河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试数学（理）试题（解析版）.doc

1、 第第卷（选择卷（选择题题 共共 6060 分）分） 一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1. 已知集合 2 1logAxNxk，集合A中至少有 3 个元素，则（ ） A8k B8k C16k D16k 【答案】C 考点：1.集合的运算；2.对数函数的性质. 2. 若1zii，则z等于（ ） A1 B 3 2 C 2 2 D 1 2 【答案】C 【解析】 试题分析：由1zii得 111 11122 iii zi iii ，所以

2、22 112 222 z ，故选 C. 考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算.来源:ZXXK 3. 在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十 一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有 7 层，每层悬挂的红灯数 是上一层的 2 倍，共有 381 盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ） A5 B6 C4 D3 【答案】D 【解析】 试题分析：由题意可知，每层悬挂的灯数从上到下依次构成比差数列，公比为2，设顶层的灯数为 1 a， 则 7 7 1 11 (1 2 ) (21127381 1 2 a aa ），解之得 1 3a ，故选

3、 D. 考点：1.数学文化；2.等比数列的性质与求和. 4. 已知双曲线 22 22 :10 0 xy Cab ab ，的离心率为 5 2 ，则C的渐近线方程为（ ） A 1 4 yx B 1 3 yx C. 1 2 yx Dyx 【答案】C 考点：双曲线的标准议程与几何性质. 5. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A4 B9 C.7 D5 【答案】B 【解析】 试题分析：模拟算法，开始：输入0,0,1TSn； 2,9(1 1)18,123,TSnTS 不成立； 3 28,9(3 1)36,325,TSnTS 不成立； 5 232,9(5 1)54,527,TSnTS不成立； 7

4、 2128,9(7 1)63,729,TSnTS成立； 输出9n，结束得算法.故选 B. 考点：程序框图. 6. 已知函数 cos0f xAx的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ） A函数 f x的最小正周期为 2 3 B函数 f x的图象可由 cosg xAx的图象向右平移 12 个单位得到 C.函数 f x的图象关于直线 12 x 对称 D函数 f x在区间 42 ，上单调递增 【答案】D 考点：三角函数的图象和性质. 7. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 1 0 x f x x ， 为有理数 ， 为无理数 ，称为狄利克 雷函数，则关于函数 f x有以下四个

5、命题： 1ff x； 函数 f x是偶函数； 任意一个非零有理数T， f xTf x对任意xR恒成立； 存在三个点 112233 A xf xB xf xC xf x，使得ABC为等边三角形. 其中真命题的个数是（ ） A4 B3 C.2 D1 【答案】A 考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性；3.分段函数的表示与求值. 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A10 B20 C.40 D60 【答案】B 【解析】 试题分析： 由三视图可知该几何体的直观图如下图所示， 且三角形ABC是以角A为直角的直角三角形， 4,3ABAC,从而5BC ,又5BD，且BD 平面ABC，

6、故四边形BCED中边长为5的正方 形，过A作AHBC于H，由易知AH 平面BCED，在直角三角形ABC中可求得 12 5 AH ， 从而 ABCD 1112 5 520 335 A BCED VVSAH 正方形 ,故选 B. C B E D A H 考点：1.三视图；2.多面体和体积. 9. 已知A、B是椭圆 22 22 10 xy ab ab 长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线 AM、BN的斜率分别为 121 2 0kkk k ，若椭圆的离心率为 3 2 ，则 12 kk的最小值为（ ） A1 B2 C. 3 2 D3 【答案】A 10. 在棱长为 6 的正方体 1111

7、 ABCDABC D中，M是BC的中点，点P是面 11 DCC D所在的平面内的动点， 且满足APDMPC ，则三棱锥PBCD的体积最大值是（ ） A36 B12 3 C.24 D18 3 【答案】A 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.轨迹方程的求法；3.多面体的体积. 11. 已知函数 3 ln 1 0 11 0 xx f x xx ， ， ，若 f xax恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A 2 0 3 ， B 3 0 4 ， C.0 1， D 3 0 2 ， 【答案】B 【解析】 试题分析：在同一坐标系内作出函数 3 ln 1 0 11 0 xx f x xx ， ， 与函数yax和

8、图象，通过图象可知， 当直线yax绕着原点从x轴旋转到与图中直线l重合时，符合题意，当0x时， 2 ( )3(1)fxx， 设直线l与函数( )yf x的切点为 00 (,)P xy，则 3 2 00 0 00 (1) 3(1) yx x xx ，解之得 0 3 2 x ，所以直 线l的斜率 2 33 3 (1) 24 k ，所以a的取值范围为 3 0 4 ，故选 B. 考点：1.函数与不等式；2.导数的几何意义. 【名师点睛】本题考查函数与不等式、导数的几何意义，属中档题；导数的几何意义是每年高考的必考内 容，利用导数解决不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，

