直角三角形与勾股定理参考模板范本.doc

1、直角三角形与勾股定理一、选择题1. （2016四川达州3分）如图，在55的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（）ABCD【考点】勾股定理的应用【分析】从点A，B，C，D中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中ABD，ADC，ABC是直角三角形，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为故选D2.（2016广东广州）如图2，已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线，DE交AB于D，连接CD，CD( )A

2、、3 B、4 C、4.8 D、5难易 中等考点 勾股定理及逆定理，中位线定理，中垂线的性质解析 因为AB=10,AC=8,BC=8,由勾股定理的逆定理可得三角形ABC为直角三角形，因为DE为AC边的中垂线，所以DE与AC垂直，AE=CE=4，所以DE为三角形ABC 的中位线，所以DE=3,再根据勾股定理求出CD=5参考答案 D 3. （2016年浙江省台州市）如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQAB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（）ABCD【考点】勾股定理；实数与数轴【分析】直接利用勾股定理得出OC的

3、长，进而得出答案【解答】解：如图所示：连接OC，由题意可得：OB=2，BC=1，则AC=，故点M对应的数是：故选：B4（2016山东烟台）如图，RtABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，ABC=40，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（）A40B70C70或80D80或140【考点】角的计算【分析】如图，点O是AB中点，连接DO，易知点D在量角器上对应的度数=DOB=2BCD，只要求出BCD的度数即可解决问题【解答】解：如图，点O是AB中点，连接DO点D在量角器上对应的度数=DOB=

4、2BCD，当射线CD将ABC分割出以BC为边的等腰三角形时，BCD=40或70，点D在量角器上对应的度数=DOB=2BCD=80或140，故选D5（2016.山东省威海市，3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）ABCD【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到BFC=90，根据勾股定理求出答案【解答】解：连接BF，BC=6，点E为BC的中点，BE=3，又AB=4，AE=5，BH=，则BF=，FE=BE=EC，BFC=

5、90，CF=故选：D6（2016江苏连云港）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则S3+S4=（）A86B64C54D48【分析】分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系同理，得出S4、S5、S6的关系【解答】解：如图1，S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2AB2=AC2+BC2，S1+S2=AC2+BC2=AB2=S3，如图2，

6、S4=S5+S6，S3+S4=16+45+11+14=86故选A【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质勾股定理：如果直角三角形的两条直角7.（2016江苏南京）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是A3，4，4 B. 3，4，5C. 3，4，6D. 3，4，7答案：C考点：构成三角形的条件，勾股定理的应用，钝角三角形的判断。解析：由两边之和大于第三边，可排除D；由勾股定理：，当最长边比斜边c更长时，最大角为钝角，即满足，所以，选C。8（2016江苏省扬州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（）A6B3C2.5D

7、2【考点】几何问题的最值【分析】以BC为边作等腰直角三角形EBC，延长BE交AD于F，得ABF是等腰直角三角形，作EGCD于G，得EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去ABF，BCE，ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小【解答】解：如图以BC为边作等腰直角三角形EBC，延长BE交AD于F，得ABF是等腰直角三角形，作EGCD于G，得EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去ABF，BCE，ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小=46443633=2.5故选C9（2016浙江省舟山）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，

8、分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（）ABC1D【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理【分析】过F作FHAE于H，根据矩形的性质得到AB=CD，ABCD，推出四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF=CE，根据相似三角形的性质得到，于是得到AE=AF，列方程即可得到结论【解答】解：过F作FHAE于H，四边形ABCD是矩形，AB=CD，ABCD，AECF，四边形AECF是平行四边形，AF=CE，DE=BF，AF=3DE，AE=，FHA=D=DAF=90，AFH+HAF=DAE+FAH=90，DAE=AFH，ADEAFH，AE=AF，=3DE，DE=，故选D二、

9、填空题1. （2016湖北黄冈） 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC=3DE=3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP=_.A P(C) D E B F C （第13题）【考点】矩形的性质、图形的变换（折叠）、30度角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理.【分析】根据折叠的性质，知EC=EP2a=2DE；则DPE=30，DEP=60，得出PEF=CEF=(180-60)= 60，从而PFE=30，得出EF=2EP=4a，再勾股定理，得 出FP的长.【解答】解：DC=3DE=3a，DE=a，EC=2a.根据折叠的性质，EC=EP2a；PEF=C

