全国初中数学优秀课一等奖无理数-教学设计（丁晴峰）.docx

1、1 课题名称：114 无理数与实数（1）无理数 教师姓名：丁晴峰 学校：牛栏山一中实验学校 教师年龄：38 教龄：15 职称：中学一级 教学背景分析 （一）本课时教学内容的功能和地位 本节课是 北京市义务教育教科书 八年级上册第11章第4节的第一课时 无 理数与实数共 3 课时，第 1 课时，了解无理数的概念，并在形成无理数概念的过 程中，掌握用有理数估计无理数范围的方法；第 2 课时，建立实数分类体系，学 习用数轴上的点来表示无理数2、 等，扩充相反数、绝对值等概念在实数范 围范围内的合理性；第 3 课时，通过实例体会有理数的运算法则及其运算律在实 数范围内仍然适用的合理性 无理数的引入，实

2、现了初中阶段第二次数系的扩充，即由有理数集扩充到实 数集这次数系的扩充不仅仅体现在绝对值、相反数、运算法则及运算律的一致 性；又体现它们的发展变化，即有理数对加、减、乘、除运算是封闭的，而无理 数对上述运算是不封闭的同时无理数的引入，使实数与数轴上的点一一对应起 来 初中的很多知识，都是在实数范围进行研究的，对无理数的认识体现了数的 概念是从生活实践中产生和发展起来的借助计算器利用有理数“两边夹逼”的 方法来估计无理数的大小， 有助于对无理数概念的理解， 增强学生的估算能力 同 时对无理数的学习，也是今后学习二次根式及其运算、勾股定理、一元二次方程 等知识的重要基础 （二）学生情况分析 学生已

3、经熟知有理数的概念，并掌握了有理数的运算法则及运算律此年龄 段的学生有较强烈的自我发展意识，喜欢表现自己，对与自己的直观经验相冲突 的现象或“有挑战性”的任务很感兴趣，并且我班的大部分学生数学兴趣比较浓 厚，不满足仅仅停留在“只知其然，不知其所以然”的状态因此我抓住这一特 点， 在学习素材的选取、 学习活动的安排上设法给学生提供 “做数学” 的机会 使 学生在这些活动中积极实践、大胆猜想、敢于质疑，充分感受到有理数的局限性 和引入新数的必要性 （三）教学准备： 在知识基础方面： 算术平方根的概念，有理数的概念及相关的运算法则 在教学手段方面： 本节课主要采用探索发现式的教学方法，在教学中利用计

4、算 器和多媒体辅助教学，帮助学生突破难点 教学目标 1了解无理数概念，并会估计一个无理数的大致范围 2通过折纸活动体会无理数的客观存在，感悟形数沟通的必要；并在运用计算 器进行估算探索无理数的大小的过程中，培养估算能力 3通过积极参与数学活动，感受合作学习探索交流的乐趣 2 教学重点和难点分析 (一)教学重点： 无理数的概念 (二)教学难点：认同将2化为小数所具有的无限及不循环的特征 教学过程 教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图 概念 探索 环节一：情境引入 “将正方形的面积缩小” 材料准备： 两个一样的正 方形纸片，且面积为 4 任务一： 将其中一个正方 形纸片通过折叠得到面积为2 的

5、正方形 任务二： 将另外一个正方 形纸片通过折叠得到面积为1 的正方形 思考： 三个正方形的边长 分别是多少？ 任意一个有理数都能在 数轴上找到一个点与其对应， 数2能否在数轴上也找到一 个点与其对应呢？若存在， 这 个点的位置在哪儿？ 学生动手操作并展示 学生回答： 面积为 4、 2、 1 的正方形的 边长分别为 2、2、1 学生思考回答 表示数2的点在表示 1 与 2 的两点之间 2 ( 2)2， 121，22 4， 122，它是一个小 数 体 会2存 在于我们的 生活中 利用折纸活 动理解 a2 b2c2(a、 b、 c 均为正数) 则 abc， 体现了以形 助数，并为 下节课用数 轴上

6、的点表 示2做 铺 垫 环节二：估算 1由于 122，显 然它不是整数， 它是介于 1 至 2 之间的一个小数，则它的整 数位的数字为 1 2 利用确定2整数位数 字的方法确定十分位的数字 2十分位上的数字有哪 些可能？可以从哪个数字开 始试？ 学生思考交流， 方法得到了 统一 学生运用平方运算， 继续估 算 预案 1：从 1.1 开始逐一验 学 生 自 主 估 算，并对学生 的 各 种 方 法 3 概念 探索 引导学生用有理数逐步 两边逼近2，并在活动记录 表（见附页 1）上进行记录 3利用“两边夹逼”的 方法及科学计算器，确定2 小数点后第 2、3、4 位甚至更 多数位的数字 用计算器直接

