157 50 D.355 113 解析：选 A 依题意，设圆锥的底面半径为 r，则 V1 3r 2h 7 264L 2h 7 264(2r) 2h，化简 得22 7 .故选 A. 8.五进制是以 5 为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指.中国古代的五行学说也 是采用的五进制，0 代表土，1 代表水，2 代表火，3 代表木，4 代表金，依此类推，5 又属土， 6 属水(减去 5 即得)如图，这是一个把 k

8、进制数 a(共有 n 位)化为十进制数 b 的程序框图， 执行该程序框图，若输入的 k，a，n 分别为 5，1 203，4，则输出的 b( ) A.178 B.386 C.890 D.14 303 解析：选 A 执行该程序框图，可得当输入 k5，a1 203，n4 时，该程序框图的功 能是计算并输出 b350051252153178.故选 A. 9.天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、 戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥. 天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天 干

9、由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为 “丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙 亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.已知 1949 年为“己丑”年，那 么到中华人民共和国成立 80 年时为_年( ) A.丙酉 B.戊申 C.己申 D.己酉 解析：选 D 天干以 10 循环，地支以 12 循环，从 1949 年到 2029 年经过 80 年，且 1949 年为“己丑”年，以 1949 年的天干和地支分别为首项，80108，则 2029 年的天干为己； - 4 - 80 1268，则 2029 年的地

10、支为酉. 10.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表，它的出现标志着中国古代数学形成了 完整的体系.其中方田章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而 一.其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积1 2(弦矢矢矢).弧田是由圆弧(弧田弧)和 以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长， “矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田， 其弧田弦 AB 等于 6 米，其弧田弧所在圆为圆 O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为7 2平方米，则 cosAOB ( ) A. 1 25 B. 3 25 C.1 5 D. 7

11、25 解析：选 D 如图，依题意 AB6，设 CDx(x0)，则1 2(6xx 2) 7 2，解得 x1.设 OAy，则(y1) 29y2，解得 y5. 由余弦定理得 cosAOB252536 255 7 25，故选 D. 11.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传 输信息.设定原信息为 a0a1a2，ai0，1(i0，1，2)，传输信息为 h0a0a1a2h1，其中 h0a0 a1，h1h0a2，的运算规则为 000，011，101，110.例如原信息为 111， 则传输信息为 01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一

12、定有误的是( ) A.11010 B.01100 C.10111 D.00011 解析：选 C 对于选项 C，传输信息是 10111，对应的原信息是 011，由题目中的运算规 则知 h0011，h1h0a2110，故传输信息应是 10110. 12.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对 称统一的形式美、和谐美.定义：图像能够将圆 O 的周长和面积同时等 分成两部分的函数称为圆 O 的一个“太极函数”，给出下列命题： 对于任意一个圆 O，其“太极函数”有无数个； 函数 f(x)ln(x2 x21)可以是某个圆的“

13、太极函数”； 正弦函数 ysin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”； 函数 yf(x)是“太极函数”的充要条件为函数 yf(x)的图像是中心对称图形. - 5 - 其中正确的命题为( ) A. B. C. D. 解析： 选 A 过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分， 故对于任意一个圆 O， 其“太极函数”有无数个，故正确； 函数 f(x)ln(x2 x21)的图像如图所示， 故其不可能为圆的“太极函数”，故错误； 将圆的圆心放在正弦函数 ysin x 图像的对称中心上，则正弦函数 ysin x 是该圆的“太 极函数” ， 从而正弦函数 ysin x 可以同时是无数个圆的“太极函数

14、”，故正确； 函数 yf(x)的图像是中心对称图形，则 yf(x)是“太极函数”，但函数 yf(x)是“太极 函数”时，图像不一定是中心对称图形，如图，故错误.故选 A. 二、填空题 13.鲁班锁是中国传统的智力玩具， 起源于古代汉族建筑中首创的榫 卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分 巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称. 从外表上看， 六根等长的正四棱柱体分成三组， 经 90榫卯起来， 如图， 若正四棱柱体的高为 6，底面正方形的边长为 1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球 形容器的表面积的最小值为_.(容器壁的厚度忽略不计) 解

15、析：表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为 1，2，6 的长方体的外接球.设 其半径为 R，(2R)2622212，解得 R241 4 ，所以该球形容器的表面积的最小值为 4R2 41. 答案：41 14.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中“勾股”章讲述了“勾股定 - 6 - 理”及一些应用.直角三角形的三条边分别称为“勾”“股”“弦”.设 F1， F2分别是椭圆x 2 4 y21 的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，若线段 PF2，PF1分别是 RtF1PF2 的“勾”“股”，则点 P 的横坐标为_. 解析：由题意知半焦距 c 3，又 PF1PF2，故点 P 在圆

16、 x2y23 上，设 P(x，y)，联 立，得 x 2y23， x2 4y 21， 得 P 2 6 3 ， 3 3 .故点 P 的横坐标为2 6 3 . 答案：2 6 3 15.公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发 现了黄金分割，其比值约为 0.618，这一数值也可以表示为 m2sin 18，若 m2n4，则 m n 2cos2271_. 解析：由题设 n4m244sin2184(1sin218)4cos218， m n 2cos2271 2sin 18 4cos218 2cos2271 2（2sin 18cos 18） cos 54 2sin 36

17、sin 36 2. 答案：2 16.(2019 合肥市第一次质检)部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三 角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三 角形的三边中点连线，将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 个 小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图. 现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为_. 解析：由题意可知每次挖去等边三角形的1 4，设题图(1)中三角形的面积为 1，则题图(2)中 阴影部分的面积为 11 4 3 4，题图(3)中阴影部分的面积为 11 4 11 4 3 4 2 9 16，故在题图 (3)中随机选取一点，此点来自阴影部分的概率为 9 16. 答案： 9 16