10、EF， EPF=C=90.根据矩形的性质，D=90，在RtDPE中，EP=2DE=2a，DPE=30，DEP=60.PEF=CEF=(180-60)= 60.在RtEPF中，PFE=30.EF=2EP=4a 在RtEPF中，EPF=90，EP2a，EF4a， 根据勾股定理，得 FP=a.故答案为：a2. (2016四川资阳)如图，在等腰直角ABC中，ACB=90，COAB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD=CE，连结DE交CO于点P，给出以下结论：DOE是等腰直角三角形；CDE=COE；若AC=1，则四边形CEOD的面积为；AD2+BE22OP2=2DPPE，其中所有正确结论的序号是

11、【考点】勾股定理；四点共圆【分析】正确由ADOCEO，推出DO=OE，AOD=COE，由此即可判断正确由D、C、E、O四点共圆，即可证明正确由SABC=11=，S四边形DCEO=SDOC+SCEO=SCDO+SADO=SAOC=SABC即可解决问题正确由D、C、E、O四点共圆，得OPPC=DPPE，所以2OP2+2DPPE=2OP2+2OPPC=2OP（OP+PC）=2OPOC，由OPEOEC，得到=，即可得到2OP2+2DPPE=2OE2=DE2=CD2+CE2，由此即可证明【解答】解：正确如图，ACB=90，AC=BC，COABAO=OB=OC，A=B=ACO=BCO=45，在ADO和CE

12、O中，ADOCEO，DO=OE，AOD=COE，AOC=DOE=90，DOE是等腰直角三角形故正确正确DCE+DOE=180，D、C、E、O四点共圆，CDE=COE，故正确正确AC=BC=1，SABC=11=，S四边形DCEO=SDOC+SCEO=SCDO+SADO=SAOC=SABC=，故正确正确D、C、E、O四点共圆，OPPC=DPPE，2OP2+2DPPE=2OP2+2OPPC=2OP（OP+PC）=2OPOC，OEP=DCO=OCE=45，POE=COE，OPEOEC，=，OPOC=OE2，2OP2+2DPPE=2OE2=DE2=CD2+CE2，CD=BE，CE=AD，AD2+BE2=

13、2OP2+2DPPE，AD2+BE22OP2=2DPPE故正确3.（2016广东梅州）如图，在平面直角坐标系中，将ABO绕点A顺时针旋转到AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将AB1C1绕点B1顺时针旋转到A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将A1B1C2绕点C2顺时针旋转到A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去若点A（，0），B（0，2），则点B2016的坐标为_答案：（6048，2）考点：坐标与图形的变换旋转，规律探索，勾股定理。解析：OA，OB2，由勾股定理，得：AB，所以，OC226，所以，B2（6,2），同理可得：B4（12,2），B6（18

14、,2），所以，B2016的横坐标为：100866048，所以，B2016（6048,2）4. （2016年浙江省温州市）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图1所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图2所示），则该凸六边形的周长是（32+16）cm【考点】七巧板【分析】由正方形的性质和勾股定理求出各板块的边长，即可求出凸六边形的周长【解答】解：如图所示：图形1：边长分别是：16，8，8；图形2：边长分别是：16，8，8；图形3：边长分别是：8，4，4；图形4：边长是：4；图形5：边长分别是：8，4，4；图形6：边长分别是：4，8；图形7：边长分别是

15、：8，8，8；凸六边形的周长=8+28+8+44=32+16（cm）；故答案为：32+165（2016.山东省临沂市，3分）如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG若AB=4，BC=8，则ABF的面积为6【考点】翻折变换（折叠问题）【分析】根据折叠的性质求出AF=CF，根据勾股定理得出关于CF的方程，求出CF，求出BF，根据面积公式求出即可【解答】解：将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG，FG是AC的垂直平分线，AF=CF，设AF=FC=x，在RtABF中，有勾股定理得：AB2+BF2=AF2，42+（8x）2=x2，解得：x=5，即CF=5，BF

