1、第一章 常用逻辑用语 11 命题及其关系 1.1.2 四种命题的相互关系,1.掌握四种命题之间的关系以及真假性之间的关系. 2.会利用命题的等价性解决简单问题.,基 础 梳 理,1四种命题之间的关系：,逆命题，若q则p,否命题，若p则 q,逆否命题，若q则 p,基 础 梳 理,2四种命题的真假性之间的关系： (1)两个命题互为逆否命题，它们有_真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性_ 例：命题“若 xy，则sin xsin y”是真命题；它的逆否命题： “_”也是真命题；否命题“_”是假命题，逆命题“_”也是假命题,相同的,没有关系,若sin xsin y，则xy,若xy，
2、则sin xsin y,若sin xsin y，则xy,自 测 自 评,1下列说法，不正确的是( ),B,自 测 自 评,2命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是( ) A若f(x)是偶函数，则f(x)是偶函数 B若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 C若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数,B,B,3有下列四个命题： (1)“若xy0，则x，y互为相反数”的否命题； (2)“若xy，则x20”的否命题； (4)“等边三角形有两边相等”的逆命题 其中真命题的个数是( ) A0个 B1个 C2个 D3个,自 测 自 评,解析：
3、(1)是真命题其逆命题为“若x，y互为相反数，则xy0”，是真命题，因为原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，所以其否命题是真命题 (2)是假命题原命题(如取 x1，y0)是假命题，所以其逆否命题是假命题 (3)是假命题该命题否命题为“若x3，则x2x60”，显然是假命题 (4)是假命题. 该命题的逆命题是“有两边相等的三角形是等边三角形”，显然是假命题 答案：B,题型一 四种命题真假的判断,例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假 (1)若xy3，则x1或 y2； (2)若mn0，则方程mx2xn0有实根； (3)若ab0，则a0或b0.,分析：此类问题的一般解题步骤：
4、写出命题的条件、结论；写出四种命题；判断命题的真假,解析：(1)逆命题：若x1或y2，则 xy3；假命题 否命题：若 xy3，则 x1且y2；假命题 逆否命题：若x1且 y2，则xy3；真命题 (2)逆命题：若方程mx2xn0有实数根，则mn0；假命题 否命题：若mn0，则方程mx2xn0没有实数根；假命题,逆否命题：若方程mx2xn0没有实数根，则mn0；真命题 (3)逆命题：若a0或b0，则ab0；真命题 否命题：若ab0，则a0且b0；真命题 逆否命题：若a0且b0，则ab0；真命题,点评：要判断四种命题的真假，首先要熟练掌握四种命题的相互关系，以及它们的真假性之间的关系；其次利用相关知
5、识判断真假时，一定要熟练掌握有关知识,变 式 迁 移,题型二 等价命题的应用,例2证明：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.,分析：本题若要直接证明，比较困难，可以考虑证明它的逆否命题 证明：原命题的逆否命题是“已知函数 f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”,若 ab0，则ab，ba，又因为函数f(x)是(，)上的增函数， 所以f(a)f(b)，f(b)f(a)， 所以 f(a)f(b)f(a)f(b) 即原命题的逆否命题是真命题，所以原命题是真命题 点评：原命题和它的逆否命题有相同的真假性
6、，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题,变 式 训 练,2判断命题“若m0，则方程x22x3m0有实数根”的逆否命题的真假,方法二 原命题的逆否命题为“若方程x22x3m0无实数根，则m0” 方程x22x3m0无实数根， 所以412m0.所以m0. 所以“若方程x22x3m0无实数根，则m0”为真命题,题型三 命题的否定与否命题,例3 写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假 (1)若x、y都是奇数，则xy是偶数； (2)若xy0，则x0或y0； (3)若一个数是质数，则这个数是奇数,解析：(1)命题的否定：若x、y都是奇数，则xy不是偶数，为假命题,原命题的否命题：若x、y不都是奇数，则xy不是偶数，是假命题 (2)命题的否定：若xy0，则x0且y0，为假命题 原命题的否命题：若xy0，则x0且y0，是真命题 (3)命题的否定：若一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题,原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题 点评：命题的否定是：不否定条件只否定结论；命题的否命题是：既否定条件又否定结论两者容易混淆，要注意区别,变 式 训 练,3命题“若a1，则a21”的逆否命题是_,若a21，则a1,
