1、2.4.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质,类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？,【思考】,1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；（重点） 2能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；（重点、难点） 3在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 .,抛物线有许多重要性质.我们根据抛物线的标准方程,研究它的一些简单几何性质.,探究点1 抛物线的简单几何性质,1.范围,因为p0，由方程（1）可知，对于抛物线（1）上的点M (x，y)，x0，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向相
2、同; 当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸,2.对称性,以y代y，方程（1）不变，所以这条抛物线关于x轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴,3.顶点,抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程（1）中，当y=0时，x=0，因此抛物线（1）的顶点就是坐标原点,4.离心率,抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示由抛物线的定义可知，e=1,F,A,B,y2=2px,2p,过焦点而垂直于对称轴的 弦AB，称为抛物线的通径.,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.,|AB|=2p,2p越大，抛物
3、线张口越大.,5.通径,连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.,焦半径公式：,F,6.焦半径,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,关于x轴对称,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y轴对称,（0,0）,e=1,抛物线的几何性质,(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以 无限延伸，但没有渐近线； (2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； (4)抛物线的离心率e是确定的，为; (5)抛物线的通径为2p, 2p越大，抛物线的张口越大.,【提升总结】,解：因
4、为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原 点，并且经过点M（， ），所以，可设它的标 准方程为,因为点M在抛物线上，所以,因此,所求抛物线的标准方程是,【例】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标 原点，并且经过点M（， ），求它的标准方程.,即p =2.,分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l的斜率为1，所以可以求出直线l的方程；与抛物线的方程联立，可以求出A,B两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出AB.这种方法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算.,下面，我们介绍另外一种方法数形结合的方法.,还可以如何求x1+x2?,分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷,如上题，
5、求证：以AB为直径的圆和抛物线的准线相切,所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EHl，因而圆E和准线l相切,证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C，,则AFAD，BFBC,AB AFBF ADBC =2EH,2.已知点A（-2，3）与抛物线 的焦点的距离是5，则p = .,4,3.已知直线x-y=2与抛物线 交于A，B两点，那么线段AB的中点坐标是 .,4.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直径为60 cm，灯深40 cm，建系如图所示，求抛物线的标准方程和焦点位置.,(40,30),所在平面
6、内建立直角坐标系,使反射镜的 顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径.,解：在探照灯的轴截面,设抛物线的标准方程为:y2=2px（p0），,由条件可得A (40,30),代入方程得:,302=2p40,解得: p=,故所求抛物线的标准方程为: y2= x,焦点为( ,0),抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也 可以无限延伸，但没有渐近线；,抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,抛物线的离心率是确定的，等于.,抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；,1. 范围：,2. 对称性：,3. 顶点：,4. 离心率：,目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。没有它，天才会在矛盾无定的迷径中徒劳无功.,
