数集·确界原理学习培训课件.ppt

1、2 数集 确界原理 一、有界集二、确界三、确界的存在性定理四、非正常确界 确界原理本质上体现了实数的完备性，是本章学习的重点与难点.记号与术语(;)|:U axxaa点点的的邻邻域域(;)|0|:Uaxxaa 点点的的空空心心邻邻域域(;)|0:Uaxxaa 点点的的 右右邻邻域域(;)|0:Uaxaxa 点点的的 左左邻邻域域(;)|:UMxxMM 的的邻邻域域(;)|:UMxxMM 的的邻邻域域(;)|:UMxxMM 的的邻邻域域max:SS数数集集的的最最大大值值min:SS数集 的最小值数集 的最小值一、有界集定义定义1 R,.SS设设 (1)R,MxSxMM若若使使得得则则称称为为,

2、.SS的的一一个个上上界界 称称为为有有上上界界的的数数集集(2)R,LxSxLL若若使使得得则则称称为为,.SS的的一一个个下下界界 称称为为有有下下界界的的数数集集.S则则称称为为有有界界集集(3),S若既有上界又有下界若既有上界又有下界:0,|.MxSxM 其其充充要要条条件件为为使使有有(1),SS 若若不不是是有有上上界界的的数数集集 则则称称无无上上界界 即即00R,.MxSxM使使得得(2),SS 若若不不是是有有下下界界的的数数集集 则则称称无无下下界界 即即00R,.LxSxL 使使得得(3),SS 若若不不是是有有界界的的数数集集 则则称称无无界界集集 即即000,|.Mx

3、SxM使使得得10R,1,2;1,MMxMM若若取取若若 1021,MxMM 取取因此因此 S 无上界无上界.证证,2LxSxn 则则故故 S 有下界有下界.取取 L=1,2|N,.nSn 证明数集无上界 有下界证明数集无上界 有下界例例1例例2 22+31N.2nSnn 证证明明数数集集有有界界证证22+3331111N,1,22222nnnnnn .S因因此此有有界界二、确界:R.R,满足满足若若设设 SS定义定义2.sup,SS 记为记为的上确界的上确界是是则称则称;,)i(xSx,(ii)0Sx 0,x 使使得得若数集若数集 S 有上界有上界,则必有无穷多个上界则必有无穷多个上界,而其

4、而其中最小的一个具有重要的作用中最小的一个具有重要的作用.最小的上界称为最小的上界称为上确界上确界.同样同样,若若S 有下界有下界,则最大的下界称为下则最大的下界称为下确界确界.0 x x点击上图动画演示点击上图动画演示注注2 2(ii)显显然然,条条件件亦亦可可换换成成:00,.xS x0,0,注注1 1 条件条件(i)说明说明 是是 的一个上界的一个上界,条件条件(ii)说明说明S 比比 小的数都不是小的数都不是 的上界的上界,从而从而 是最小的上是最小的上S 界界,即上确界是最小的上界即上确界是最小的上界.定义定义3R,.R:SS 设设若若满满足足 (i),;xSx 00(ii),;xS

5、x.inf,SS 记为记为的下确界的下确界是是则称则称00,.xS x0,0,(ii),下下确确界界定定义义中中的的亦亦可可换换成成注注2 2注注1 1 由定义由定义,下确界是最大的下界下确界是最大的下界.证证 先证先证 sup S=1.;111,i)(nxSx.,211000 xSx，则取，则取若若(ii)1.设设例例2 11,1,2,Sx xnn设设求求证证.0inf1sup SS，.1supS因此，因此，00,10,n 若若则则令令由由阿阿基基米米德德性性000011.1,1.xSxnn使使得得令令则则.0inf S因此因此.0inf S再证再证00(ii)0,0,.xS x;011,)

6、i(nxSx以下确界原理也可作公理以下确界原理也可作公理,不予证明不予证明.虽然我们定义了上确界虽然我们定义了上确界,但并没有证明上确界的但并没有证明上确界的存在性存在性,这是由于上界集是无限集这是由于上界集是无限集,而无限数集而无限数集不一定有最小值不一定有最小值,例如例如(0,)无最小值无最小值.三、确界存在性定理证法一证法一 设设 S 是有上界的非空集合是有上界的非空集合.为叙述方便起为叙述方便起见见,不妨设不妨设 S 含有非负数含有非负数.0,|xSxxS记记012,.xSxb b bx 是是的的正正规规的的小小数数表表示示R,.,;SSSS 设设若若有有上上界界 则则必必有有上上确确

7、界界定理定理1.1 (确界原理确界原理),.SS若若有有下下界界 则则必必有有下下确确界界R,sup.S下下面面证证明明使使证明分以下四步证明分以下四步:0101 21.|.,nnnSb bbxb b bSS令令则则有有最最,1,2,.nxn 大大值值02.N,0,1,9,1,2,iaai 使使.,2,1,.,10 naaaxnnn0123.,.a a a 令令则则是是正正规规小小数数表表示示.sup.4S 1.S 是有上界的集合是有上界的集合,从而从而 S+也是有上界的集合也是有上界的集合,0120N,.,kxSxb b bb因因此此使使若若至至多多 0,1,2,k可可取取0,1,2,9,i