9、进而得 出相应的含参不等式，从而求出参数的范围；或参变分离，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题； 或通过数列结合解题. 12. 已知过抛物线 2 :20G ypx p焦点F的直线l与抛物线G交于M、N两点（M在x轴上方） ，满足 3MFFN， 16 3 MN ，则以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ） A 2 2 12 316 333 xy B 2 2 1316 333 xy C. 2 2 32 316xy D 2 2 3316xy 【答案】C 考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；2.圆的标准方程. 【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质

10、、直线与抛物线的位置关系、圆的标准方程，属难题； 在解抛物线有关问题时，凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般要运用定义转化为到准线的距离处理； 抛物线的焦点弦一直是高考的热点，对于焦点弦的性质应牢固掌握. 第第卷（非卷（非选择题选择题 共共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13. 若x、y满足约束条件 10 0 40 x xy xy ，则 1y x 的最大值为 【答案】2 考点：线性规划. 14. 在ABC中，3 5ABAC，若O为ABC外接圆的圆心（即满足OAOBOC） ，则AO BC的 值

11、为 【答案】8 来源:学。科。网Z。X。X。K 考点：数量积的几何运算. 【名师点睛】本题考查数量积的几何运算，属中档题；平面向量的数量积有两种运算，一是依据长度与夹 角，即数量积的几何意义运算，一是利用坐标运算，本题充分利用向量线性运算的几何意义与数量积的几 何意义进行运算，运算量不大，考查子学生逻辑思维能力，体现了数形结合的数学思想. 15. 已知数列 n a的各项均为正数， 11 1 4 2 nn nn aaa aa ，若数列 1 1 nn aa 的前n项和为 5，则 n 【答案】120 【解析】 试题分析：数列 1 1 nn aa 的前n项和为 32112121 12231 111 5

12、 4444 n nn aaaaaaaa aaaaaa ，所以 1 22 n a ， 又 1 1 4 nn nn aa aa ，所以 22 1 4 nn aa ，由此可得 222 11 444 ,2244 ,120 n aannn n ，即应填120. 考点：1.数列求和；2.累和法求数列通项. 【名师点睛】本题考查数列求和，累和法求数列通项，属中档题；由数列的递推公式求通项公式时，若递 推关系为 an1anf(n)或 an1f(n) an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也 可以求得上面两类数列的通项公式，数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组 求

13、和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用. 16. 过抛物线 2 20ypx p的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A， 与抛物线的准线的的交点 为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若 48AFFBBA BC，则抛物线的方程为 【答案】 2 4yx 考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.向量数量积的几何意义. 三、解答题三、解答题 （本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分） 在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为 abc， ，已知4 6 2bcCB，.

14、（1）求cos B的值； （2）求ABC的面积. 【答案】 （1） 3 4 ； （2）15 7 4 . 考点：1.正弦定理；2.三角恒等变换；3.三角形内角和与三角形面积公式. 【名师点睛】本题考查正弦定理、三角恒等变换、三角形内角和与三角形面积公式，属中档题. 正、余弦 定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用正弦定理解决一类已知三角形两边及一角对边求其它元 素，或已知两边及一边对角求其它元素的问题，这时要讨论三角形解的个数问题；利用余弦定理可以快捷 求第三边直接运用余弦定理解 决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道 两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷

15、求第三边. 18. （本小题满分 12 分） 如图所示，在三棱柱 111 ABCABC中， 11 AA B B为正方形， 11 BBC C为菱形， 11 60BBC，平面 11 AA B B 平 面 11 BBC C. （1）求证： 11 BCAC； （2）设点E、F分别是 1 B C， 1 AA的中点，试判断直线EF与平面ABC的位置关系，并说明理由； （3）求二面角 1 BACC的余弦值. 【答案】(1)见解析；(2) EF平面ABC；(3) 7 7 . （3）在平面 11 BBC C内过点B作 1 BzBB， 考点：1.面面垂直的判定与性质；2.线面平行、垂直的判定与性质；3.空间向量的