7、算得 证， 1.121.21，1.221.44， 1.321.69，1.421.96， 1.522.25， 1.421.5 2的十分位上的数字 是 4 预案 2：从中间 1.5 开始验 证， 1.522.25， 1.421.96， 1.421.5 2的十分位上的数字 是 4 学生合作探索估算2小 数点后第 2、 3、 4 位甚至更 多数位的数字， 并记录在活 动记录表上 学生实物投影展示成果 预案： 用计算器继续探究得 到：1.4121.9881， 1.4222.0164， 1.4121.42 2的百分位上的 数字是 1 预案：用计算器继续探究 得：1.41121.990921， 1.4122

8、1.993724， 1.41321.996549， 1.41421.999396， 1.41522.002225， 1.41421.415 2的千分位上的数字 是 4 学生用计算器 直接算得 予以肯定，培 养发散思维 初步让学生 感受可以用 有 理 数 来 “ 两 边 夹 逼”的方法 估 计2的 大小培养 学生的数感 和初步估算 能力 培养合作意 识与交流学 习的习惯 感受计算器 是运算常用 的便利的工 具 给学生提供 充分探索的 空间，让学 生亲身经历 2是 无 限 不循环小数 的发现过程 4 概念 探索 你能用科学计算器寻找 到2小数点后第九位数字以 后的数字吗？ 引导学生在确定第 10

9、位 时， 自主发现不是计算器算错 了， 而是计算器的位数显示不 够用，并换计算器 教师通过电脑上的计算器 得出 1.41421356222 1.99999999951041326884 1.41421356232 1.999999999579325598129 1.41421356242 2.00000000007609869376 这说明了小数点后第十 位数字是多少呢？ 结束了吗？还存在小数 点后第 11 位数字吗？ 教师继续用计算器得出 1.4142135623722 1.4142135623822 这说明了小数点后第 11 位数字是多少呢？结束了 吗？ 教师显示2小数点后31 学生继续用

10、计算器探究 1.41421356212 1.999999999 1.414213562222 学生提出质疑： 1.414213562322 1.414213562422 学生认为2这个数的小 数点后面第10位数字是1， 学生对此即惊奇又困惑 学生观察并回答 小数点后第十位数字是 3 学生观察并回答 小数点后第11位数字是7 引发学生的 思维冲突， 激发学生的 求知欲 培养学生的 合情推理能 力 教师利用电 脑上的计算 器解决学生 的疑惑 继续感受利 用两个有理 数逐渐逼近 2的 近 似 值的方法. 5 概念 探索 位小数，并追问结束了吗？ 我们回顾一下上面的研究的 过程. 还能继续这样算下去吗

11、？ 是可以的，并且它们的平 方越来越接近 2，我们能把 2 锁定在一个非常小的范围里， 即2所在的范围越来越小， 所以我们能无限地进行下去 教师展示2的小数点后 面 464 位 引导学生观察数字排列 是否有规律， 感悟该小数不循 环的特征 教师追问为什么是无限的？ 为什么是不循环的， 可不可能 第 465 位就结束了， 可不可能 从第 465 位开始循环？ 学生观察、思考 学生观察表格发现： 随着小数位数的增加， 这些 数的平方越来越接近 2 通过观察小数点后 464 位 回形图及以上的探索活动 得出结论： 2是一个无限不循环小 数 学生思考并展示自己的想 法 回顾逐渐逼 近2的 近 似 值

12、的 过 程，感受利 用两个有理 数逐渐逼近 2的 近 似 值的方法， 体会无限. 学生由初步 的 探 究2 的小数后 1 位、2 位、3 位等数字， 到换计算器 继续探究小 数点后第 10 位、11 位， 到观察小数 点后 31 位、 464 位循序 渐近的感受 无限及不循 环 使学生体会 到工具的局 限性， 观察、 猜想的不严 谨性，逻辑 推理的必要 性，以及培 养学生合情 6 环节三：证明 引导学生阅读材料 （具体材料 见附页 2） 阅读材料：由于2是小数， 所以只需确认2不是有限小 数也不是无限循环小数， 只要 说明它不是整数也不是分数。 显然2不是整数，则只需要 证明2不是分数 我们可

13、以采用反证法，假设 2是有理数，于是可以用两 个 整 数 m 、 n 表 示 为 m n 2，进而得到 2m2= n2， 这个式子的左边有奇数个 2 因子，右边有偶数个 2 因子， 矛盾！这就否定了反证假设 到此为止我们知道：2 是个无限不循环的小数， 既不 是整数，也不是分数，它不是 有理数 学生阅读学习 推 理 的 能 力 通过阅读材 料认识 2 把课上 学习延伸到 课外，满足 不同层次学 生的需求， 并了解数学 历史文化 从估算、观 察等实践活 动，伴随猜 测、合情推 理，到严谨 的推理，深 刻 的 认 同 2化 为 小 数所具有的 无限不循环 特征 概念 形成 无理数概念 类似2的证明