8、b至至多多可可取取因因此此(1)10,nnnSkx至至多多有有个个数数 从从而而必必有有最最大大值值.,2,1 n012.,nnnxa aaS若若是是最最大大值值 则则01 20101.,.,nnxb b bSb bba aa ,.110110 nnaaabbb因此因此10111.nnnxa aaS从从而而是是中中最最大大值值01|0,1,.,1,2,.innaixa aan因因此此使使0123.a a a 令令011,.,nnnxa aa bSx由由于于由由正正规规小小数数,0,0.n kkb表表示示 必必有有使使由由于于,.110110knnnknnnknbbaaaaaaaax 12012

9、,0,.nnn kaaaa a a 因因此此不不全全为为即即是正规小数表示是正规小数表示.sup.4S ,.)1(210Sbbbx 0,;0,.xxxxS 若若则则若若则则 010101.max.|.,nna aab bbxb bS由由于于0101.nna aab bbnxy则则由由的的任任意意性性得得.)2(210210aaa 01201211,.,.nnnnna a aaa 使使0121012.nxa a aa 则则.supS 因此因此0112,.,nnnxSxa aa ab设设.0|xSxxS，证法二证法二 不妨设不妨设S中中每每个个数数都都用用正正规规的的十十进进位位小小数数表表示示,

10、.210naaaax,的的整整数数部部分分取取出出来来的的每每个个数数把把xS.|1000SaaaxaMn则则令令的的一一个个上上界界是是若若,1,MKSM00,1,2,.MK 000,max.MnM 因因此此是是有有限限集集 必必有有最最大大值值令令0012|.,Sx xSxn a a，000000.,;,1.SxSxnxS xn则则设设 110120|.Maxn a aS1110,1,2,9,max.MnM 由由于于因因此此有有令令1012|,.,Sx xSxn n a 111101,.;,SxSxn nxS 则则011.10 xn nNkn 一一般般地地用用归归纳纳法法可可证证明明存存在

11、在及及011|,.,kkkSx xSxn nn a01,.;,kkkkkSxSxn nnxS 则则011.10kkxn nn 012.kn n nn 令令sup.S 以以下下证证明明.,0,)i(xxSx则则若若0,.xxSx 若若则则亦亦有有011.10kkxS xn nn此此与与,矛矛盾盾.11,kkan 而而012012,.,kkka a aan n nn使使 01.,kxa aax 设设若若则则事实上事实上,01(ii),.k 设设0101,.kkkn nn 则则使使，11.kkn 而而1011011.kkkxn nn 111011,.kkkkxSxn nn由由定定义义则则(i)(ii

12、)sup.S 由由的的证证明明,我我们们得得到到.,yxByAx 有有:.,满足满足为非空数集为非空数集设设BA例例3 3.infsupBA 且且证明：证明：数集数集 A 有上确界，数集有上确界，数集 B 有下确界，有下确界，由定义由定义,上确界上确界 sup A 是最小的上界是最小的上界,因此因此,任意任意证证 由假设由假设,B 中任一数中任一数 y 都是都是 A 的上界的上界,A 中的任中的任一数一数 x 都是都是 B 的下界的下界.因此由确界原理因此由确界原理,A 有上确有上确界界,B 有下确界有下确界.例例4 4,R 中中非非空空有有上上界界的的数数集集是是设设 S(i)R,|,aSa

13、xa xS若若定定义义则则supsup;SaSa+(ii)R,|,bbSbx xS若若定定义义则则supsup.bSbSy B;sup A y.这样这样,sup A 又是又是 B 的一个下界的一个下界,而而 inf B 是最大的下界是最大的下界,因此因此 sup A inf B.证证,)i(aSax ,Sx 其中其中必有必有,supSx 于是于是.supaSax,00Sx 对于对于使使,sup0 Sx从而从而,0aSax且且,)(sup0 aSax因此因此.sup)sup(aSaS ,)ii(bSbx 其中其中,Sx必有必有,supSx 于是于是.supSbbx 0,0,b 令令则存在则存在,

14、0Sx 使使0sup,xS 因此因此0supsup.bxbSbbS 这就证明了这就证明了.supsupSbbS 四、非正常确界;R,)i(.1 aa规定规定supN,inf 2|N.nn 例例1 12.推广的确界原理推广的确界原理:非空数集必有上、下确界非空数集必有上、下确界.sup,)ii(SS记记无上界无上界若若.inf,SS记记无下界无下界若若例例2 设数集设数集 1R,.ABxAx 求证求证:supinf0.AB的的充充要要条条件件是是 00,sup,.MAxA xM 1 1令令=则则由由于于001,.xB xM令令于于是是0001,.yAyMx且且证证 设设sup.A若若 ,0.xB x显显然然0,于是于是0001,.yByx 且且因此因此inf0.B 反之反之,若若inf0,B 则则0,Msup.A因因此此 2.1212,SSSS和和都都是是数数集集 且且21supsupSS 和和比较比较.infinf21的大小的大小和和及及SS.supSa 其中其中形式形式一定为一定为,),a1.数集数集 S 有上界，则有上界，则 S 的所有上界组成的集合是否的所有上界组成的集合是否复习思考题3.在上确界的定义中，在上确界的定义中，00(ii),xSx 使使能否改为能否改为00(ii),?xSx 使使或改为或改为00(ii),?xSx 使使