16、应用. 【名师点睛】本题考查.面面垂直的判定与性质、线面平行、垂直的判定与性质及空间向量的应用，属中档 题；解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平 行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；求二面角，则通过求 两个半平面的法向量的夹角间接求解.此时建立恰当的空间直角坐标系以及正确求出各点的坐标是解题的关 键所在. 19. （本小题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知 00 R xy，是椭圆 22 :1 2412 xy C上的一点，从原点O向圆 22 00 :8Rxxyy作两条切线，分别交椭圆于P

17、，Q.来源:ZXXK （1）若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程； （2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为 12 kk，求 12 k k的值； （3）试问 2 2 OPOQ是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 【答案】 （1） 22 2 22 28xy； （2） 1 2 ； （3）36. 200 2 2 2 2 1 k xy k ，化简得 2 0 12 2 0 8 8 y kk x ，因为点 00 R xy，在椭圆C上，所以 22 00 1 2412 xy ，即 22 00 1 12 2 yx，所以 2 0 12 2 0 1 4 1 2 28 x k k x 来

18、源: （3）方法一（1）当直线OP、OQ不落在坐标轴上时，设 11 P xy， 22 Q xy， 由（2）知 12 210k k ，所以 12 12 2 1 y y x x ，故 2222 1212 1 4 y yx x，因为 11 P xy， 22 Q xy，在椭圆C上，所 以 22 11 1 2412 xy ， 22 22 1 2412 xy ， 即 22 11 1 12 2 yx， 22 22 1 12 2 yx，所以 2222 1212 111 1212 224 xxx x ， 整理得 22 12 24xx，所以 2222 1212 11 121212 22 yyxx ， 所以 222

19、2222222 11221212 36OPOQxyxyxxyy. 考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.圆的标准方程；3.直线与圆的位置关系. 20. （本小题满分 12 分） 设椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，上顶点为A，过A与 2 AF垂直的直线交x轴负 半轴于Q点，且 122 20FFF Q. （1）求椭圆C的离心率； （2）若过A、Q、 2 F三点的圆恰好与直线330xy相切，求椭圆C的方程； （3）过 2 F的直线l与（2）中椭圆交于不同的两点M、N，则 1 FMN的内切圆的面积是否存在最大值？ 若存在，求出这个最大值及此时的直线

20、方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 1 2 ；(2) 22 1 43 xy ； （3） 1 FMN的内切圆的面积的最大值为 9 16 ，此时直线l的方程为1x . 考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与圆的位置关系. 21. （本小题满分 12 分） 已知0t ，设函数 32 31 31 2 t f xxxtx . （1）存在 0 0 2x ，使得 0 f x是 f x在0 2，上的最大值，求t的取值范围； （2） 2 x f xxem对任意0 )x，恒成立时，m的最大值为 1，求t的取值范围. 【答案】(1) 5 ) 3 ，；(2) 1 (0 3

21、，. 【解析】 试题分析：(1)求函数( )f x的导数得 2 331331fxxtxtxxt，分别讨论 01,1,12,2tttt 时函数( )f x在区间0 2，的最大值点是否符合题意即可； （2） 32 31 312 2 x t xxtxxem 对任意0 )x，恒成立， 即 322 3131 3131 22 xx tt mxexxtxx exxt 对任意0 )x，恒成立，令 2 31 3 2 x t g xexxt ，0 )x，根据题意，可以知道m的最大值为 1，则 2 31 30 2 x t g xexxt 恒成立， 由于 01 30gt ，则 1 0 3 t ， 当 1 0 3 t

22、时， 31 2 2 x t gxex ，则 2 x gxe，若 20 x gxe，则 gx在0 ln2，上递 减，在ln2 ，上递增，则 max 3 ln2212ln20 2 gxgt， g x在0 )，上是递增的函 数. 01 30g xgt ，满足条件，t的取值范围是 1 (0 3 ，. 考点：1.导数与函数的单调性、极值，最值；2.函数与不等式. 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，则按所做的第一题记分. . 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知圆锥曲线 2cos : 3si

23、n x C y （为参数）和定点 0 3A， 1 F、 2 F是此圆锥曲线的左、右焦点，以原 点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线 2 AF的直角坐标方程； （2）经过点 1 F且与直线 2 AF垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求 12 MFNF的值. 【答案】(1) 330xy； （2）12 3 13 . 考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.直线参数方程的应用. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设 34f xxx. （1）解不等式 2f x ； （2）若存在实数x满足 1f xax，试求实数a的取值范围. 【答案】(1) 59 22 ，； （2） 1 2 ) 2 ， 考点：1.含绝对值不等式的解法；2.分段函数的表示与作图；3.函数与不等式. 来源:Z&xx&k.Com