16、=85=3，ABF的面积为34=6，故答案为：6【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，能得出关于x的方程是解此题的关键6（2016江苏连云港）如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N若AD=2，则MN=【分析】设正方形的边长为2a，DH=x，表示出CH，再根据翻折变换的性质表示出DE、EH，然后利用勾股定理列出方程求出x，再根据相似三角形的判定性质，可得NE的长，根据线段的和差，可得答案【解答】解：设DH=x，CH=2x，由翻折的性质，DE=1，EH=CH=2x，

17、在RtDEH中，DE2+DH2=EH2，即12+x2=（2x）2，解得x=，EH=2x=MEH=C=90，AEN+DEH=90，ANE+AEN=90，ANE=DEH，又A=D，ANEDEH，=，即=，解得EN=，MN=MEBC=2=，故答案为：【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数，设出DH的长，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，也是本题的难点三、解答题1. (2016云南)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，ABC：BAD=1：2，BEAC，CEBD（1）求tanDBC的值；（2）求证：四边形OBEC是矩形【考点】矩形的判定；菱形的性质；解直角三角形【专

18、题】计算题；矩形 菱形 正方形【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，得到对边平行，且BD为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出BDC度数，即可求出tanDBC的值；（2）由四边形ABCD是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证【解答】（1）解：四边形ABCD是菱形，ADBC，DBC=ABC，ABC+BAD=180，ABC：BAD=1：2，ABC=60，BDC=ABC=30，则tanDBC=tan30=；（2）证明：四边形ABCD是菱形，ACBD，即BOC=90，BEAC，CEB

19、D，BEOC，CEOB，四边形OBEC是平行四边形，则四边形OBEC是矩形【点评】此题考查了矩形的判定，菱形的性质，以及解直角三角形，熟练掌握判定与性质是解本题的关键2. （2016四川达州8分）如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作ODAC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F（1）求证：AEBC=ADAB；（2）若半圆O的直径为10，sinBAC=，求AF的长【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义【分析】（1）只要证明EADABC即可解决问题（2）作DMAB于M，利用DMAE，得=，求

20、出DM、BM即可解决问题【解答】（1）证明：AB为半圆O的直径，C=90，ODAC，CAB+AOE=90，ADE=C=90，AE是切线，OAAE，E+AOE=90，E=CAB，EADABC，AE：AB=AD：BC，AEBC=ADAB（2）解：作DMAB于M，半圆O的直径为10，sinBAC=，BC=ABsinBAC=6，AC=8，OEAC，AD=AC=4，OD=BC=3，sinMAD=，DM=，AM=，BM=ABAM=，DMAE，=，AF=3.（2016广东梅州）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，

21、连接AP并延长交BC于点E，连接EF （1） 四边形ABEF是_；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为_，ABC=_（直接填写结果）考点：角平分线的画法，菱形的判定及其性质，勾股定理。解析：（1）菱形 （2）依题意，可知AE为角平分线，因为ABEF的周长为40，所以，AF10，又FO5，AO，所以，AE，所以，ABO120，ABC120。4（2016上海）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DEAB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2

22、）ECB的余切值【考点】解直角三角形；勾股定理【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出A=B=45，由勾股定理求出AB=3，求出ADE=A=45，由三角函数得出AE=，即可得出BE的长；（2）过点E作EHBC，垂足为点H，由三角函数求出EH=BH=BEcos45=2，得出CH=1，在RtCHE中，由三角函数求出cotECB=即可【解答】解：（1）AD=2CD，AC=3，AD=2，在RtABC中，ACB=90，AC=BC=3，A=B=45，AB=3，DEAB，AED=90，ADE=A=45，AE=ADcos45=2=，BE=ABAE=3=2，即线段BE的长为2；（2）过点E作EHBC，垂足为点H，如图所示：在RtBEH中，EHB=90，B=45，EH=BH=BEcos45=2=2，BC=3，CH=1，在RtCHE中，cotECB=，即ECB的余切值为【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等腰直角三角形的性质，通过作辅助线求出CH是解决问题（2）的关键16 / 16