14、还能得到 7,5,3等等也是无限不 循环的小数， 生活中还有没有 其他的无限不循环小数？ 无理数定义： 我们把无限 不循环的小数叫做无理数 思考、回答 也是无限不循环的小数 学生归纳得出无理数的定 义 结合2 、 的共性，归 纳无理数概 念体会无 理数的不同 的形式 7 小结、 作业 引导学生从以下三个方 面进行归纳： 1：知识与技能 2：过程与方法 3：情感与态度 作业： 1.基础题：课本 P45 练习 1、2 2.思考题：在数轴上如何确定 2相对应的点 3.拓展题：证明7、5、3是 无限不循环小数的证明 自由发言、互相补充 培养学生的 归纳能力及 反思评价的 意识 学生活动的说明 本节课学

15、生活动主要是由三个活动组成的： 活动 1：学生经历折纸的活动，体会无理数2的存在性； 活动 2：学生利用计算器不断地估算2的大小，感受无限的特征；通过观 察 464 位图，体会不循环的特征； 活动 3：学生通过阅读，感受反证法，2是无限不循环的小数，是一种新 的数 教学设计的说明 本节课是以“认识2为主线”展开知识的发生、发展的过程的 1利用折纸活动认识无理数2的存在，并为估算2的整数位的数字做好 铺垫； 2通过计算器探究2小数点后的 1 位、2 位、10 位数字、11 位数字，观 察2小数点后的 31 位、464 位数字，使学生感悟用有理数逼近无理数的方法， 循序渐近地感受无限不循环； 3通

16、过阅读理解2是无限不循环的小数的证明，感受数学历史文化，渗透 证法，体会证明的必要性，使不同层次的学生得到不同发展 通过系列的探究活动，充分调动学生学习数学的积极性，在师生互动与生生 互动的过程中， 体现数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识 经验基础之上 板书设计 124 无理数 无理数： 8 附页 1：活动记录表估算2 整数位 数字 为： 估算小 数点后 第 1 位 数字 为： 估算小 数点后 第 2 位 数字 为： 估算小 数点后 第 3 位 数字 为： 估算小 数点后 第 4 位 数字 为： 估算小 数点后 第 位 数字 为： 估算小 数点后 第 位 数字 为： 估算小

17、数点后 第 位 数字 为： 估算小 数点后 第 位 数字 为： 估算小 数点后 第 位 数字 为： 估算小 数点后 第 位 数字 为： 取 值 平 方 值 取 值 平 方 值 取 值 平 方 值 取 值 平 方 值 取 值 平 方 值 取 值 平 方 值 取 值 平 方 值 取 值 平 方 值 取 值 平 方 值 取 值 平 方 值 取 值 平 方 值 9 附页 2：阅读材料 毕达哥拉斯学派曾在数学上作出过突出的贡献 在两千多年前，该学派碰 到了一个伤脑筋的问题：如果 l2 = 2，那么 l 到底是多少呢？是整数，还是分数 呢？显然 l 不是整数 因为 12 = 1，22 = 4，所以 l 一

18、定比 1 大，比 2 小 按 照毕达哥拉斯学派对数的认识，l 就一定是分数了 可是他们费了九牛二虎之 力， 也找不到这个分数 作为毕达哥拉斯学派的门徒， 希伯斯对此问题很感兴趣， 他花费了很大的精力去研究这个问题 经过深入细致的研究后，他断言，l 既 不是整数， 也不是分数， 而是当时还没有认识的一种新数 希伯斯发现了新的数， 推翻了毕达哥拉斯学派关于数只有整数和分数的结论， 动摇了毕达哥拉斯学派的 基础 该学派大为恐慌，立下令封锁该“发现”，并扬言，谁敢把这一机密泄露 给局外人，就对谁处以极刑 真理是封锁不住的，尽管毕达哥拉斯学派内部纪 律严明，希伯斯的发现还是被许多人知道了 学派追查泄密的

19、人，结果发现不 是别人，正是希伯斯自己 这还了得，希伯斯竟敢背叛自己所在的学派，一定 要严惩他 这样，悲剧就发生了 这个学派残忍地杀害了希伯斯 由于2是小数，所以只需确认2不是有限小数也不是无限循环小数，只要 说明它不是整数也不是分数显然2不是整数，则只需要证明2不是分数，我 们可以采用反证法 证明：假设2是有理数，则 m n 2（m、n 为整数） ， 2 2 22 2即,)()2( m n m n 2 m2 = n2，即 2 m m=n n 等式左边为 2 m2是偶数 等式右边 n2也是偶数 n 也是偶数 这个式子的右边有偶数个 2 因子， 当 m 为偶数时，m m 有偶数个 2 的因子； 当 m 为奇数时，m m 没有 2 的因子 这个式子的左边 2 m m 有奇数个 2 因子， 与这个式子的右边有偶 数个 2 因子矛盾！ 假设错误，2不是有理数，即它不是有限小数也不是无限循环小 数 2是无限不循环小数 2不是有理数，它是一种新的数，真理是不可战胜的 据柏拉图记载，后来又 发现了类似 l2 = 2 的数，这些“怪物”深深地困惑着古希腊的数学家们